吉林省八校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高二年級(jí)11月考試數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.2.請(qǐng)以真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)，在答題卡上與題號(hào)相對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫(xiě)在試卷?草稿紙上或答題卡非題號(hào)對(duì)應(yīng)答題區(qū)域的答案一律無(wú)效不得在答題卡上做任何標(biāo)記.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮接干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).4.考試結(jié)束后，答題卡要交回，試卷由考生自行保存.第I卷（選擇題，共58分）一?單選題：本題包括8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由直線方程確定斜率，結(jié)合傾斜角與斜率關(guān)系求傾斜角大小即可.【詳解】由題設(shè)，令其傾斜角為,，則，所以.故選：C2.已知在等差數(shù)列中，，則（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差中項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中，因?yàn)?，可得，所以，又由，且，可?故選：C.3.已知橢圓，為其左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由橢圓定義求焦點(diǎn)相關(guān)三角形周長(zhǎng).【詳解】由題意，，而，故的周長(zhǎng)為.故選：C4.在遞增等比數(shù)列中，，，則公比q為()A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】，，故可得，，兩式相比可得：，即，解得或，又，故；又為遞增數(shù)列，故.故選：B.5.直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑；再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算圓心到直線的距離；最后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由圓可得：圓心坐標(biāo)為，半徑為3.因?yàn)閳A心到直線的距離為：，所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故選：6.德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97 C.98 D.99【答案】C【解析】【分析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C．7.已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為是拋物線上一點(diǎn)，若，則的最小值為（）A.8 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，設(shè)在準(zhǔn)線上的射影為，利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化后易得最小值．【詳解】由焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為得；設(shè)在準(zhǔn)線上的射影為如圖,則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取得等號(hào)．所以所求最小值是4．故選：D．8.已知為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)，則，由，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，從而有，又，所以，又由，則，即，所以，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二?多選題：本題包括3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求，全進(jìn)對(duì)的得6分.部分選對(duì)得部分分，選輯的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線必過(guò)定點(diǎn)2,3B.直線在軸上的裁距為C.過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸的截距相等的直線方程為D.過(guò)點(diǎn)?2,3且垂直于直線的直線方程為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，整理直線方程，合并出參數(shù)的系數(shù)，令其等于零，建立方程，可得答案；對(duì)于B，將代入直線方程，結(jié)合截距的定義，可得答案；對(duì)于C，舉反例即可判斷C選項(xiàng)，從而求解；對(duì)于D，根據(jù)直線之間的垂直關(guān)系，將?2,3代入直線方程，可得答案；【詳解】對(duì)于A：得直線過(guò)定點(diǎn)2,3，故A項(xiàng)正確，符合題意；對(duì)于B：令，得，故在軸上的截距為，故B項(xiàng)正確，符合題意；對(duì)于C：過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸截距相等，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于D：由的斜率分別為，則有，故兩直線互相垂直，將?2,3代入直線方程得，故?2,3在直線上，故D項(xiàng)正確，符合題意；故選：ABD.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)在函數(shù)（，均為常數(shù)）的圖象上，則為等差數(shù)列B.若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列C.若是等差數(shù)列，，，則當(dāng)時(shí)，最大D.若，則為等比數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由點(diǎn)在函數(shù)（k，b均為常數(shù)）的圖象上，可得，因?yàn)闉槌?shù)，所以為等差數(shù)列.A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以為常數(shù)，所以為常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，所以，又因?yàn)?，所以公差，所以?dāng)或時(shí)，最大，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，，所以不是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：AB11.經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.當(dāng)與軸垂直時(shí)，最小 B.C.以弦為直徑的圓與直線相離 D.【答案】ABD【解析】【分析】先設(shè)直線的方程，聯(lián)立拋物線，可得D.用拋物線焦點(diǎn)弦公式表示，可得A.利用拋物線定義，可表示，可證B.利用拋物線定義，結(jié)合圖像位置關(guān)系可判斷C.