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文檔簡介
云南省瀘西縣一中2025屆高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若,,則的值為()A. B. C. D.2.在四邊形中,,,,,,點在線段的延長線上,且,點在邊所在直線上,則的最大值為()A. B. C. D.3.射線測厚技術(shù)原理公式為,其中分別為射線穿過被測物前后的強度,是自然對數(shù)的底數(shù),為被測物厚度,為被測物的密度,是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為()(注:半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度,,結(jié)果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.4.若函數(shù)在時取得最小值,則()A. B. C. D.5.直線與拋物線C:交于A,B兩點,直線,且l與C相切,切點為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.6.若等差數(shù)列的前項和為,且,,則的值為().A.21 B.63 C.13 D.847.關(guān)于圓周率π,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.8.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱;③若在上恰有7個零點,則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.49.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.設函數(shù)在定義城內(nèi)可導,的圖象如圖所示,則導函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.11.已知集合,則()A. B. C. D.12.設為虛數(shù)單位,則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐,,是邊長為4的正三角形,,分別是、的中點,為棱上一動點(點除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.14.在三棱錐中,,,兩兩垂直且,點為的外接球上任意一點,則的最大值為______.15.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.16.在數(shù)列中,已知,則數(shù)列的的前項和為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線:與拋物線切于點,直線:過定點Q,且拋物線上的點到點Q的距離與其到準線距離之和的最小值為.(1)求拋物線的方程及點的坐標;(2)設直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B,直線PA,PB的斜率分別為,那么是否存在實數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.18.(12分)在四棱錐中,是等邊三角形,點在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設直線與平面相交于點,若,求的值.19.(12分)設函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項和為,求證:.20.(12分)已知等差數(shù)列滿足,.(l)求等差數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍22.(10分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)設函數(shù),對于任意,恒成立,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
取,得到,取,則,計算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,取和是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】
依題意,如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系,表示出點的坐標,根據(jù)求出的坐標,求出邊所在直線的方程,設,利用坐標表示,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解:依題意,如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系,由,,,,,,,因為點在線段的延長線上,設,解得,所在直線的方程為因為點在邊所在直線上,故設當時故選:【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,關(guān)鍵是建立平面直角坐標系,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.4、D【解析】
利用輔助角公式化簡的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時的值.【詳解】解:,其中,,,故當,即時,函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應用,屬于基礎題.5、D【解析】
設出坐標,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導數(shù)求最值.【詳解】設,,聯(lián)立,得則,則由,得設,則,則點到直線的距離從而.令當時,;當時,故,即的最小值為本題正確選項:【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應用,考查利用導數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.6、B【解析】
由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求,,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解:因為,,所以,解可得,,,則.故選:B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應用,屬于基礎題.7、D【解析】
由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學取對都小于的正實數(shù)對,即,對應區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.8、B【解析】
對函數(shù)化簡可得,進而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性及平移變換,對四個命題逐個分析,可選出答案.【詳解】因為,所以周期.對于①,因為,所以,即,故①錯誤;對于②,函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對稱,則,解得,故對任意整數(shù),,所以②錯誤;對于③,令,可得,則,因為,所以在上第1個零點,且,所以第7個零點,若存在第8個零點,則,所以,即,解得,故③正確;對于④,因為,且,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性,考查學生的計算求解能力與推理能力,屬于中檔題.9、B【解析】
先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎.解題時可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進行判斷.10、D【解析】
根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應范圍上的符號和極值點,據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個不同的零點,且在這兩個零點的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點睛】本題考查導函數(shù)圖象的識別,此類問題應根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導函數(shù)的符號與零點情況,本題屬于基礎題.11、B【解析】
計算,再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點睛】本題考查了集合的交集,意在考查學生的計算能力.12、A【解析】
利用復數(shù)的除法運算化簡,求得對應的坐標,由此判斷對應點所在象限.【詳解】,對應的點的坐標為,位于第一象限.故選:A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算,考查復數(shù)對應點所在象限,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
取的中點,連接,,取的中點,連接,,,直線與所成的角為,計算,,根據(jù)余弦定理計算得到答案。【詳解】取的中點,連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因為,分別、的中點,所以,因為,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點,連接,,,因為,所以直線與所成的角為,設,則,,所以,化簡得,解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.14、【解析】
先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì),求出外接球的半徑,結(jié)合向量的運算,將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點到外心距離最大的問題,即可求得結(jié)果.【詳解】因為兩兩垂直且,故三棱錐的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點,如下圖所示:容易知外接球半徑為.設線段的中點為,故可得,故當取得最大值時,取得最大值.而當在同一個大圓上,且,點與線段在球心的異側(cè)時,取得最大值,如圖所示:此時,故答案為:.【點睛】本題考查球體的幾何性質(zhì),幾何體的外接球問題,涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算,屬綜合性困難題.15、2【解析】
由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點,即求.【詳解】不妨設點P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點∴,.∵M,N分別為PQ,PF的中點,∴,∵PQ垂直l于點Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點,∴,故答案為:2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎題.16、【解析】
由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,求其通項公式,得到,再由求解.【詳解】解:由,得,,則數(shù)列的所有奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.,..故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式,訓練了數(shù)列的分組求和,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(1,2);(2)存在,【解析】
(1)由直線恒過點點及拋物線C上的點到點Q的距離與到準線的距離之和的最小值為,求出拋物線的方程,再由直線與拋物線相切,即可求得切點的坐標;(2)直線與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得直線PA,PB的斜率,求出斜率之和為定值,即存在實數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】(1)由題意,直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0,所以定點Q的坐標為拋物線的焦點坐標,由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為,可得,解得或(舍去),故拋物線C的方程為又由消去y得,因為直線與拋物線C相切,所以,解得,此時,所以點P坐標為(1,2)(2)設存在滿足條件的實數(shù),點,聯(lián)立,消去x得,則,依題意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在實數(shù)=滿足條件.【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應用,解答此類題目,通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程,應用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解,此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足,導致錯解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.18、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)取中點為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進而求證;(2)以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,由點在棱上,可設,即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解;(3)設,,則,求得,,即可求得點的坐標,再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】(1)證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.(2)以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,則,,,,因為在棱上,可設,所以,設平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設直線與平面所成角為,所以,可知當時,取最大值.(3)設,則有,得,設,那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內(nèi),所以,所以,所以,即,所以或者(舍),即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運算能力與空間想象能力.19、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù),通過解關(guān)于導數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學歸納法進行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當時,f′(x)<2,當時,f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設,則,因為x≥2,故,(ⅰ)當a≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因為,所以,故.法二:?下面用數(shù)學歸納法證明.(1)當n=1時,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設n=k(k∈N*,k≥1)時,不等式成立,即,則
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