2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙一中高三上學(xué)期月考卷（三）數(shù)學(xué)試題及答案

長(zhǎng)沙市一中2025屆高三月考試卷（三）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分8540分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1i3z1.若復(fù)數(shù)z滿足z，則（）2525C.5552an的前項(xiàng)和Snn22na3a4a52.已知數(shù)列，則等于（）n1215C.18213.拋物線y4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）(11C)(0,)16x的部分圖象，則函數(shù)的解析式可為（y4.如圖是函數(shù)）πy2xπ3ysinxC.3π6y2xy2x65.1903?齊奧爾科夫斯基就提出單級(jí)火箭在不考慮空氣阻力1m2vv0v1,m分別為火箭結(jié)構(gòu)2和地球引力的理想情況下的最大速度滿足公式：1v質(zhì)量和推進(jìn)劑的質(zhì)量，是發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度已知某單級(jí)火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量是推進(jìn)劑質(zhì)量的倍，.208km/sln2，火箭的最大速度為ln3ln41.4，則火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度為（）803/s/s8C.km/s/s656.若10cos，，則cos的值為（）555104C.4447.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，向左的概率21為，向右的概率為，共移動(dòng)4次，則該質(zhì)點(diǎn)共兩次到達(dá)1的位置的概率為（）33482949C.278.設(shè)S為數(shù)列?的前naan21kN*，SS的取a1n?nn1kk1值集合為（）C.3618分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求，若全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得0分）9.如圖，在正方體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確11111的是（）直線EF與DB為異面直線直線DE與DC所成的角為o1111C.1FAD平面110.已知P是圓O:x2y2l:sin4l:sincos14與交于點(diǎn)12Q，則（）1l2直線與圓O相切l(wèi)1lO的值為C.直線與圓截得弦長(zhǎng)為232已知三次函數(shù)fxax3bx2d有三個(gè)不同的零點(diǎn)x，x，xx2x，函數(shù)12313gxfx1ttttt2t也有三個(gè)零點(diǎn)，，，則（）12313b2acb若x，x，x成等差數(shù)列，則x1232aC13tt311x222322t22t321三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）EXDXB,p32n12.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，，則_____.bb1a2b1，aab為_(kāi)_____.13.已知平面向量a，滿足在a上的投影向量為414.ABCD的體積為32EF分別為BCGH分別在CD，上，且G，H是靠近D點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則多面體的體積為_(kāi)____.四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）acbA0.15.設(shè)VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，b，，已知aB（1）求A；（2）若BCA，且VABC的面積為，求的值.a3116.設(shè)fxx2axxx2，aR.處的切線方程；的單調(diào)性.2（1）若a0，求fx在x1fx，試討論（2）若aR17.已知四棱錐PABCDABCD為菱形，,H為PC的平面分別PB,M,N，且BD∥平面．交于點(diǎn)（1）證明：；（2）當(dāng)H為PC的中點(diǎn)，平面所成的銳二面角的余弦值．3,與平面ABCD60所成的角為，求平面與y218.已知雙曲線:x21F，F(xiàn)F的直線l與雙曲線交于，兩點(diǎn).AB1223（1）若x軸，求線段的長(zhǎng)；（2l交y軸于點(diǎn)MBF交y軸于點(diǎn)N.11（）若S1ABS，求直線l的方程；1（）若F1，F(xiàn)恒在以2為直徑的圓內(nèi)部，求直線的斜率的取值范圍.lkk19.