專題02 利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解的問(wèn)題（解析版）-2023屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項(xiàng)突破

專題02利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解的問(wèn)題圓在壓軸題中考查綜合性比較強(qiáng)，常與二次函數(shù)、全等三角形以及相似三角形結(jié)合進(jìn)行考查，本專題中重點(diǎn)側(cè)重壓軸題中對(duì)圓的性質(zhì)的考查部分，需要考生熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)。圓有關(guān)的性質(zhì)：1．圓的對(duì)稱性：圓既是軸對(duì)稱圖形有時(shí)中心對(duì)稱圖形。2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。煌普?：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．4．圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。5．圓心角、弧、弦的關(guān)系定理推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。6．圓周角定理定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．7．圓周角定理的推論：推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。推論2：直徑所對(duì)的圓周角是直角．8．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d．(1)d<r?點(diǎn)在⊙O內(nèi)；(2)d=r?點(diǎn)在⊙O上；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外．9．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r10．切線的性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于圓的半徑；切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。11．切線的判定（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義）；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。12．三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。13．三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形；內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等。14．正多邊形的有關(guān)概念（1）正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心；（2）正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑；（3）正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形中心角；（4）正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。15．弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算：扇形的弧長(zhǎng)l=；扇形的面積S==．16．圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖（1）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)。（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）． （2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知是的直徑，點(diǎn)A，點(diǎn)B是上的兩個(gè)點(diǎn)，連接，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是半徑的中點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G是上一點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．（1）根據(jù)SAS證明即可得到結(jié)論；（2）證明即可得出結(jié)論；（3）先證明，連接，證明，設(shè)，，在上取點(diǎn)M，使得，連接，證明為等邊三角形，得，根據(jù)可求出，得，，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N，求出，再證，根據(jù)可得結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)【詳解】（1）如圖1．∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是半徑的中點(diǎn)∴，∵，∴∵，∴∵∴，∴；（2）如圖2．∵，∴由（1）得，∴∴，∴∵∴，∴（3）如圖3．∵，∴∴連接．∵∴，∴，∵設(shè)，∴在上取點(diǎn)M，使得，連接∵，∴∴，∴為等邊三角形∴∵，∴∴，∴∴，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N，∴，∴∵，，∴∵，∴，∴∴，在中，，∴∴，∴．本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為半圓O的直徑，C為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)D，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知．點(diǎn)P，Q分別在線段上（不與端點(diǎn)重合），且滿足．設(shè)．(1)求半圓O的半徑．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)R，連結(jié)．①當(dāng)為直角三角形時(shí)，求x的值．②作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的值．（1）連接OD，設(shè)半徑為r，利用，得，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)CP=AP十AC，用含x的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)，再由（1）計(jì)算求AC的長(zhǎng)即可；（3）①顯然，所以分兩種情形，當(dāng)時(shí)，則四邊形RPQE是矩形，當(dāng)∠PQR＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BE于點(diǎn)H，則四邊形PHER是矩形，分別根據(jù)圖形可得答案；②連接，由對(duì)稱可知，利用三角函數(shù)表示出和BF的長(zhǎng)度，從而解決問(wèn)題．【答案】(1)；(2)；(3)①或；②【詳解】（1）解：如圖1，連結(jié)．設(shè)半圓O的半徑為r．∵切半圓O于點(diǎn)D，∴．∵，∴，∴，∴，即，∴，即半圓O的半徑是．（2）由（1）得：．∵，∴．∵，∴．（3）①顯然，所以分兩種情況．?。┊?dāng)時(shí)，如圖2．∵，∴．∵，∴四邊形為矩形，∴．∵，∴，∴．ⅱ）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，如圖3，則四邊形是矩形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，由得：，∴．綜上所述，x的值是或．②如圖4，連結(jié)，由對(duì)稱可知，∵BE⊥CE，PR⊥CE，∴PR∥BE，∴∠EQR=∠PRQ，∵，，∴EQ=3-x，∵PR∥BE，∴，∴，即：，解得：CR=x+1，∴ER=EC-CR=3-x，即：EQ=ER∴∠EQR=∠ERQ=45°，∴∴，

