專題02 二次根式【考點精講】（解析版）

考點02二次根式一、二次根式及相關(guān)概念1．二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．2．最簡二次根式：最簡二次根式必須同時滿足以下條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）數(shù)被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因或因式．3．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式稱為同類二次根式．如eq\r(8)與eq\r(2)是同類二次根式．同類二次根式可以合并，合并同類二次根式與合并同類項類似．二、二次根式的性質(zhì)（1）()2＝a(a≥0)．（2）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.))（3）＝·(a≥0，b≥0)．（4）(a≥0，b>0)．（5）雙重非負性：二次根式?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被開方數(shù)a≥0,\r(a)≥0))三、二次根式的運算1．二次根式的加減：先將各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式．2．二次根式的乘除（1）二次根式的乘法：·＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)；（3）二次根式的運算結(jié)果一定要化成最簡二次根式或整式．3．二次根式的開方：＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))4．二次根式的混合運算在進行二次根式的混合運算時，應(yīng)注意以下幾點：（1）二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序相同，即先乘方，再乘除，最后算加減，有括號要先去括號；（2）加法的交換律、結(jié)合律，乘法的交換律、結(jié)合律和對加法的分配律在二次根式的混合運算中仍然適用；（3）多項式的乘法公式仍然適合于二次根式的運算；（4）二次根式混合運算的結(jié)果要化為最簡二次根式．【考點1】二次根式的概念【例1】（2022·江蘇連云港）函數(shù)中自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，即可求解．【解析】解：∵，∴．故選A．【例2】下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，先化簡，再判斷．【解析】A.與的被開方數(shù)不相同，故不是同類二次根式；B.，與不是同類二次根式；C.，與被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；D.，與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式．故選：C．【例3】下列各式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可求出答案．【解析】解：A、是最簡二次根式，故選項正確；B、=，不是最簡二次根式，故選項錯誤；C、，不是最簡二次根式，故選項錯誤；D、，不是最簡二次根式，故選項錯誤；故選A.牢記二次根式相關(guān)概念：1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被開方數(shù)a只能是非負數(shù).2．最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式.3．同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.1．（2022·湖南衡陽）如果二次根式有意義，那么實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)求解可得．【詳解】根據(jù)題意知≥0，解得，故選：B．2．（2022·廣西桂林）化簡的結(jié)果是（

）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】將被開方數(shù)12寫成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結(jié)果為2．【詳解】解：＝2，故選：A．3．下列各式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同類二次根式的概念逐一判斷即可.【詳解】解：A、和是最簡二次根式，與的被開方數(shù)不同，故A選項錯誤；B、，3不是二次根式，故B選項錯誤；C、，與的被開方數(shù)相同，故C選項正確；D、，與的被開方數(shù)不同，故D選項錯誤；故選：C.4．（2022·云南）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______．【答案】x≥﹣1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得：x+1≥0，即可求得．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案為：x≥﹣1．5．（2022·四川南充）若為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．【答案】4或7或8【分析】根據(jù)根號下的數(shù)大于等于0和x為正整數(shù)，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根據(jù)為整數(shù)即可得的值．【詳解】解：∵∴∵為正整數(shù)∴可以為1、2、3、4、5、6、7、8∵為整數(shù)∴為4或7或8故答案為：4或7或8．【考點2】二次根式的性質(zhì)【例4】（2021·湖南婁底市）是某三角形三邊的長，則等于（）A． B． C．10 D．4【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：是三角形的三邊，，解得：，，故選：D．1．（2022·四川涼山）化簡：＝（

