2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系2.1.3空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版必修2

PAGE2.1.3空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系2．1.4平面與平面之間的位置關(guān)系[目標(biāo)]1.會(huì)推斷直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系；2.會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表示直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系．[重點(diǎn)]直線(xiàn)與平面、平面與平面位置關(guān)系的推斷．[難點(diǎn)]直線(xiàn)與平面、平面與平面位置關(guān)系的推斷．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系[填一填]1．位置關(guān)系：有且只有三種(1)直線(xiàn)在平面內(nèi)——有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線(xiàn)與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線(xiàn)與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)．直線(xiàn)與平面相交或平行的狀況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外．2．符號(hào)表示：直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，記為l?α；直線(xiàn)l與平面α相交于點(diǎn)M，記為l∩α＝M；直線(xiàn)l與平面α平行，記為l∥α.3．圖示：直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，如下圖(1)所示；直線(xiàn)l與平面α相交于點(diǎn)M，如下圖(2)所示；直線(xiàn)l與平面α平行，如下圖(3)所示．[答一答]1．假如不當(dāng)心一支鉛筆掉在地面上，那么鉛筆所在的直線(xiàn)與地面有何關(guān)系？提示：直線(xiàn)在平面內(nèi)．2．直線(xiàn)l在平面α外，l就與α無(wú)公共點(diǎn)嗎？提示：直線(xiàn)l在平面α外包含兩種狀況：l與α平行，l與α相交．若l與α相交，則有唯一的公共點(diǎn)．所以直線(xiàn)l在平面α外，l與α不肯定沒(méi)有公共點(diǎn)．3．若直線(xiàn)l上有多數(shù)個(gè)點(diǎn)都在平面α外，則直線(xiàn)l與平面α的位置關(guān)系是什么？提示：相交或平行．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二平面與平面的位置關(guān)系[填一填]1．位置關(guān)系：有且只有兩種(1)兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)兩個(gè)平面相交——有一條公共直線(xiàn)．2．符號(hào)表示：兩個(gè)平面α，β平行，記為α∥β；兩個(gè)平面α，β相交于直線(xiàn)l，記為α∩β＝l.3．圖示：兩個(gè)平面α，β平行，如下圖(1)所示；兩個(gè)平面α，β相交于直線(xiàn)l，如下圖(2)所示．[答一答]4．兩本書(shū)所在的平面可以平行嗎？公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？提示：可以，無(wú)公共點(diǎn)．5．兩本書(shū)所在的平面可以相交嗎？公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？提示：可以，有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．類(lèi)型一直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系[例1]下列命題中正確的是()A．假如a、b是兩條直線(xiàn)，a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面B．假如直線(xiàn)a和平面α滿(mǎn)意a∥α，那么a平行于平面α內(nèi)的任何一條直線(xiàn)C．假如直線(xiàn)a、b滿(mǎn)意a∥α，b∥α，則a∥bD．假如直線(xiàn)a、b和平面α滿(mǎn)意a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α[解析]如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′卻在過(guò)BB′的平面AB′內(nèi)，故選項(xiàng)A不正確；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故選項(xiàng)B不正確；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′與A′D′相交，所以選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D中，假設(shè)b與α相交，因?yàn)閍∥b，所以a與α相交，這與a∥α沖突，故b∥α，即選項(xiàng)D正確．故選D.[答案]D推斷空間中直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，一般先作出幾何圖形，直觀(guān)推斷，然后依據(jù)公理給出嚴(yán)格證明．另外，借助模型(如長(zhǎng)方體)舉反例也是解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法．