∴．∵是半圓O的直徑，∴，∴，∴，∴，∴．本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)等知識(shí)，利用三角函數(shù)表示各線段的長(zhǎng)并運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖1．在正方形中，點(diǎn)F，H分別在邊，上，連結(jié)，交于點(diǎn)E，已知．(1)線段與垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A，H，F(xiàn)的圓交于點(diǎn)P，連結(jié)交于點(diǎn)K．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)K是線段的中點(diǎn)時(shí)，求的值．（1）證明（），得到，進(jìn)一步得到，由△CFH是等腰三角形，結(jié)論得證；（2）過(guò)點(diǎn)K作于點(diǎn)G．先證△AKG∽△ACB，得，證△KHG∽CHB可得，結(jié)論得證；（3）過(guò)點(diǎn)K作點(diǎn)G．求得，設(shè)，，則KG＝AG＝GB＝3a，則，勾股定理得，，由得，得，，即可得到答案．【答案】(1)，見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴（），∴．又∵，∴．∵∴△CFH是等腰三角形，∴．（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)K作于點(diǎn)G．∵，∴．∴，∴．∵，，∴．∴，∴，∴．（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)K作點(diǎn)G．∵點(diǎn)K為中點(diǎn)：由（2）得，∴，設(shè)，，則，∴，，∴，∵，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴．∴，∴，∴．此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·浙江溫州·溫州市第三中學(xué)?？寄M）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），以，為邊構(gòu)造平行四邊形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，．(1)求證：．(2)當(dāng)與相切時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)①當(dāng)中有一個(gè)角與相等時(shí)，求的長(zhǎng)．②若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍（直接寫(xiě)出答案）．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)；(3)①3②【分析】（1）連接，由垂徑定理可知，進(jìn)而證明；再由，可證明，然后由“平行四邊形對(duì)角相等”即可證明；（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可知，再結(jié)合垂徑定理即可求得的長(zhǎng)；（3）①連接，設(shè)半徑為，由勾股定理可解得，，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即、重合時(shí)，此時(shí)，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可解得，即當(dāng)中有一個(gè)角與相等時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為3；②若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），可分別計(jì)算出當(dāng)落在邊上時(shí)和當(dāng)落在邊上時(shí)的長(zhǎng)，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：如下圖，連接，∵是的直徑，，∴，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴；（2）如下圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若與相切，∵為半徑，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）①連接，如下圖，∵，，設(shè)半徑為，則，，∴在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，∴，∴在中，由勾股定理可得；∵四邊形內(nèi)接于，∴；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即、重合時(shí)，如下圖，此時(shí)，，∴，又∵，∴，∵，又∵，，∴，，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)中有一個(gè)角與相等時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為3；②若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），則的取值范圍為，理由如下：當(dāng)落在邊上時(shí)，如下圖，連接交于點(diǎn)，連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱，∴，，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴經(jīng)過(guò)圓心，，∴在中，，∴，∴在中，；當(dāng)落在邊上時(shí)，如下圖，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形，∴，且，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴在中，，∴，∴在中，，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴．綜上所述，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），則的取值范圍為：．2．（2022·浙江寧波·?？家荒＃┑妊切沃校?，且內(nèi)接于圓，、為邊上兩點(diǎn)（在、之間），分別延長(zhǎng)、交圓于、兩點(diǎn)（如圖），記，．(1)求的大?。ㄓ?，表示）；(2)連接，交于（如圖），若，且，求證：；(3)在（2）的條件下，取中點(diǎn)，連接、（如圖），若，①求證：，；②請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)①證明見(jiàn)解析；②或．【分析】（1）如圖中，連接，利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等即可求出的大?。唬?）利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可證，得到，再根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，，即可證明結(jié)論；（3）①如圖中，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明≌，推出，，再證明，得到中位線，即可證明結(jié)論；連接，，設(shè)，則，，設(shè)，利用勾股定理求出，之間的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖中，連接，，，，，，；（2）解：證明：如圖中，，，，，，，，，，，∴，，，；（3）解：①證明：如圖中，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，，，，，是直徑，，，，，，在和中，，≌，，，，，，，，，，為的中位線，，，；解：連接，，又，為的中位線，，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)，，，，，，，，整理得，或，或．