第二章-機(jī)器人靜力分析與動(dòng)力學(xué)

第2章

機(jī)器人靜力分析與動(dòng)力學(xué)機(jī)器人是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，機(jī)器人系統(tǒng)在外載荷和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩(驅(qū)動(dòng)力)的作用下將取得靜力平衡，在關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩(驅(qū)動(dòng)力)的作用下將發(fā)生運(yùn)動(dòng)變化。機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能不僅與運(yùn)動(dòng)學(xué)因素有關(guān)，還與機(jī)器人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置、傳動(dòng)裝置等對(duì)動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生重要影響的因素有關(guān)。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)主要研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)和受力之間的關(guān)系，目的是對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制、優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)主要解決動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題和逆問(wèn)題兩類問(wèn)題：動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題是根據(jù)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力(或力矩)，求解機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)(關(guān)節(jié)位移、速度和加速度)，主要用于機(jī)器人的仿真；動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題是已知機(jī)器人關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求解所需要的關(guān)節(jié)力(或力矩)，是實(shí)時(shí)控制的需要。本章首先介紹與機(jī)器人速度和靜力有關(guān)的雅可比矩陣，在機(jī)器人雅可比矩陣分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行機(jī)器人的靜力分析，討論動(dòng)力學(xué)的基本問(wèn)題，對(duì)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性作簡(jiǎn)要論述，以便為機(jī)器人編程、控制等打下基礎(chǔ)。2.1機(jī)器人雅可比矩陣機(jī)器人雅可比矩陣揭示了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。雅可比不僅表示操作空間與關(guān)節(jié)空間的速度映射關(guān)系，也表示二者之間力的傳遞關(guān)系，為確定機(jī)器人的靜態(tài)關(guān)節(jié)力矩以及不同坐標(biāo)系間速度、加速度和靜力的變換提供了便捷的方法。2.1.1機(jī)器人雅可比的定義在機(jī)器人學(xué)中，雅可比是一個(gè)把關(guān)節(jié)速度向量

變換為手爪相對(duì)基坐標(biāo)的廣義速度向量v的變換矩陣。在機(jī)器人速度分析和靜力分析中都將用到雅可比。圖2.1所示為二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人(2R機(jī)器人)，端點(diǎn)位置X、Y與關(guān)節(jié)θ1、θ2的關(guān)系為圖2.1二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人簡(jiǎn)圖即將其微分得令dX=JdθJ稱為圖2.1所示2R機(jī)器人的速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)dθ與手部作業(yè)空間微小位移dX的關(guān)系。對(duì)上式進(jìn)行運(yùn)算，則從J中元素的組成可見(jiàn)，J陣的值是關(guān)于θ1及θ2的函數(shù)。推而廣之，對(duì)于nR機(jī)器人，關(guān)節(jié)變量q=[q1,q2,

…,qn]T，當(dāng)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)qi=θi；當(dāng)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)qi=di，dq=[dq1，dq2,

…

,dqn]T，反映了關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q)，并且是一個(gè)6維列矢量。dX=[dX，dY，dZ，

φX，

φY，

φZ(yǔ)]T反映了操作空間的微小運(yùn)動(dòng)，它由機(jī)器人末端微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動(dòng))組成。因此dX=J(q)dq式中：J(q)稱為n自由度機(jī)器人速度雅可比，可表示為2.1.2機(jī)器人速度分析利用機(jī)器人速度雅可比可對(duì)機(jī)器人進(jìn)行速度分析。對(duì)式(2.7)左、右兩邊各除以dt得或表示為

式中：v為機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度；

為機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)為確定關(guān)節(jié)空間速度

與操作空間速度v之間關(guān)系的雅可比矩陣。對(duì)于圖2.1所示2R機(jī)器人而言，J(q)是2×2矩陣。若令J1，J2分別為雅可比的第1列矢量和第2列矢量，則

