第3課時幾何圖形相關(guān)問題

第1章一元二次方程1.4用一元二次方程解決問題第3課時幾何圖形相關(guān)問題提優(yōu)點(diǎn)：1.用一元二次方程解決幾何圖形問題及圖形中的行程問題；2.增強(qiáng)分類討論的能力.

1.

如圖，把小圓形場地的半徑增加5

m得到大圓形場地，場地面積擴(kuò)大了一倍，則

小圓形場地的半徑為（

D

）A.

5

mB.

（5＋

）

mC.

（5＋3

）

mD.

（5＋5

）

m（第1題）

D2.

新趨勢

數(shù)學(xué)文化我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識

地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與

中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是

1，則

AE

＝

?.（第2題）3解析：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

DA

＝

5，

EF

＝

FG

＝

GH

＝

HE

＝1，根據(jù)題意，設(shè)

AF

＝

DE

＝

CH

＝

BG

＝

x

，則

AE

＝

x

－1.在Rt△

AED

中，

AE2＋

ED2＝

AD2，即（

x

－1）2＋

x2＝52，解得

x

＝4（負(fù)值已

經(jīng)舍去），∴

x

－1＝3，即

AE

＝3.3.

新趨勢

數(shù)學(xué)文化（2023·無錫中考）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶

不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、

廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬，有竿，不知其長短，橫放，

竿比門寬長出4尺，豎放，竿比門高長出2尺，斜放，竿與門對角線恰好相等.問門

高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是

尺.解析：設(shè)門高

x

尺，依題意，竿長為（

x

＋2）尺，門的對角線長為（

x

＋2）尺，門

寬為

x

＋2－4＝（

x

－2）尺，∴（

x

＋2）2＝

x2＋（

x

－2）2，解得

x

＝8或

x

＝0

（舍去），故答案為8.84.

教材P29練習(xí)T2變式（2023·包頭期末）△

ABC

中，∠

B

＝90°，

AB

＝10

cm，

BC

＝12

cm，點(diǎn)

P

從點(diǎn)

A

開始沿邊

AB

向終點(diǎn)

B

以1

cm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)

Q

從點(diǎn)

B

開始沿邊

BC

向終點(diǎn)

C

以2

cm/s的速度移動.如果點(diǎn)

P

、

Q

分別從點(diǎn)

A

、

B

同

時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)

Q

運(yùn)動到點(diǎn)

C

時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為

t

秒.（1）填空：

BQ

＝

，

PB

＝

.（用含

t

的代數(shù)式表示）2

t

cm（10－

t

）

cm（2）當(dāng)

t

為何值時，

PQ

的長度等于10

cm？∵∠

B

＝90°，∴△

PBQ

是直角三角形，根據(jù)勾股定理得

PB2＋

BQ2＝

PQ2，即

（10－

t

）2＋（2

t

）2＝102，解得

t1＝0，

t2＝4，∴

t

＝0或4時，

PQ

的長度等于10

cm.（3）是否存在

t

的值，使得△

PBQ

的面積等于9

cm2？若存在，請求出此時

t

的值；

若不存在，請說明理由.

5.

（2023·菏澤期末）如圖，點(diǎn)

E

在矩形

ABCD

的

AB

邊上，將△

ADE

沿

DE

翻折，

點(diǎn)

A

恰好落在

BC

邊上的點(diǎn)

F

處，若

CD

＝3

BF

，

BE

＝4，則

CD

的長為（

A

）A.

9B.

12C.

15D.

16

A6.

（陜西中考改編）在?

ABCD

中，

AB

＝10，

BC

＝14，

E

、

F

分別為邊

BC

、

AD

上的點(diǎn)，若四邊形

AECF

為正方形，則

AE

的長為

?.解析：如圖，設(shè)

AE

的長為

x

，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得

BE

＝14－

x

，在Rt△

ABE

中，根據(jù)勾股定理可得

x2＋（14－

x

）2＝102，解得

x1＝6，

x2＝8.故

AE

的長為6或8.（第6題）6或8（第6題）7.

（2023·西寧模擬）如圖①，在矩形

ABCD

中，點(diǎn)

E

為

BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)

P

沿

BC

從

點(diǎn)

B

運(yùn)動到點(diǎn)

C

，設(shè)

B

、

P

兩點(diǎn)間的距離為

x

，

PA

－

PE

＝

y

，點(diǎn)

P

運(yùn)動時

y

隨

x

變

化的函數(shù)圖像如圖②所示，則

BC

的長是

?.6解析：由題圖②可知，當(dāng)點(diǎn)

P

位于點(diǎn)

B

時，

PA

－

PE

＝1，即

AB

－

BE

＝1，在題圖

①中連接

AE

，∵

AP

－

PE

≤

AE

，∴

y

＝

AP

－

PE

的最大值為

AE

的長，由題圖②

可知

y

的最大值為5，∴點(diǎn)

P

位于點(diǎn)

E

時，

PA

－

PE

＝5，即

AE

－0＝5，則

AE

＝

5.∵在矩形

ABCD

中，∠

B

＝90°，∴在Rt△

ABE

中，由勾股定理得

AB2＋

BE2＝

AE2，∴（

BE

＋1）2＋

BE2＝

AE2，即

BE2＋

BE

－12＝0.∵

BE

＞0，∴

BE

＝3.∵點(diǎn)

E

為

BC

的中點(diǎn)，∴

BC

＝6.8.

