新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題15 幾何體與球切、接、截的問題（練）（解析版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題15幾何體與球切、接、截的問題（練）【對(duì)點(diǎn)演練】一、單選題1．（2022秋·湖南張家界·高三慈利縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如下圖是一個(gè)正八面體，其每一個(gè)面都是正三角形，六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O與正八面體的體積之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由棱錐與球的體積公式求解，【詳解】由題意得正方形SKIPIF1<0的中心SKIPIF1<0即為外接球球心，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故正八面體的體積SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故選：A2．（2022秋·安徽六安·高三六安二中?？茧A段練習(xí)）2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽，比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場舉行．已知某足球的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、P滿足PA＝BC＝5，，，則該足球的表面積為（

）A． B． C． D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】把四面體外接球問題擴(kuò)展到長方體中，求出長方體外接球半徑為R，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)镻A＝BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可以把A，B，C，P四點(diǎn)放到長方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，將四面體放入長方體中，四面體各邊可看作長方體各面的對(duì)角線，如圖所示：則該足球的表面積為四面體A-BCP外接球的表面積，即為長方體外接球的表面積，設(shè)長方體棱長為a，b，c，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)長方體外接球半徑為R，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為：SKIPIF1<0.故選：D．3．（2022秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》中描述很多特殊幾何體，例如“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即如圖，一個(gè)長方體，沿對(duì)角面分開（圖1），得到兩個(gè)一模一樣的塹堵（圖2），將其中一個(gè)塹堵，沿平面分開（圖2），得到一個(gè)四棱錐稱為陽馬（圖3），和一個(gè)三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若鱉臑的體積為4，且，則陽馬的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合長方體的性質(zhì)，由鱉臑（即三棱錐）的體積求得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得長方體體對(duì)角線SKIPIF1<0，即所求外接球直徑，即可求外接球表面積.【詳解】由切割過程可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.SKIPIF1<0為長方體體對(duì)角線，即為SKIPIF1<0的外接球直徑，SKIPIF1<0，∴陽馬SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：B4.（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若三棱錐SKIPIF1<0的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用正弦定理求出底面SKIPIF1<0的外接圓半徑，將三棱錐SKIPIF1<0補(bǔ)成三棱柱，過底面外接圓中心作垂線，則垂線的中點(diǎn)即為外接球球心，進(jìn)而即可求解.【詳解】在SKIPIF1<0中，設(shè)其外接圓半徑為r，由正弦定理可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0補(bǔ)成三棱柱，如圖設(shè)三棱錐SKIPIF1<0外接球半徑為R，SKIPIF1<0，所以球O的表面積為SKIPIF1<0故選：D二、填空題5．（2022·四川廣安·廣安二中?？寄M預(yù)測）已知在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求SKIPIF1<0外接圓的半徑，再求球SKIPIF1<0的半徑，最后求球的體積.【詳解】SKIPIF1<0中，根據(jù)正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0外接圓的半徑為2，又球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<06．（2022秋·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，高為2，上、下底面的圓周在同一球面上，則該圓臺(tái)外接球的表面積為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2，再分析兩底面在球心同側(cè)于異側(cè)時(shí)兩種情況，再設(shè)球的半徑為R，根據(jù)垂徑定理列式求解即可.【詳解】由題可知圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2，外接球軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為R，當(dāng)兩底面在球心同側(cè)時(shí)，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，方程無解；當(dāng)兩底面在球心異側(cè)時(shí)，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴這個(gè)球的表面積是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<07．（2022秋·湖南株洲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐P－ABCD中，已知底面ABCD是邊長為SKIPIF1<0的正方形，其頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離為4．該四棱錐的外接球O的半徑為7，若球心O在四棱錐P－ABCD內(nèi)，則頂點(diǎn)P的軌跡長度為_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】畫出圖象，判斷出SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡，結(jié)合勾股定理以及圓的周長公式求得正確答案.【詳解】設(shè)正方形SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為SKIPIF1<0的正方形，對(duì)角線長為SKIPIF1<0，所以該正方形外接圓半徑SKIPIF1<0，所以球心O到底面ABCD的距離SKIPIF1<0，又頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離為4，點(diǎn)P在與底面ABCD平行的截面圓SKIPIF1<0的圓周上，由球心O在四棱錐P－ABCD內(nèi)，可得截面圓的半徑SKIPIF1<0，故頂點(diǎn)P的軌跡長度為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<08.