式中：右邊第一項(xiàng)表示僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；右邊第二項(xiàng)表示僅由第二個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；總的端點(diǎn)速度為這兩個(gè)速度矢量的合成。因此，機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其他關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。圖2.1所示二自由度機(jī)器人手部的速度為反之，假如給定機(jī)器人手部速度，可由式(2.10)解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度為例2.12.1.3機(jī)器人雅可比討論對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人，其J的行數(shù)恒為3，列數(shù)則為機(jī)械手含有的關(guān)節(jié)數(shù)目，手的廣義位置向量[X，Y，φ]T均容易確定，且方位φ與角運(yùn)動(dòng)的形成順序無(wú)關(guān)，故可采用直接微分法求φ，非常方便。在三維空間作業(yè)的六自由度機(jī)器人的雅可比矩陣J的前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比，后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比。而雅可比矩陣J的每一列則代表相應(yīng)關(guān)節(jié)速度

對(duì)手部線速度和角速度的傳遞比，J陣的行數(shù)恒為6，前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量[φX，φY，φZ(yǔ)]T的一般表達(dá)式。因此常用構(gòu)造法求雅可比J。如果希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，則應(yīng)計(jì)算出沿路徑每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。但是，當(dāng)雅可比的秩不是滿秩時(shí)，求解逆速度雅可比J

–1較困難，有時(shí)還可能出現(xiàn)奇異解，此時(shí)相應(yīng)操作空間的點(diǎn)為奇異點(diǎn)，無(wú)法解出關(guān)節(jié)速度，機(jī)器人處于退化位置。機(jī)器人的奇異形位分為兩類：(1)邊界奇異形位：當(dāng)機(jī)器人臂全部伸展開(kāi)或全部折回時(shí)，使手部處于機(jī)器人工作空間的邊界上或邊界附近，出現(xiàn)逆雅可比奇異，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)受到物理結(jié)構(gòu)的約束。(2)內(nèi)部奇異形位：兩個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)節(jié)軸線重合時(shí)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)相互抵消，不產(chǎn)生操作運(yùn)動(dòng)。當(dāng)機(jī)器人處在奇異形位時(shí)會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多的自由度。這意味著在工作空間的某個(gè)方向上，不管怎樣選擇機(jī)器人關(guān)節(jié)速度，手部也不可能實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。2.2機(jī)器人靜力分析機(jī)器人在工作狀態(tài)下會(huì)與環(huán)境之間引起相互作用的力和力矩。機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置提供關(guān)節(jié)力和力矩，通過(guò)連桿傳遞到末端執(zhí)行器，克服外界作用力和力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和力矩與末端執(zhí)行器施加的力和力矩之間的關(guān)系是機(jī)器人操作臂力控制的基礎(chǔ)。2.2.1操作臂力和力矩的平衡如圖2.3所示，桿i通過(guò)關(guān)節(jié)i和i+1分別與桿i–1和i+1相連接，建立兩個(gè)坐標(biāo)系{i–1}和{i}。圖2.3桿i上的力和力矩連桿的靜力平衡條件為其上所受的合力和合力矩為零，因此力和力矩平衡方程式為式中：ri–1，i

—坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{i+1}的位置矢量；ri，Ci

—質(zhì)心相對(duì)于坐標(biāo)系{i}的位置矢量。假如已知外界環(huán)境對(duì)機(jī)器人末桿的作用力和力矩，那么可以由最后一個(gè)連桿向零連桿(機(jī)座)依次遞推，從而計(jì)算出每個(gè)連桿上的受力情況。2.2.2機(jī)器人力雅可比為了便于表示機(jī)器人手部端點(diǎn)的力和力矩(簡(jiǎn)稱為端點(diǎn)廣義力F

)，可將

fn，n+1和nn，n+1合并寫(xiě)成一個(gè)6維矢量各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫(xiě)成一個(gè)n維矢量的形式，即式中：n為關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)；τ為關(guān)節(jié)力矩(或關(guān)節(jié)力)矢量，簡(jiǎn)稱廣義關(guān)節(jié)力矩。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，τi表示關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩；對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，τi表示關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力。假定關(guān)節(jié)無(wú)摩擦，并忽略各桿件的重力，現(xiàn)利用虛功原理推導(dǎo)機(jī)器人手部端點(diǎn)力F與關(guān)節(jié)力矩τ的關(guān)系。如圖2.4所示，關(guān)節(jié)虛位移為δqi，末端執(zhí)行器的虛位移為δX，則式中：d=[dX，dY，dZ]T、δ=[δ