【詳解】如圖，設(shè)直線，聯(lián)立，得，即，所以，，故D正確，，將代入得，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線與軸垂直，故A正確，，代入，，得，故B正確，設(shè)的中點(diǎn)為，則以弦為直徑的圓的圓心為，半徑為分別過(guò)作拋物線垂線，垂足分別為,由拋物線的定義知，，則,故以弦為直徑的圓與直線相切，C錯(cuò)誤，故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三?填空題：本題包括3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則__________.【答案】16【解析】【分析】由于等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,所以,,成等差數(shù)列，代入數(shù)據(jù)即可求得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為,所以,,,成等差數(shù)列,所以，即解得，所以，所以，解得，故答案為：1613.已知直線與直線，若，則與之間距離是__________【答案】【解析】【分析】?jī)蓷l平行直線與之間的距離，等于直線上的點(diǎn)到直線的距離.【詳解】直線過(guò)點(diǎn)，由，與之間距離等于點(diǎn)到直線的距離，故距離.故答案為：.14.已知數(shù)列，滿足，則__________；若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用累加法求解即可得出；先求出，進(jìn)而得到，分組求和得到.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，，，?dāng)時(shí)也適合上式，所以.由，因?yàn)?，所以，解得?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以所以故答案為：；.四?解答題：本題包括5大題，其中15題13分，16題?17題每題15分，18題?19題每題17分，共77分.15.已知數(shù)列是首項(xiàng)為2，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前2024項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則.因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，即，解得或（舍去）或（舍去）所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，.，故的前2024項(xiàng)和.16.已知圓經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）從點(diǎn)向圓C作切線，求切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根據(jù)弦的中垂線過(guò)圓心,聯(lián)立過(guò)圓心的兩條直線方程可確定圓心坐標(biāo)，即可求解;(2)根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題可知,所以線段的中垂線的斜率等于1，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以線段的中垂線的直線方程為，即，聯(lián)立解得，所以圓心又因?yàn)榘霃降扔?所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓的半徑為，則，若直線的斜率不存在，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，滿足題意;若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則切線方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為，即.所以切線方程為或.17.已知直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．（1）若橢圓的離心率為，焦距為，求橢圓的方程；（2）在（1）的橢圓中，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)及的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，焦距為，建立方程求解參數(shù)從而求得橢圓的方程；（2）直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得線段長(zhǎng)度，求出點(diǎn)到直線的距離，即可求得的面積．【詳解】（1）橢圓的離心率為，焦距為，所以，得，所以，則橢圓的方程為；（2）聯(lián)立方程組得設(shè)，則，，所以由（1）知左焦點(diǎn)為，直線方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為則的面積為．【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列前項(xiàng)和為.求.（3）在（2）條件下若都有不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先得，進(jìn)一步由的關(guān)系得是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由此即可求解；（2）由等差數(shù)列求和公式、錯(cuò)位相減法求得表達(dá)式，（3）在（2）條件下進(jìn)一步原問(wèn)題等價(jià)于不等式恒成立，由此即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)可得，即.當(dāng)時(shí)，②由①-②得，即，即是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，，兩式相得，，即，則，故.小問(wèn)3詳解】由（2）知，所以有，即，依題意，不等式恒成立，因?yàn)殡S著n增大而減小，所以，即的取值范圍為.19.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率.（1）求雙曲線C的方程；（2）記雙曲線C的右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線，與C的左支分別交于兩點(diǎn)，且，為垂足.（i）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）判斷是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在說(shuō)明理由并求出點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析，；（ii）存在，，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)即可求得雙曲線C的方程：（2）（i）設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，并結(jié)合條件進(jìn)行運(yùn)算，即可證明直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）由，此時(shí)存在以為斜邊的直角三角形，從而可知存在定點(diǎn)為中點(diǎn)滿足，從而可求出點(diǎn)坐標(biāo)【小問(wèn)1詳解】由題意，雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，可得，解得，所以雙曲線方程.【小問(wèn)2詳解】證明：（i）由（1）知，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，，即，設(shè)，由韋達(dá)定理可得.因?yàn)椋?，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得，將代入直線，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，不