已知a是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于kN*Bi∣*inbkBBkb0.k為集合中的元素個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，規(guī)定kan，求b，b，b的值；2（1）若n12（2）若n2nbnSS，設(shè)的前項(xiàng)和為，求1；nn2na的通項(xiàng)公式n（3）若數(shù)列b是等差數(shù)列，求數(shù)列.n長(zhǎng)沙市一中2025屆高三月考試卷（三）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分8540分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1i3zzz1.若復(fù)數(shù)（）25525A.D.552【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，計(jì)算其模，即得答案.1i1i1i317i3z【詳解】由，33325z2則z,5故選：Ca4a5anSnn22na32.已知數(shù)列等于（）nA.121518D.21【答案】B【解析】SS5aaa【分析】利用即可求得的值.2345anSnn22n，【詳解】因?yàn)閿?shù)列n2522215.aaaSS52234552故選：3.拋物線y4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）(A.D.11)(0,)16第1共頁(yè)【答案】D【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)1y4x2x2y，【詳解】解：由414y所以拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且2p，18p1p，，21(0,)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為16故選：Dxy的部分圖象，則函數(shù)的解析式可為（4.如圖是函數(shù)）π3π3y2xysinxA.D.π6y2xy2x6【答案】A【解析】5π12xyx求由此判斷，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷D.2ππ36yxπ2【詳解】觀察圖象可得函數(shù)的最小正周期為T，2ππ2或2，排除B；π62π35π觀察圖象可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，x25π3π當(dāng)2時(shí)，可得22，kZ，122第2共頁(yè)2π3所以2，kZ，排除；5ππ2當(dāng)2時(shí)，可得22π，kZ，12π所以2，，kZ3π0可得，取k，3π3ysinπ2x故函數(shù)的解析式可能為A正確；5ππ3πy2x2xsin2xD623故選：A.5.1903?齊奧爾科夫斯基就提出單級(jí)火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的1m2v理想情況下的最大速度滿足公式：vv1,m，其中分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推進(jìn)劑的質(zhì)量，201v0是發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度.已知某單級(jí)火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量是推進(jìn)劑質(zhì)量的2倍，火箭的最大速度為8km/s，則火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度為（ln2，ln3ln41.4）803/s/skm/s/sD.A.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算可得.1m22m212mvv208，【詳解】由題意，20m1228883020v83得ln321.10.7，022故選：B8656.若10cos，的值為（cos）555104A.D.444【答案】C第3共頁(yè)【解析】【分析】已知兩式平方相加，再由兩角和的余弦公式變形可得．865【詳解】因?yàn)?0cos，，，5642510cos)210sin)2，64即所以26coscos10cos2，259sin2610sinsin2，兩式相加得96)4，)，4故選：C．27.O31概率為，共移動(dòng)4次，則該質(zhì)點(diǎn)共兩次到達(dá)1的位置的概率為（）3482949A.D.27【答案】A【解析】【分析】根據(jù)該質(zhì)點(diǎn)共兩次到達(dá)1的位置的方式有移動(dòng)向左向右均可以求解.0101和0121，且兩種方式第4次【詳解】共移動(dòng)4次，該質(zhì)點(diǎn)共兩次到達(dá)1的位置的方式有0100121，且兩種方1和4次移動(dòng)向左向右均可以，1211124所以該質(zhì)點(diǎn)共兩次到達(dá)1的位置的概率為故選：A..33333327S??aan1kN*，SS的取值集合a18.設(shè)為數(shù)列nnnn1kk1）A.D.