）A．±2 B．－2 C．4 D．2【答案】D【分析】先計算（-2）2=4，再求算術(shù)平方根即可．【詳解】解：，故選：D．2．（2022·河北·一模）已知，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的非負性可知，從而得到，代值求解即可．【詳解】解：對于，，，解得，則，，故選：A．3．（2022·四川遂寧）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡______．【答案】2【分析】利用數(shù)軸可得出，進而化簡求出答案．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，則∴====2．故答案為：2．【考點3】二次根式的運算【例5】（2022·山東青島）計算的結(jié)果是（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】把括號內(nèi)的每一項分別乘以再合并即可．【詳解】解：故選：B．【例6】（2022·四川宜賓）《數(shù)學(xué)九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)周長為18的三角形的三邊滿足，求得，代入公式即可求解．【詳解】解：∵周長為18的三角形的三邊滿足，設(shè)∴解得故答案為：【例7】計算下列各題（1）；（2）（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先化為最簡二次根式，再計算加減法；（2）先算乘方和開方，去絕對值，再算加減法；（3）利用完全平方公式和平方差公式展開，再合并計算；（4）先化為最簡二次根式，再算加減法，然后計算乘除，最后合并．【詳解】解：（1）==；（2）==；（3）==；（4）===二次根式運算的注意事項1．在進行二次根式的運算時,一般先把二次根式化為最簡二次根式,再利用二次根式的乘除法法則進行乘除運算,同類二次根式之間可以進行加減運算(類似于合并同類項).2．運算結(jié)果要化成最簡形式.3．在二次根式的運算中,要注意與次的區(qū)別.①取值不同:前者的a為任意實數(shù),后者的a為非負數(shù);②化簡結(jié)果不同:=|a|,=a.1．（2022·黑龍江哈爾濱）計算的結(jié)果是___________．【答案】【分析】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：==，故答案為：．2．（2022·天津）計算的結(jié)果等于___________．【答案】18【分析】根據(jù)平方差公式即可求解．【詳解】解：，故答案為：18．3．（2022·湖南衡陽）計算：＝_____．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．【詳解】．故答案為：．4．（2022·山西）計算的結(jié)果是________．【答案】3【分析】直接利用二次根式的乘法法則計算得出答案．【詳解】解：原式＝＝＝3．故答案為：3．5．（2022·重慶）估計的值應(yīng)在（

）A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間【答案】B【分析】先化簡，利用，從而判定即可．【詳解】，∵，∴，∴，故選：B．6．列各式不成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法法則、除法法則計算，判斷即可．【詳解】，A選項成立，不符合題意；，B選項成立，不符合題意；，C選項不成立，符合題意；，D選項成立，不符合題意；故選C．7．（2022·甘肅武威）計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的混合運算進行計算即可求解．【詳解】解：原式.8．（2022·貴州遵義）（1）計算：（2）先化簡，再求值，其中．【答案】（1）；（2），【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值進行計算即可求解；（2）先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解．【詳解】（1）解：原式＝；（2）解：原式＝；當(dāng)時，原式．【考點4】二次根式綜合運用【例8】（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模）若三個實數(shù)x，y，z滿足，且，則有：（結(jié)論不需要證明）例如：根據(jù)以上閱讀，請解決下列問題：【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）求的值；【能力提升】（2）設(shè)，求S的整數(shù)部分．【拓展升華】（3）已知，其中，且．當(dāng)取得最小值時，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)S的整數(shù)部分2019(3)代數(shù)式取得最小值時，x的取值范圍是【分析】（1）根據(jù)范例中提供的計算方法進行計算即可；（2））利用題目的僅能式將其進行化簡，再確定整數(shù)部分；（3）將原式化簡為，再根據(jù)||取最小值時，確定x的取值范圍．(1)(2)，∴S的整數(shù)部分2019；(3)由已知得：，且，，∵，∴原式，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴當(dāng)，即時，取得最小值為2，∴代數(shù)式取得最小值時，x的取值范圍是：．1.閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：，，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．解決問題：（1）的有理化因式可以是___________，分母有理化得___________．（2）計算：①已知，，求的值；②．【答案】（1），；（2）①14；②【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①將x與y分母有理化后代入原式計算即可得到結(jié)果．②原式各項分母有理化，合并即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）的有理化因式可以是，，故答案為：，；（2）①當(dāng)，時，．②原式．2.閱讀下面問題：＝＝－1；1/＋＝1×(－)/(＋)/(－)＝－；1/＋＝1×(－)/(＋)/(－)＝－；試求：（1）＝_