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2025屆百校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在求的表面上,且是等邊三角形,底面,,,若點(diǎn)在線段上,且,則過點(diǎn)的平面截球所得截面的最小面積為()A. B. C. D.2.已知為正項(xiàng)等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和,若,且與的等差中項(xiàng)為,則的值是()A.29 B.30 C.31 D.323.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.4.在中,已知,,,為線段上的一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知集合(),若集合,且對(duì)任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.6.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)()A. B. C.2 D.7.函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為()A. B. C. D.8.對(duì)于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.9.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.10.已知直線與圓有公共點(diǎn),則的最大值為()A.4 B. C. D.11.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),是的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的漸近線方程為()A. B. C. D.12.如果實(shí)數(shù)滿足條件,那么的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,則_____.14.?dāng)?shù)學(xué)家狄里克雷對(duì)數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn),是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù),稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域?yàn)?②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫出所有正確的結(jié)論的序號(hào))15.在棱長(zhǎng)為的正方體中,是正方形的中心,為的中點(diǎn),過的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為______.16.已知函數(shù),若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.18.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)D在橢圓C上,的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l,若l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.19.(12分)已知等差數(shù)列滿足,公差,等比數(shù)列滿足,,.求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;若數(shù)列滿足,求的前項(xiàng)和.20.(12分)如圖,橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,,上、下頂點(diǎn)分別為,,且,為等邊三角形,過點(diǎn)的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求四邊形面積的取值范圍.21.(12分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.22.(10分)“綠水青山就是金山銀山”,為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識(shí),高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組,分為兩組,討論學(xué)習(xí).甲組一共有人,其中男生人,女生人,乙組一共有人,其中男生人,女生人,現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.(1)設(shè)事件為“選出的這個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生,而且這兩個(gè)男生必須來自不同的組”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和期望

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意畫出圖形,求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑,再求出外接球球心到D的距離,利用勾股定理求得過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑,則答案可求.【詳解】如圖,設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G,則外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O,則外接球的半徑R=取SA中點(diǎn)E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以O(shè)D=.則過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點(diǎn)D的平面截球O所得截面的最小面積為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問題,還考查了求截面的最小面積,屬于較難題.2、B【解析】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì),求出公比,再由等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算即可得到所求.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,則a4=16q3,a7=16q6,a4與a7的等差中項(xiàng)為,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(負(fù)值舍去),則有S5===1.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用,同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.3、B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長(zhǎng)為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.4、A【解析】

在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則、、,為線段上的一點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個(gè)單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計(jì)算能力,屬于難題.5、C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于函數(shù),令,解得,當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸為,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點(diǎn),得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A,所以,解得,因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn),所以圓心到直線的距離,即,解得,此時(shí),因?yàn)?,在遞增,所以的最大值.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),又由的斜率為可得出關(guān)系,即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖,因?yàn)闉榈妊切危?,所以?,又,,解得,所以雙曲線的漸近線方程為,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于中檔題.12、B【解析】

解:當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),最大,故選B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、81【解析】

設(shè)數(shù)列的公比為,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出,代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知,因?yàn)椋傻缺葦?shù)列通項(xiàng)公式可得,,解得,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.14、②【解析】

根據(jù)新定義,結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③,由定義求得比小的有理數(shù)個(gè)數(shù),即可確定④.【詳解】對(duì)于①,由定義可知,當(dāng)為有理數(shù)時(shí);當(dāng)為無理數(shù)時(shí),則值域?yàn)?,所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù),無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù),所以滿足,所以②正確;對(duì)于③,因?yàn)椋?dāng)為無理數(shù)時(shí),可以是有理數(shù),也可以是無理數(shù),所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由定義可知,所以④錯(cuò)誤;綜上可知,正確的為②.故答案為:②.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用,正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15、【解析】

確定平面即為平面,四邊形是菱形,計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點(diǎn)為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點(diǎn)共面,記的中點(diǎn)為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為,易知四邊形是菱形,其對(duì)角線,,所以其面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.16、【解析】

畫出函數(shù)的圖象,再畫的圖象,求出一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的值,然后平行移動(dòng)可得有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以圖象與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)即可,當(dāng)過點(diǎn)時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn),即時(shí),與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn),由圖象可知,直線向下平移后有兩個(gè)交點(diǎn),可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得.(2)由經(jīng)三角變換可得,然后運(yùn)用余弦定理可得,從而得到,故得.詳解:(1)由題意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由題意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴.∴面積的最大值為.點(diǎn)睛:(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查,解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用,如余弦定理中常用的變形,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.(2)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),要注意等號(hào)成立的條件,在解題中必須要注明.18、(1)(2)見解析【解析】

(1)由,周長(zhǎng),解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時(shí),求得,再證明的斜率存在時(shí),即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡(jiǎn)即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,周長(zhǎng),且.聯(lián)立解得,,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)其方程為,則,所以,即.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,并設(shè),由,,,由直線l與圓E相切,得.所以.從而,即.綜合上述,得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生計(jì)算求解能力,難度較難.19、,;.【解析】

由,公差,有,,成等比數(shù)列,所以,解得.進(jìn)而求出數(shù)列,的通項(xiàng)公式;當(dāng)時(shí),由,所以,當(dāng)時(shí),由,,可得,進(jìn)而求出前項(xiàng)和.【詳解】解:由題意知,,公差,有1,,成等比數(shù)列,所以,解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.?dāng)?shù)列的公比,其通項(xiàng)公式.當(dāng)時(shí),由,所以.當(dāng)時(shí),由,,兩式相減得,所以.故所以的前項(xiàng)和,.又時(shí),,也符合上式,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念,通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,方程思想,分類討論思想,應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)坐標(biāo)和為等邊三角形可得,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),易求坐標(biāo),從而得到所求面積;②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,并確定的取值范圍;利用,代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得關(guān)于的表達(dá)式,采用換元法將問題轉(zhuǎn)化為,的值域的求解問題,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域;結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.【詳解】(1),,為等邊三角形,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)四邊形的面積為.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可得,,.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,設(shè),,聯(lián)立得:,,,.,,,,面積.令,則,,令,則,,在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,.綜上所述:四邊形面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題,涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問題;關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問題.21、(1)2;(2)【解析】分析:(1)將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),求函數(shù)的最小值(2)分離參數(shù),利用基本不等式證

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