第4共頁(yè)【答案】A【解析】nn1n12n1a2n【分析】利用可證明得數(shù)列和都是公差為2的等差數(shù)列，再可求得kSnn1，有了這些信息，就可以從的取值分析并求解出結(jié)果.2naan1，【詳解】因?yàn)閚n13+4n1nn2n1，S=aa+aa++a2n37+4n1=2n12342n122Snn1，解得n或n=2nSkSk1k19或k20，由存在kN*，，所以有aan1可得，nn22n3，兩式相減得：n2n2由，nn1SS當(dāng)k20時(shí)，有a210，n2可知：數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，公差為2，aan2a+120，a1，解得211SSa0，當(dāng)k19時(shí)，有an2可知：數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)也是等差數(shù)列，公差為2，n2a+120a，解得，2a202aa3a.1由已知得，所以12故選：A.3618分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求，若全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得0分）ABCD中E，F(xiàn)分別為1AD1，9.）111第5共頁(yè)A.與1FAD1B為異面直線所成的角為o1E與DC11D.1【答案】【解析】D.【詳解】如圖所示，連接AC，CD1，，E，F(xiàn)分別為AD，的中點(diǎn)，即面CCD1C，1F為AC的中點(diǎn)，1//CD，，面11CD正確；1BCD與1B為異面直線，即A正確；1EF與1共面，而，所以直線111E//，1，易得11B1E與DC所成的角或其補(bǔ)角，1即為直線為等邊三角形，即1B60，所以B正確；11FAD1D，所以，AD面1，由于，1而AD1面顯然不成立，故C錯(cuò)誤；故選：第6共頁(yè)10.PO:x2y24上的動(dòng)點(diǎn)，直線1:sin4與l:sincos1交于點(diǎn)Q，2）1l2lA.O1l2OD.的值為截得弦長(zhǎng)為23【答案】【解析】ll1AABB0B由圓心OlA，到的距離不等半徑可判斷錯(cuò)212121cos,4cossinQ4sin誤；選項(xiàng)C根據(jù)垂直定理可得；選項(xiàng)D先求出可得.，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式【詳解】sinsincos0llA正確；12A0,0，半徑為O的圓心O的坐標(biāo)為r2，4O到的距離為ld14rlO，故直線相離，故錯(cuò)誤；B112sin2第7共頁(yè)1d21，2：圓心O到的距離為l1sincos2故弦長(zhǎng)為l2r2d223C正確；2sin4x4sinD得，sin1y4sincosQ4,4sin故，4sin24sinD2故故選：fx已知三次函數(shù)32d有三個(gè)不同的零點(diǎn)xx2xx2x，函數(shù)3，），131gx，則（t13fx1也有三個(gè)零點(diǎn)t1t2ttt2，，3A.b2acb若x1，x2x3x成等差數(shù)列，則2，axxtt3D.131x2223212t22t321【答案】【解析】【分析】對(duì)于A，由題意可得fx0有兩個(gè)不同實(shí)根，則由0即可判斷；對(duì)于Bx,x,x123fx的對(duì)稱中心，即可判斷；對(duì)于，結(jié)合圖象，當(dāng)x,fxa0和a0時(shí)，分類討差數(shù)列，則為22論即可判斷；對(duì)于D，由三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理，即可判斷.【詳解】因?yàn)閒x3d，2bbfxax2ca0，,f則，對(duì)稱中心為，aafxfx必有兩個(gè)極值點(diǎn)，A，因?yàn)橛腥齻€(gè)不同零點(diǎn)，所以fx2c=0即有兩個(gè)不同的實(shí)根，Δb212ac0b2acA正確；第8共頁(yè)x,x,x成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對(duì)稱性，312bfx為的對(duì)稱中心，所以x,fxx2B正確；22agxfx1gx0fx1，，函數(shù)yfxt1tt，，23則當(dāng)y1與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為，fxy1與的圖象，a0時(shí)，畫(huà)出xtxtxxtt，1313由圖可知，，1133當(dāng)a0時(shí)，則xxttC錯(cuò)誤；3131axxxxxxax3bx2d123對(duì)D，由題意，得，ax3bx2d1axtxtxt123baxxxttt123123整理，得，cxxxxxxtttttt122331122331a222tttttt，得x2x2xx2331ttt1312123122331x21223212t22t2即D正確.3故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用交點(diǎn)式得到三次方程的韋達(dá)定理式再計(jì)算即可.三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）EX3，DXn_____.B,p212.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布【答案】9【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望、方差公式，即可求得答案.EX3，DX2，B,p【詳解】由題意知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，第9共頁(yè)13npnp1p2p,n9，則，即得故答案為：91aa2b1，ab______.13.