X，δ

Y，δ

Z]T分別對(duì)應(yīng)于末端執(zhí)行器的線虛位移和角虛位移；δq為由各關(guān)節(jié)虛位移δqi組成的機(jī)器人關(guān)節(jié)虛位移矢量。圖2.4末端執(zhí)行器及各關(guān)節(jié)的虛位移假設(shè)發(fā)生上述虛位移時(shí)，各關(guān)節(jié)力矩為τi(i=1，2,

…

,n)，環(huán)境作用在機(jī)器人手部端點(diǎn)上的力和力矩分別為–fn，n+1和–nn，n+1。由上述力和力矩所作的虛功可以由下式求出：或?qū)懗筛鶕?jù)虛位移原理，機(jī)器人處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是對(duì)任意符合幾何約束的虛位移有δW=0，并注意到虛位移δq和δX之間符合桿件的幾何約束條件。利用式δX=Jδq式中：δq表示從幾何結(jié)構(gòu)上允許位移的關(guān)節(jié)獨(dú)立變量。對(duì)任意的δq，欲使δW

=0成立，必有

上式表示了在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間的線性映射關(guān)系。JT與手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間的力傳遞有關(guān)，稱為機(jī)器人力雅可比。顯然，機(jī)器人力雅可比JT是速度雅可比J的轉(zhuǎn)置矩陣。2.2.3機(jī)器人靜力計(jì)算機(jī)器人操作臂靜力計(jì)算可分為兩類問(wèn)題：(1)已知外界環(huán)境對(duì)機(jī)器人手部的作用力F′，利用式(2.20)求相應(yīng)的滿足靜力平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ。(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ，確定機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的作用力或負(fù)載的質(zhì)量。第二類問(wèn)題是第一類問(wèn)題的逆解。逆解的關(guān)系式為 F=(JT)–1τ機(jī)器人的自由度不是6時(shí)，例如n>6時(shí)，力雅可比矩陣就不是方陣，則JT就沒(méi)有逆解。所以，對(duì)第二類問(wèn)題的求解就困難得多，一般情況不一定能得到惟一的解。如果F的維數(shù)比τ的維數(shù)低，且J滿秩，則可利用最小二乘法求得F的估計(jì)值。例2.22.3機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的研究有牛頓-歐拉(Newton-Euler)法、拉格朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凱恩(Kane)法及羅伯遜-魏登堡(Roberon-Wittenburg)法等。本節(jié)介紹動(dòng)力學(xué)研究常用的牛頓-歐拉方程和拉格朗日方程。2.3.1歐拉方程應(yīng)用歐拉方程建立機(jī)器人機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程是指：研究構(gòu)件質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)使用牛頓方程，研究相對(duì)于構(gòu)件質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)使用歐拉方程。歐拉方程表征了力、力矩、慣性張量和加速度之間的關(guān)系。質(zhì)量為m、質(zhì)心在C點(diǎn)的剛體，作用在其質(zhì)心的力F的大小與質(zhì)心加速度aC的關(guān)系

F=maC

式中：F、aC為三維矢量。上式稱為牛頓方程。欲使剛體得到角速度為ω、角加速度為ε的轉(zhuǎn)動(dòng)，則作用在剛體上力矩M的大小為

M=CIε+ω×CIω

式中：M、ε、ω均為三維矢量；CI為剛體相對(duì)于原點(diǎn)通過(guò)質(zhì)心C并與剛體固結(jié)的剛體坐標(biāo)系的慣性張量。上式稱為歐拉方程。在三維空間運(yùn)動(dòng)的任一剛體，其慣性張量CI可用質(zhì)量慣性矩IXX、IYY、IZZ和慣性積IXY、IYZ、IZX為元素的3×3階矩陣或4×4階齊次坐標(biāo)矩陣來(lái)表示。通常將描述慣性張量的參考坐標(biāo)系固定在剛體上，以方便剛體運(yùn)動(dòng)的分析。這種坐標(biāo)系稱為剛體坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱體坐標(biāo)系)。2.3.2拉格朗日方程在機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)研究中，主要應(yīng)用拉格朗日方程建立起機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程。這類方程可直接表示為系統(tǒng)控制輸入的函數(shù)，若采用齊次坐標(biāo)，遞推的拉格朗日方程也可建立比較方便而有效的動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)于任何機(jī)械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總動(dòng)能Ek與總勢(shì)能Ep之差，即 L=Ek–Ep