（2022·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0是圓柱的一條母線，AB是圓柱下底面的直徑，C是圓柱下底面圓周上異于A，B的兩點(diǎn)，若圓柱的側(cè)面積為4π，則三棱錐SKIPIF1<0—ABC外接球體積的最小值為___________【答案】SKIPIF1<0【分析】首先根據(jù)題意建立SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式即可求解最小值.【詳解】根據(jù)題意作圖如下：設(shè)底面圓半徑為SKIPIF1<0，圓柱高設(shè)為SKIPIF1<0，則根據(jù)圓柱的側(cè)面積為4π，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0以及SKIPIF1<0均為直角三角形，根據(jù)三棱錐SKIPIF1<0—ABC外接球的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0即為球心.則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以外接球的半徑SKIPIF1<0.三棱錐SKIPIF1<0—ABC外接球體積為SKIPIF1<0，所以要外接球體積最小，只需要SKIPIF1<0最小即可，又不等式可知SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)成立.故三棱錐SKIPIF1<0—ABC外接球體積的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.9．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓臺(tái)的內(nèi)切球SKIPIF1<0與圓臺(tái)側(cè)面相切的切點(diǎn)位于圓臺(tái)高的SKIPIF1<0處，若圓臺(tái)的上底面半徑為SKIPIF1<0，則球的體積為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】求得圓臺(tái)的高，也即求得球的直徑，進(jìn)而求得球的半徑，從而求得球的體積.【詳解】圓臺(tái)的上底面半徑為SKIPIF1<0，由于圓臺(tái)的內(nèi)切球SKIPIF1<0與圓臺(tái)側(cè)面相切的切點(diǎn)位于圓臺(tái)高的SKIPIF1<0處，根據(jù)切線長定理可知：圓臺(tái)的下底面半徑為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，所以圓臺(tái)的高為SKIPIF1<0，也即球的直徑為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所以球的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<010．（2022·浙江·模擬預(yù)測）棱長分別為SKIPIF1<0的長方體的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為______，體積為______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】長方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用體對(duì)角線公式求得半徑，結(jié)合球的表面積和體積公式，即得解.【詳解】由題意，長方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即球心SKIPIF1<0即為體對(duì)角線交點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線的一半，即球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【沖刺提升】一、單選題1．（2022秋·江蘇淮安·高三校考階段練習(xí)）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的底面是等腰直角三角形，SKIPIF1<0底面ABC，AC＝BC＝2，SKIPIF1<0，點(diǎn)D在上底面SKIPIF1<0（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達(dá)式，從而求出半徑的取值范圍即可.【詳解】如下圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接球的截面圓心為SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.設(shè)球心為SKIPIF1<0，由球的截面性質(zhì)可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，外接球表面積最小為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，外接球表面積最大為SKIPIF1<0.所以三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為SKIPIF1<0.故選：A2．（2022秋·江蘇南京·高三南京師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，側(cè)面SKIPIF1<0為正三角形，則其外接球體積最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設(shè)二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得外接圓半徑最大值，再由球的體積公式求解，【詳解】設(shè)二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到底面的距離為SKIPIF1<0，設(shè)球心SKIPIF1<0到底面的距離為SKIPIF1<0，而正方形的外接圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即外接球體積最小值為SKIPIF1<0，故選：C二、多選題3．（2022秋·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正四棱臺(tái)上?下底面的面積分別為2和8，高為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的有（

）A．正四棱臺(tái)外接球的表面積的最小值為SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，正四棱臺(tái)外接球球心在正四棱臺(tái)下底面下方C．正四棱臺(tái)外接球的半徑隨SKIPIF1<0的增大而增大D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，正四棱臺(tái)存在內(nèi)切球【答案】ABD【分析】首先根據(jù)題干得到正四棱臺(tái)的上下底面的半徑,再分別按照SKIPIF1<0選項(xiàng)的內(nèi)容研究正四棱臺(tái)的外接球和內(nèi)切球,即可解決.【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)上?下底面的外接圓的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球的半徑為SKIPIF1<0，球心為O，因?yàn)檎睦馀_(tái)的上?下底面面積分別為2和8，所以上?下底面的邊長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)球心O到上底面的距離為d，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，外接球半徑最小，此時(shí)SKIPIF1<0，所以外接球的表面積的最小值為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確.易知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不正確.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，所以SKIPIF1<0，所以外接球球心在正四棱臺(tái)下底面下方，故SKIPIF1<0正確.正四棱臺(tái)內(nèi)切球存在時(shí)，內(nèi)切球大圓是圖中梯形ABCD的內(nèi)切圓，圓心SKIPIF1<0是上?下底面中心SKIPIF1<0?SKIPIF1<0連線的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，設(shè)圓的半徑為r，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0正確.故選:SKIPIF1<0.4．（2022秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長為SKIPIF1<0的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，得到所有棱長均為SKIPIF1<0的截角四面體，則下列說法正確的是（