已知平面向量a，bb在a上的投影向量為4【答案】3【解析】ab.【分析】由條件結(jié)合投影向量公式可求ab，根據(jù)向量模的性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算律求1a【詳解】因?yàn)閎在a上的投影向量為，4baa1aa2，aa4b11，ab2ababa2abb24213.故答案為：3.14.的體積為32，E，F(xiàn)分別為，BCG，H分別在CD，且G，H是靠近D點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則多面體的體積為_(kāi)____.【答案】【解析】EG,被分成三棱錐GEDHE和四棱錐找到小棱錐底面面積與四面體底面面積的數(shù)量關(guān)系，以及小棱錐的高與四面體的高的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合四面體的體積即可求得多面體的體積.【詳解】EG,被分成三棱錐GEDHE和四棱錐.如圖，連接，則多面體1因H是上靠近D點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則SS，AEDDHE41111又E是的中點(diǎn)，故SDHESSS，AEDABDABD442814因G是CD上靠近D點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面的距離是點(diǎn)C到平面的距離的，111故三棱錐GEDH的體積VV321；GEDHCABD84133235S，又因點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，則SSSSCFGBCDBCD24881E是的中點(diǎn)知，點(diǎn)E到平面BCD的距離是點(diǎn)A到平面BCD的距離的，2515E的體積VVABCD3210，故四棱錐EBFGD8216故多面體的體積為GE1故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查多面體的體積求法，屬于較難題.一般的求法有兩種：1）分割法：即將多面體通過(guò)連線，作面的垂線等途徑，將其分成若干可以用公式求解；2）補(bǔ)形法：即將多面體通過(guò)輔助線段構(gòu)造柱體，錐體或臺(tái)體，利用整體體積減去個(gè)體體積等間接方法求.四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）acbA0.15.設(shè)VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，b，，已知aB1）求A；2）若BCAVABCa的面積為3的值.πA【答案】（）3a22）第共頁(yè)【解析】）利用正弦定理的邊角變換得到A3，從而得解；a2）利用正弦定理的邊角變換，余弦定理與三角形面積公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【小問(wèn)1詳解】aBbA0即asinBbA，,由正弦定理得sinAsinB3sinBA，sinB0，所以A3A則A3，π3A0,πA又，所以.【小問(wèn)2詳解】BCA，由正弦定理得bca，π113AbcA34，，所以S3222由余弦定理a2b2c2bccosAb2cbc42，bc22344，解得bc42aa2.1fxx2axxx2aR，16.設(shè)1）若a0.2fx在x1處的切線方程；fx，試討論的單調(diào)性.2）若aR4x2y30【答案】（）2）答案見(jiàn)解析【解析】ff）由函數(shù)式和導(dǎo)函數(shù)式求出和，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可寫(xiě)出切線方程；的取值進(jìn)行分類討論，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)推得原函數(shù)的增減，的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】f(x)a2fx112fxx2xx2fx2xxf,f2，當(dāng)a0，21x1處的fx在4x2y30y2(x故切線方程為；2【小問(wèn)2詳解】1)，的定義域?yàn)閒xx2axxx2因函數(shù)2fx(2xa)lnx2xa(2xax，21e1a0xx12xa0f(x)0f(x)在上單調(diào)遞)①當(dāng)時(shí)，若，即函數(shù)ee1ax2xa0x若.e21a1ax2xa0，x10f(x)0f(x)(,)在，即函數(shù)上單調(diào)遞減；e2e2aaxx12xa0f(x)0f(x)(,)上單調(diào)遞增；當(dāng)，即函數(shù)在2221e1axx12xa0f(x)0f(x)a1(,)上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)在e1eaxx12xa0f(x)0f(x)(,)若若當(dāng)，即函數(shù)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，2ea2ea0xx12xa0f(x)0f(x))在222在上單調(diào)遞增，afx0恒成立，函數(shù)fxe211aaaf(x))在(,)(,)綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；eee222aafx在當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增；e2aa11f(x)(0,)在(,)(,)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.e22e,He17.