函數的極值教案

1.2函數的極值一、教學目標理解并掌握函數極值的概念；能利用導數求函數的極值；掌握求函數極值的方法和步驟；二、教學重、難點函數在某點取得極值的條件，利用導數求函數的極值的方法和步驟。三、知識鏈接導函數的符號與函數單調性的關系：如果在某個區(qū)間內，函數SKIPIF1<0的導數SKIPIF1<0,則在這個區(qū)間上，函數SKIPIF1<0是增加的如果在某個區(qū)間內，函數SKIPIF1<0的導數SKIPIF1<0,則在這個區(qū)間上，函數SKIPIF1<0是減少的四、學習過程知識點一：極值的定義SKIPIF1<0OyxaSKIPIF1<0bSKIPIF1<0Q問題1觀察函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0OyxaSKIPIF1<0bSKIPIF1<0Q圖1圖2（1）觀察函數SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的函數值SKIPIF1<0，比較SKIPIF1<0與附近點的函數值的大??？SKIPIF1<0點是函數的最大值點嗎？SKIPIF1<0的函數值大于其附近點的函數值，SKIPIF1<0點不一定是最大值點。（2）觀察函數SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0點處的函數值SKIPIF1<0，比較SKIPIF1<0與附近點的函數值的大??？SKIPIF1<0點是函數的最大值點嗎？SKIPIF1<0的函數值小于其附近點的函數值，SKIPIF1<0點不一定是最小值點。像這樣的，反映函數在某一個點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質的值稱為極值。問題2極值的定義類比圖1中具體函數的極值，寫出函數極值的一般性定義：如圖2，在包含類SKIPIF1<0的一個區(qū)間SKIPIF1<0內，函數SKIPIF1<0在任何一點的函數值都小于或等于SKIPIF1<0點的函數值，稱點SKIPIF1<0為函數SKIPIF1<0的極大值點，其函數值SKIPIF1<0為函數的極大值如圖2，在包含類SKIPIF1<0的一個區(qū)間SKIPIF1<0內，函數SKIPIF1<0在任何一點的函數值都小于或等于SKIPIF1<0點的函數值，稱點SKIPIF1<0為函數SKIPIF1<0的極小值點，其函數值SKIPIF1<0為函數的極小值極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點。例1找出圖中的極值點極大值點是：d,f,h極小值點是：c,e,g反思1：（1）函數的極值是唯一的嗎？函數的極值不是唯一的，即一個函數在某區(qū)間上或定義域內可能有多個極大值或極小值(2)極大值與極小值之間有無確定的大小關系?請舉例說明.極大值與極小值之間無確定的大小關系。即一個函數的極大值未必大于極小值，如上圖所示，f是極大值點，c是極小值點，而SKIPIF1<0>SKIPIF1<0(3)極值一定是最大值或最小值嗎？極值不一定是最大值或最小值.極值是就某一點附近的小區(qū)間而言，是函數的局部性質，由極值的定義知，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點問題探究二：連續(xù)函數圖像特征與導數關系：觀察圖像并類比于函數的單調性與導數關系的研究方法,總結極值與導數之間有什么關系?（完成表格）a極大值與導數的關系：yaySKIPIF1<0SKIPIF1<0左側SKIPIF1<0SKIPIF1<0右側SKIPIF1<0（符號）SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（單調性）遞增極大值遞減SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0X0bxaX0bxaoSKIPIF1<0SKIPIF1<0左側SKIPIF1<0SKIPIF1<0右側SKIPIF1<0（符號）SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（單調性）遞減極小值遞增oaxoax0bxySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0反思2：如何判斷極值SKIPIF1<0是極大值還是極小值？如果在x0附近的左邊SKIPIF1<0＞0,右邊SKIPIF1<0＜0,那么f(x0)是極大值.如果在x0附近的左邊SKIPIF1<0＜0,右邊SKIPIF1<0＞0,那么f(x0)是極小值例2求函數SKIPIF1<0的極值解：因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的變化情況表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0－0+SKIPIF1<0↑極大↓極小↑所以，當SKIPIF1<0時，函數有極大值，且極大值為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數有極小值，且極小值為SKIPIF1<0反思3求函數極值的步驟是什么？（1）求導數SKIPIF1<0（2）解方程SKIPIF1<0=0，利用方程的根x0，順次將函數的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格（3）由SKIPIF1<0在方程SKIPIF1<0=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況:①若f’(x)在x0兩側的符號“左正右負”，則x0為極大值點;②若f’(x)在x0兩側的符號“左負右正”，則x0為極小值點;③若f’(x)在x0兩側的符號相同，則x0不是極值點變式1判斷下列函數是否有極值，若有極值，請求出；若沒有極值，請說明理由。SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以函數SKIPIF1<0在R上為增函數，無極值。（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即在SKIPIF1<0的附近SKIPIF1<0不變號，所以此函數無極值。反思4（1）對于可導函數在某點SKIPIF1<0處取得極值的條件是什么？可導函數在某點x0取得極值的充要條件f(x0)=0且點x0的左右附近的導數值符號要相反（2）“點SKIPIF1<0是可導函數SKIPIF1<0的極值點”是“SKIPIF1<0”的什么條件？可導函數的極值點一定是它導數為零的點,反之函數的導數為零的點,不一定是該函數的極值點.例如,函數SKIPIF1<0,在點x=0處的導數為零,但它不是極值點,原因是函數在點x=0處左右兩側的導數都大于零.因此導數為零的點僅是該點為極值點的必要條件,其充分條件是在這點兩側的導數異號.即“點x0是可導函數f(x)的極值點”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要條件;變式2函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時有極值10，則SKIPIF1<0的值為（C）A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.以上都不正確解：由題設條件得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0通過驗證，只有SKIPIF1<0符合題意（為什么要檢驗？）歸納總結：1．理解極值的定義需注意哪些2.判別f(x0)是極大、極小值的方法:3.求可導函數f(x)的極值的步驟:課堂練習1：下列說法正確的是（D）A.若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0