3．（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點(diǎn)E，連接PE交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；②求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CF的最大值，并判斷此時(shí)PE與AC的位置關(guān)系；(4)若點(diǎn)N在⊙O的內(nèi)部，直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】(1)60°(2)①⊙O與CD相切；②(3)CF的最大值為3cm，此時(shí)AC⊥PE(4)當(dāng)0<t<1時(shí)或17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)易證△ACD為等邊三角形，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可得到∠APE的度數(shù)；（2）①先找出⊙O與AD相切時(shí)的情況，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可證明⊙O與CD相切；②根據(jù)切線長(zhǎng)定理和菱形的性質(zhì)，可求得圓的半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；（3）要使CF取得最大值，則AF應(yīng)該取最小值，當(dāng)AC⊥PE時(shí)，AF最小，此時(shí)CF取得最大值，求出即可；（4）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P在AB上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACE=60°，∴∠APE=∠ACE=60°，故答案為：60°．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，⊙O與AD相切，①∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=CD，∵⊙O與AD相切，∴⊙O與CD相切；②連接OD，由（1）可知，∠ADC=60°，∵AD、CD分別與⊙O相切，∴∠ADO=∠ADC=30°，∴AO==，∴；（3）由圖可知：CF=AC-AF，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，則AC=12cm，∠ACB=60°，∴要使CF取得最大值，則AF應(yīng)該取最小值，當(dāng)AC⊥PE時(shí)，AF最小，此時(shí)CF取得最大值，∵點(diǎn)O為△APC外接圓圓心，∴OA=OC=OP==6cm，∵∠ACB=60°，∴CF==3cm，綜上：CF的最大值為3cm，此時(shí)AC⊥PE．（4）①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，∵四邊形APCE為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠APC+∠AEC=180°，∵∠AED++∠AEC=180°，∴∠APC=∠AED，在△APC和△DEA中，AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED，∴△APC≌△DEA，∴AP=DE，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，DE=DN=AP=4，∴MP=4-3=1cm，∴t=1s，當(dāng)0<t<1時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；②當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵∠AEP=∠ACP=60°，∴△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，當(dāng)點(diǎn)E與帶你N重合時(shí)，CE=CN=BP=12-4=8cm，此時(shí)t==9+8=17s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，t=21s，當(dāng)17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；綜上：當(dāng)0<t<1時(shí)或17<t<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部．4．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知在扇形中，點(diǎn)C、D是上的兩點(diǎn)，且．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求弦的長(zhǎng)；(2)如圖2，聯(lián)結(jié)，交半徑于點(diǎn)E，當(dāng)//時(shí)，求的值；(3)當(dāng)四邊形是梯形時(shí)，試判斷線段能否成為內(nèi)接正多邊形的邊？如果能，請(qǐng)求出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)線段能成為的內(nèi)接正多邊形的邊，邊數(shù)為18【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)可得，然后由余角的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)可得答案；（2）由平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得．然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理分兩種情況進(jìn)行解答：①；②．【詳解】（1）解：設(shè)，取的中點(diǎn)E，連接，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，又，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴．解之得，∴；（3）解：當(dāng)四邊形是梯形時(shí)，①，∴，∵，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴．當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去．②，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴．∴線段能成為的內(nèi)接正多邊形的邊，邊數(shù)為18．5．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？既＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦，垂足為H，P為弧AD上一點(diǎn)．(1)如圖1，連接AC、PC、PA，求證：；(2)如圖2，連接PB，PB交CD于E，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接AE，且，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為G，若，，求BH的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）連接AD，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)圓周角相等即可證明；（2）連接OP，根據(jù)切線性質(zhì)以及余角的性質(zhì)即可證明，從而證得；（3