如圖，將邊長為4的正方形

ABCD

沿其對角線

AC

剪開，再把△

ABC

沿著

AD

方向

平移，得到△A'B'C'.（1）當(dāng)兩個三角形重疊部分的面積為3時，求移動的距離AA'；如圖，設(shè)

AC

與

A

'

B

'交于點(diǎn)

E

，

DC

與

A

'

C

'交于點(diǎn)

F

.

設(shè)AA'＝

x

，則A'E＝AA'＝

x

，A'D＝4－

x

.由題意得

x

（4－

x

）＝3，解得

x

＝1或3.故移動的距離AA'＝1或3.（第8題）（第8題）（2）當(dāng)移動的距離AA'是何值時，重疊部分是菱形？當(dāng)四邊形

A

'

ECF

是菱形時，

A

'

E

＝

A

'

F

.

設(shè)AA'＝

x

，則A'E＝

CF

＝

x

.由題意得A'F2＝2A'D2，即

x2＝2（4－

x

）2，

9.

小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時，對練習(xí)冊中的一道思考題進(jìn)行了認(rèn)真探索.思考

題：如圖，一架2.5米長的梯子

AB

斜靠在豎直的墻

AC

上，這時點(diǎn)

B

到墻底端

C

的

距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點(diǎn)

B

將向外移動多少米？（1）請你將小明對“思考題”的解答補(bǔ)充完整.

解方程得

x1＝

，

x2＝

，∴點(diǎn)

B

將向外移動

米.（

x

＋0.7）2＋22＝2.520.8－2.2（舍去）0.8（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：問題①：在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案

會是0.9米嗎？為什么？問題②：在“思考題”中，梯子的頂端從

A

處沿墻

AC

下滑的距離與點(diǎn)

B

向外移動的

距離，有可能相等嗎？為什么？請你解答小聰提出的這兩個問題.①不會是0.9米.理由如下：∵

AA1＝0.9米，∴

A1

C

＝2.4－0.9＝1.5（米）.

故梯子底部

B

向外移動1.3米.②有可能.理由如下：設(shè)梯子頂端從

A

處下滑

x

米，點(diǎn)

B

向外也移動

x

米，則有（

x

＋0.7）2＋（2.4－

x

）

2＝2.52，解得

x1＝1.7或

x2＝0（舍去）.∴當(dāng)梯子頂端從

A

處下滑1.7米時，點(diǎn)

B

向外也移動1.7米，即梯子頂端從

A

處沿墻

AC

下滑的距離與點(diǎn)

B

向外移動的距離有可能相等.10.

如圖，某海軍基地位于

A

處，其正南方向200海里處有一個重要目標(biāo)

B

，在

B

的

正東方向200海里處有一重要目標(biāo)

C

.小島

D

位于

AC

的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭，

小島

F

位于

BC

上且恰好處于小島

D

的正南方向，一艘軍艦從

A

出發(fā)，先后沿

AB

、

BC

方向經(jīng)過

B

到

C

勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時從

D

出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航

行，欲將一批物品送達(dá)軍艦.（1）小島

D

和小島

F

相距多少海里？

11.

（揚(yáng)州中考）如圖，在等腰直角三角形

ABO

中，∠

A

＝90°，點(diǎn)

B

的坐標(biāo)為

（0，2），若直線

l

：

y

＝

mx

＋

m

（

m

≠0）把△

ABO

分成面積相等的兩部分，則

m

的值為

?.

歸納總結(jié)①直線恒過定點(diǎn)：含參數(shù)

k

的直線方程，不論

k

取何值時，直線恒過某個定點(diǎn).

把直線方程中含有參數(shù)

k

的項(xiàng)分離出來，合并為一項(xiàng)，令

k

的系數(shù)為0，從而求

得該定點(diǎn).②點(diǎn)恒在定直線上：若點(diǎn)

A

的橫、縱坐標(biāo)均用

m

的一次多項(xiàng)式表示，可分別用含

m

的代數(shù)式表示

x

，

y

之后消去

m

，從而得到一個直線方程，則點(diǎn)

A

恒在該直線上.12.

（2023·宿遷期末）如圖，已知

A

、

B

、

C

、

D

為矩形的四個頂點(diǎn)，

AB

＝16

cm，

AD

＝6

cm，動點(diǎn)

P

、

Q

分別從點(diǎn)

A

、

C

同時出發(fā)，點(diǎn)

P

以3

cm/s的速