[變式訓(xùn)練1]如圖所示，A′B與長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的六個(gè)面所在的平面有什么位置關(guān)系？解：∵直線(xiàn)A′B與平面ABB′A′有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，∴直線(xiàn)A′B在平面ABB′A′內(nèi)．∵直線(xiàn)A′B與平面ABCD，BCC′B′都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B，∴直線(xiàn)A′B與平面ABCD，BCC′B′相交．∵直線(xiàn)A′B與平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A′，∴直線(xiàn)A′B與平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．∵直線(xiàn)A′B與平面DCC′D′沒(méi)有公共點(diǎn)，∴直線(xiàn)A′B與平面DCC′D′平行．類(lèi)型二平面與平面之間的位置關(guān)系命題視角1：兩平面位置關(guān)系的推斷[例2]假如在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線(xiàn)，這兩條直線(xiàn)相互平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系肯定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交[解析]可依據(jù)題意作圖(如圖①②)，推斷．[答案]C兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行和相交.推斷兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個(gè)平面之間有沒(méi)有公共點(diǎn).解題時(shí)要擅長(zhǎng)將文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言，借助空間圖形作出推斷.[變式訓(xùn)練2]α，β是兩個(gè)不重合的平面，下面說(shuō)法正確的是(C)A．平面α內(nèi)有兩條直線(xiàn)a，b都與平面β平行，那么α∥βB．平面α內(nèi)有多數(shù)條直線(xiàn)平行于平面β，那么α∥βC．平面α內(nèi)全部的直線(xiàn)都與平面β平行，那么α∥βD．以上說(shuō)法均正確解析：依據(jù)兩平面相交和平行的定義進(jìn)行推斷，A，B都不能保證α，β無(wú)公共點(diǎn)，正確答案為C.命題視角2：兩平面位置關(guān)系的作圖[例3]完成下列作圖．(1)在圖中畫(huà)出兩個(gè)平行平面．(2)在圖中畫(huà)出兩個(gè)相交平面．(3)在圖中畫(huà)出一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交．(4)在圖中畫(huà)出三個(gè)兩兩相交的平面．[解]動(dòng)手作圖對(duì)于空間想象實(shí)力的培育大有幫助，也能夠更深刻地理解空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系.另外留意空間中不同狀況的探討，這也是一種分類(lèi)探討思想的詳細(xì)體現(xiàn).[變式訓(xùn)練3](1)兩個(gè)平面將空間分成幾部分？(2)將一個(gè)三棱柱的各面延展成平面后，這些平面可將空間分成幾部分？解：(1)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分；兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分．(2)如圖，將三棱柱的三個(gè)側(cè)面延展成平面后，可將空間分成7部分，然后將三棱柱的兩底面延展成平面，那么每一個(gè)平面將這7部分一分為二，故共分成3×7＝21部分．1．過(guò)平面外兩點(diǎn)，可作這個(gè)平面的平行線(xiàn)條數(shù)為(D)A．1條 B．2條C．多數(shù)條 D．不確定解析：可能有1條，也可能沒(méi)有．2．若a∩α＝A，則直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的直線(xiàn)的可能關(guān)系是(B)A．相交 B．相交或異面C．異面與平行 D．相交或平行3．在如圖正方體中，與平面AA1C1C平行的棱有BB1和DD1，與棱BB1平行的平面有平面AD1和平面4．下列命題：①兩個(gè)平面有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合；②若l，m是異面直線(xiàn)，l∥α，m∥β，則α∥β.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為①②.解析：對(duì)于①，兩個(gè)平面相交，則有一條交線(xiàn)，也是有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，借助于正方體ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D5．指出如下圖所示的圖形的畫(huà)法是否正確，若不正確，則畫(huà)出正確的圖形．解：都不正確．正確的畫(huà)法如下圖所示．——本課須駕馭的兩大問(wèn)題1．直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系(1)在直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系中，直線(xiàn)和平面平行，直線(xiàn)和平面相交，統(tǒng)稱(chēng)直線(xiàn)在平面外，可以用記號(hào)a?α來(lái)表示a∥α、a∩α＝A這兩種情形．(2)一般地，直線(xiàn)a在平面α內(nèi)，應(yīng)把直線(xiàn)a畫(huà)在表示平面α的平行四邊形內(nèi)；直線(xiàn)a