已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，為PC上的點(diǎn)，過(guò)的平面分別交PB,M,NBD．1）證明：；2）當(dāng)H為PC的中點(diǎn)，3,與平面ABCD所成的角為60，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】（）證明見(jiàn)詳解392）13【解析】PAC1）根據(jù)線面垂直可證平面，則，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證BD∥，進(jìn)而可得結(jié)果；平面，根據(jù)線面夾角可知PAC為等邊三角形，建立空間直角坐標(biāo)系，（2）根據(jù)題意可證利用空間向量求面面夾角.【小問(wèn)1詳解】ACBDOAC,O的中點(diǎn)，連接，設(shè)為為菱形，則，又因?yàn)镻DO，AC,PACPBO為BD的中點(diǎn)，則，BDPAC，PAC，所以且，，又因?yàn)锽D∥平面BD∥，所以【小問(wèn)2詳解】，BDPBD，平面.O為的中點(diǎn)，則，且PO，ACBDO，,ABCD，所以ABCD，PA與平面所成的角為PAC為等邊三角形，IGG,G，PO設(shè)G，GPBD，AMHN，所以GMNPBD，,,交于一點(diǎn)G，且平面H為PC的中點(diǎn)，則G為PAC的重心，PMPNPG23且BD∥，PBPDPO12PAPC23,AC3,3設(shè)2，如圖，以,OB,分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，232A3,0,0,P0,3,M,1,N,1則，3u2343AM3,,1,NM,0,AP3,0,3，2nxyz0n1113x,y,z設(shè)平面的法向量，1114nNM103x11yz3n3令，可得，112mmxyz0x,y,z2322設(shè)平面PAM的法向量，222mxz0223,，x32y1z21，可得m令r,mrnm23，2nm39所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值.13y218.已知雙曲線:x21的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)Fl的直線與雙曲線A，B兩點(diǎn).223x1）若軸，求線段的長(zhǎng)；2）若直線l與雙曲線的左、右兩支相交，且直線交y軸于點(diǎn)M，直線BF交1y軸于點(diǎn)N.1SS，求直線l的方程；i1AB1F1F為直徑的圓內(nèi)部，求直線l的斜率的取值范圍.ii，恒在以2【答案】（）線段的長(zhǎng)為6；22i）直線l的方程為x=±y+2；3734337ii）直線l的斜率的取值范圍為(,)(,).747【解析】）直接代入橫坐標(biāo)求解縱坐標(biāo)，從而求出的值；2）先設(shè)直線和得到韋達(dá)定理，在分別得到兩個(gè)三角形的面積公式，要求相等，代入韋達(dá)定理求出參數(shù)的值即可.【小問(wèn)1詳解】y22b232b2，由雙曲線:x21的方程，可得a，所以abx2，3,ca23F(0)F(2,0)x軸，則直線，的方程為12(2,B(2,6；代入雙曲線方程可得，所以線段的長(zhǎng)為【小問(wèn)2詳解】i）如圖所示，x,B為左右頂點(diǎn)，此時(shí)1,,B不構(gòu)成三角形，矛盾，若直線l的斜率為0，此時(shí)l為所以直線l的斜率不為0l:xty2(xyxy)，，11222y210x21txt2y290t，應(yīng)滿足3，消去得，Δt2t02xty2t9由根與系數(shù)關(guān)系可得yy,yy，12t212t211211210122y112y(x(x2)x0x0yMN))的方程為的方程為，，1y20222y2222y2BFyy1221S|SS|FF||yy2|yy|，1AB1FFBFFA121212121221212y2Sx|yy|yy||F1MNMN21222212y22yty2yty1221yy)12||||，14ty24tytyt2yyt(yy)121212yy)SS|12|2|yy|由，可得，1AB1212tyyt(1y)1229t|t21y24t(1y2)164，所以|t2t()164，t21t21t2t2t1216t212021|4，|4，解得2t，t2t2210t210521經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以t，Δt2t20y+2；2所以直線l的方程為x=±F1F2FMFii，恒在以為直徑的圓內(nèi)部，可得，12FM212222FN)FMFN0，11111221221y240，所以10，x2x21(x2)(x21291y22t1所以10，所以10，t2yyt(yy)9t2t()161212tt21t21t27167169743470，解得t2t，解得或t，t29333t210經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，Δt2t0237734337所