2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.3等比數(shù)列1.3.1第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)8等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的兩根，則a4·a7＝(B)A．－6 B．－2C．2 D.eq\f(2,3)解析：a4a7＝a1a10＝eq\f(－6,3)＝－2.2．等比數(shù)列{an}中，公比為q，則下列式子正確的是(D)A．a(chǎn)n＝a4qn－1 B．a(chǎn)n＝a4qn－2C．a(chǎn)n＝a4qn－3 D．a(chǎn)n＝a4qn－4解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)：qn－m＝eq\f(an,am)可知，qn－4＝eq\f(an,a4).所以an＝a4qn－4，故選D.3．公比不為1的等比數(shù)列{an}滿意a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，則m的值為(C)A．8B．9C．10D．11解析：由題意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∵a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10，故選C.4．在等比數(shù)列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，則公比為(D)A.eq\r(2)，eq\f(\r(2),2) B．±eq\r(2)C．±eq\f(\r(2),2) D．±eq\r(2)，±eq\f(\r(2),2)解析：因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3·a7＝a2·a8＝36,a3＋a7＝15))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝12,a3＝3))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝3,a3＝12))，所以q4＝4或q4＝eq\f(1,4)，所以q＝±eq\r(2)，或q＝±eq\f(\r(2),2).5．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，則m＝(C)A．9 B．10C．11 D．12解析：am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，因此有m＝11.6．已知項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列{an}和{bn}，公比為q1，q2(q1，q2≠1)，則下列數(shù)列①{3an}；②{eq\f(2,an)}；③{3an}；④{2an－3bn}；⑤{2an·3bn}中為等比數(shù)列的個(gè)數(shù)是(C)A．1B．2C．3D．4解析：利用等比數(shù)列的定義或性質(zhì)來處理．對于①，公比為q1；對于②，公比為eq\f(1,q1)；對于③，令an＝2n－1，則數(shù)列{3an}為：3,32,34,38，…，因?yàn)閑q\f(32,3)≠eq\f(34,32)，故不是等比數(shù)列；對于④，數(shù)列的項(xiàng)可能為零；對于⑤，公比為q1q2.故選C.7．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k等于(B)A．2B．4C．6D．8解析：由{an}是等差數(shù)列且a1＝9d，得ak＝a1＋(k－1)d＝(k＋8)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d，又因?yàn)閍k是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則有aeq\o\al(2,k)＝a1·a2k.即[(k＋8)d]2＝9d×[(2k＋8)d]，整理得k2－2k－8＝0，解之得k1＝4，k2＝－2(舍去)．8．抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60%，要使容器內(nèi)剩下的空氣少于原來的0.1%，則至少要抽(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)(D)A．15次 B．14次C．9次 D．8次解析：容器內(nèi)的空氣剩余量為{an}，則an＝(1－0.6)n＝0.4n，要使容器內(nèi)剩余空氣少于原來的0.1%，則有an<0.1%，即0.4n<0.001＝10－3，兩邊取對數(shù)有nlg0.4<－3，∴n>7.5，又n∈N＋，∴n＝8.二、填空題9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n－c，若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則c的值為1.解析：∵Sn＝3n－c，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，若{an}為等比數(shù)列，則eq\f(an,an－1)＝3＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(2×3,3－c)，得c＝1.10．設(shè){an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，且a1<a2<a3，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列(填“遞增”“遞減”或“搖擺”)．解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，因?yàn)閍1<a2<a3，所以a1<a1q<a1q2，解得q>1，且a1>0，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．11．b既是a和c的等差中項(xiàng)，又是a和c的等比中項(xiàng)，則數(shù)列a，b，c的公比為1.解析：∵2b＝a＋c，ac＝b2，∴ac＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝eq\f(a＋c2,4)，∴4ac＝a2＋c2＋2ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴a，b，c的公比為1.三、解答題12．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵a1a5＝aeq\o\al(2,3)，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，∴由題意，得aeq\o\al(2,3)－2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，同理得aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝100，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a52＝36，,a3＋a52＝100，))∵an>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a5＝±6，,a3＋a5＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8，,a5＝2.))分別解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,2)，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝32，,q＝\f(1,2).))∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.13．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))(n≥1，n∈N＋)的前n項(xiàng)和．解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍eq\o\al(2,3)＝9a2a6＝9aeq\o\al(2,4)，所以q2＝eq\f(a\o\al(2,4),a\o\al(2,3))＝eq\f(1,9)，因?yàn)閍n>0，所以q>0，所以q＝eq\f(1,3)，因?yàn)?a1＋3a2＝2a1＋3a1q＝1，所以3a1＝1，a1＝eq\f(1,3)，所以an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝log3(a1·a2·…·an)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1＋2＋3＋…＋n＝－eq\f(nn＋1,2).則eq\f(1,bn)＝eq\f(－2,nn＋1).設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋…＋\f(1,nn＋1)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝－eq\f(2n,n＋1).——實(shí)力提升類——14．設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，9x,12y,15z成等比數(shù)列，且eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差數(shù)列，則eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)的值是eq\f(34,15).解析：由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12y2＝9x×15z，,\f(2,y)＝\f(1,x)＋\f(1,z)，))所以y＝eq\f(2xz,x＋z)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24xz,x＋z)))2＝135xz，化簡得15x2＋15z2＝34xz，兩邊同時(shí)除以15xz可得eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)＝eq\f(34,15).15．已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，數(shù)列{bn}是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，滿意a1＝－b1，b3(a2－a1)＝b1.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記cn＝an·bn，求cn的最大值．解：(1)∵an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2))，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1n＝1,4n－5n≥2))，即an＝4n－5(n∈N＋)，由已知b1＝1，b1q2(a2－a1)＝b1，∴