）A．該截角四面體的內(nèi)切球體積SKIPIF1<0 B．該截角四面體的體積為SKIPIF1<0C．該截角四面體的外接球表面積為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0外接圓的面積為SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根據(jù)內(nèi)切球的直徑等于正四面體高的SKIPIF1<0可求解A項(xiàng)，利用每個(gè)截角體積等于正四面體體積的SKIPIF1<0可求解B項(xiàng)，利用勾股定理求外接球的半徑可求解C項(xiàng)，利用勾股定理可確定SKIPIF1<0的斜邊長，進(jìn)而求解D項(xiàng).【詳解】該四面體底面正三角形的高等于SKIPIF1<0，所以四面體的高SKIPIF1<0，由圖可知，該截角四面體的內(nèi)切球的直徑等于SKIPIF1<0，所以內(nèi)切球的體積等于SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；正四面體的體積SKIPIF1<0，所以剪掉一個(gè)角的體積等于SKIPIF1<0，所以該截角四面體的體積為SKIPIF1<0,故B正確；取上下底面的中心為SKIPIF1<0,外接球的球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0如圖，因?yàn)榻亟撬拿骟w上下底面間的距離等于SKIPIF1<0，設(shè)外接球的半徑等于SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為邊長等于SKIPIF1<0的正三角形，所以SKIPIF1<0的高等于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又因?yàn)橄碌酌鍿KIPIF1<0為正六邊形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，由正四面體對(duì)棱互相垂直可知，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圓的面積為SKIPIF1<0，故D正確.故選:BD.5．（2022秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0（包含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值B．在SKIPIF1<0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，存在某個(gè)位置使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．截面三角形SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0D．當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0為正三棱錐時(shí)，其內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】對(duì)于A，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0上所有點(diǎn)到平面SKIPIF1<0的距離不變，即可判斷；對(duì)于B，假設(shè)SKIPIF1<0平面BQC，從而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可判斷；對(duì)于C，要使截面三角形SKIPIF1<0面積的最大，只要Q到BC的距離最大，過Q作SKIPIF1<0于F，過F作SKIPIF1<0于G，連接QG，求出SKIPIF1<0的最大值即可；對(duì)于D，利用等體積法求解即可.【詳解】解：A.SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為定值．連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0上所有點(diǎn)到平面SKIPIF1<0的距離不變，所以三棱錐SKIPIF1<0的高不變，所以SKIPIF1<0為定值，故A正確；B．若SKIPIF1<0平面BQC，SKIPIF1<0平面BQC，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不正確，故B錯(cuò)誤；C．因?yàn)锽C為定值，所以只要Q到BC的距離最長，過Q作SKIPIF1<0于F，過F作SKIPIF1<0于G，連接QG，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要使QG最長，只需QF最長，即Q點(diǎn)在SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最長，此時(shí)SKIPIF1<0，故C正確，D．當(dāng)Q在A點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0為正三棱錐，設(shè)三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，由等體積法SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤．故選：AC.6．（2022秋·河北邢臺(tái)·高三河北南宮中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，在翻折過程中，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0B．線段SKIPIF1<0長度的取值范圍為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角始終為SKIPIF1<0D．當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0外接球的外部【答案】AC【分析】利用線面垂直的判定可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，可判斷A選項(xiàng)；取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合余弦定理，求得SKIPIF1<0，并判斷B選項(xiàng)；利用幾何法將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，判斷C選項(xiàng)；將幾何體還原為長方體，求得外接球半徑，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：連接SKIPIF1<0，由題意在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：如圖所示，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.又由A選項(xiàng)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由四邊形SKIPIF1<0為菱形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的外接圓內(nèi)，又SKIPIF1<0的外接圓在三棱錐SKIPIF1<0外接球的內(nèi)部，故點(diǎn)SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0外接球的內(nèi)部，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題7．（2022秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知半徑為SKIPIF1<0的球O的表面上有A，B，C，D四點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的體積最大值為_____________；若M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，當(dāng)D到平面SKIPIF1<0的距離最大時(shí)，SKIPIF1<0的面積為_____________．【答案】

SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0【分析】第一空，設(shè)SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0，即可列出體積函數(shù)SKIPIF1<0，由導(dǎo)數(shù)法求最值.第二空在平面SKIPIF1<0內(nèi)過點(diǎn)D向SKIPIF1<0作垂線，垂足為H，則D到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，由均值不等式可得SKIPIF1<0最大值，即可得SKIPIF1<0的各邊長，從而求得面積.【詳解】第一空，設(shè)SKIPIF1<0，球心O即為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0．四面體SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，V單調(diào)遞增：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，V單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．第二空，在平面SKIPIF1<0內(nèi)過點(diǎn)D向SKIPIF1<0作垂線，垂足為H，則D到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0．此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.8．（2022秋·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在正四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作該正四面體外接球的截面，記最大的截面面積SKIPIF1<0，最小的截面面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________；若記該正四面體內(nèi)切球和外接球的體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】將正四面體SKIPIF1<0放置于正方體中，則正方體的外接球就是正四面體的外接球．由外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長，求出外接球的半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面面積的最小值T、最大值S，可得SKIPIF1<0；用等體積法求出正四面體內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而得出其體積SKIPIF1<0，再求出外接球的體積SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0．【詳解】將正四面體SKIPIF1<0放置于正方體中，如圖所示，可得正方體的外接球就是正四面體的外接球，外接球的球心O為正方體的體對(duì)角線DF的中點(diǎn)，設(shè)正四面體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，則正方體的棱長為SKIPIF1<0，因?yàn)橥饨忧虻闹睆降扔谡襟w的對(duì)角線長，所以外接球的半徑為SKIPIF1<0，E為BC邊的中點(diǎn)，過E作該正四面體外接球的截面，當(dāng)截面過球心O時(shí)，截面面積最大，最大值為SKIPIF1<0，當(dāng)截面到球心O的距離最大時(shí)，截面圓的面積取最小值，此時(shí)球心O到截面的距離為SKIPIF1<0，可得截面圓的半徑為SKIPIF1<0，從而截面面積的最小值為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0；設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為G，半徑為SKIPIF1<0，取底面BCD的中心H，連接AH，則AH為正四面體的高，G在AH上，H在DE上，正四面體的每個(gè)面的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四面體的高SKIPIF1<0，故正四面體的體積為SKIPIF1<0，連接G與正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)可以得到4個(gè)的正三棱錐，每個(gè)正三棱錐體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，故正四面體內(nèi)切球的體積SKIPIF1<0，正四面體外接球的半徑為SKIPIF1<0，外接球的體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；27．9．（2022·河南·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿邊AC翻折，使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先證明出SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，判斷出三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0必在直線SKIPIF1<0上，設(shè)外接球的半徑為SKIPIF1<0，利用球的性質(zhì)列方程求出SKIPIF1<0，即可求出三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積.【詳解】在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，所以梯形ABCD為等腰梯形，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0作出其外心SKIPIF1<0如圖所示：所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，由球的性質(zhì)可知，三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0必在直線SKIPIF1<0上.設(shè)外接球的半徑為SKIPIF1<0，由球的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.10．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請(qǐng)寫出平面SKIPIF1<0的直角：_____________；若P，A，B，C都在球O的球面上，則球O的表面積為____________.【答案】

SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）

SKIPIF1<0【分析】證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0放入長方體中，計(jì)算SKIPIF1<0，得到球的表面積.【詳解】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0放入長方體中，如圖所示：外接球的半徑為SKIPIF1<0，故表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<011．（2022秋·江蘇常州·高三常州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間四邊形SKIPIF1<0的各邊長及對(duì)角線SKIPIF1<0的長度均為6，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0外接球的半徑為______；過點(diǎn)M作四邊形SKIPIF1<0外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為______.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】空1：根據(jù)題意結(jié)合球的性質(zhì)分析可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<