由拉格朗日函數(shù)L所描述的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的拉格朗日方程為將L代入，上式可寫(xiě)成應(yīng)用上式時(shí)應(yīng)注意：(1)系統(tǒng)的勢(shì)能Ep僅是廣義坐標(biāo)qi的函數(shù)，而動(dòng)能Ek是qi、

及時(shí)間t的函數(shù)，因此拉格朗日函數(shù)可以寫(xiě)成L=L

(qi，

，t)。(2)若qi

是線位移，則

是線速度，對(duì)應(yīng)的廣義力Fi就是力；若qi是角位移，則

是角速度，對(duì)應(yīng)的廣義力Fi是力矩。2.3.3平面關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間，因此，簡(jiǎn)化解的過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類：(1)給出已知的軌跡點(diǎn)上的

，即機(jī)器人關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩向量τ。這對(duì)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人動(dòng)態(tài)控制是相當(dāng)有用的。(2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，求機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的各瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，給出關(guān)節(jié)力矩向量τ，求機(jī)器人所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)

。這對(duì)模擬機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)是非常有用的。一、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)過(guò)程機(jī)器人是結(jié)構(gòu)復(fù)雜的連桿系統(tǒng)，一般采用齊次變換的方法，用拉格朗日方程建立其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)其位姿和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行描述。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的具體推導(dǎo)過(guò)程如下：(1)選取坐標(biāo)系，選定完全而且獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量qi，i=1,2,…,n。(2)選定相應(yīng)關(guān)節(jié)上的廣義力Fi：當(dāng)qi是位移變量時(shí)，F(xiàn)i為力；當(dāng)qi是角度變量時(shí)，F(xiàn)i為力矩。(3)求出機(jī)器人各構(gòu)件的動(dòng)能和勢(shì)能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。(4)代入拉格朗日方程求得機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)課本，從推導(dǎo)可以看出，很簡(jiǎn)單的二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程已經(jīng)很復(fù)雜，包含了很多因素，這些因素都在影響機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于比較復(fù)雜的多自由度機(jī)器人，其動(dòng)力學(xué)方程更龐雜，推導(dǎo)過(guò)程更為復(fù)雜，不利于機(jī)器人的實(shí)時(shí)控制。故進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，通常進(jìn)行下列簡(jiǎn)化：(1)當(dāng)桿件長(zhǎng)度不太長(zhǎng)，重量很輕時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程中的重力矩項(xiàng)可以省略。(2)當(dāng)關(guān)節(jié)速度不太大，機(jī)器人不是高速機(jī)器人時(shí)，含有

的項(xiàng)可以省略。(3)當(dāng)關(guān)節(jié)加速度不太大，即關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)的升、降速比較平穩(wěn)時(shí)，含有的項(xiàng)有時(shí)可以省略。但關(guān)節(jié)加速度減小會(huì)引起速度升降的時(shí)間增加，延長(zhǎng)機(jī)器人作業(yè)循環(huán)的時(shí)間。二、關(guān)節(jié)空間和操作空間動(dòng)力學(xué)1．關(guān)節(jié)空間和操作空間n個(gè)自由度操作臂的末端位姿X由n個(gè)關(guān)節(jié)變量所決定，這n個(gè)關(guān)節(jié)變量也叫做n維關(guān)節(jié)矢量q，所有關(guān)節(jié)矢量q構(gòu)成了關(guān)節(jié)空間。末端執(zhí)行器的作業(yè)是在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐標(biāo)空間中描述的，因此把這個(gè)空間叫做操作空間。運(yùn)動(dòng)學(xué)方程X=X(q)