2024-2025學(xué)年福建省福州一中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

2024-2025學(xué)年福建省福州一中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題4分，共40分，請把答案寫在答題卷上）1．（4分）若兩個相似圖形的相似比是3：7，則它們的面積比是（）A．3：7 B．9：49 C．7：3 D．9：402．（4分）把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向下平移1個單位長度后所得的圖象的函數(shù)解析式為（）A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+1）2 C．y＝2x2﹣1 D．y＝2x2+13．（4分）若關(guān)于x的方程x2+5x+a＝0有一個根為﹣1，則a的值為（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣44．（4分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若AB＝5，AC＝4，BC＝2，則BE的長為（）A．5 B．4 C．2 D．35．（4分）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點，設(shè)∠ABC＝25°，則∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．65°6．（4分）近年來，我國數(shù)字技術(shù)不斷革新，影響著全民閱讀形態(tài)．為預(yù)計某市2024年數(shù)字閱讀市場規(guī)模，經(jīng)查詢得數(shù)據(jù)：該市2021年數(shù)字閱讀市場規(guī)模為432萬元，2023年數(shù)字閱讀市場規(guī)模為507萬元．設(shè)該市年平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．432（1+2x）＝507 B．432（1+2x）2＝507 C．432（1+x）2＝507 D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝5077．（4分）如表中列出了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些對應(yīng)值，則一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個近似解x的范圍是（）x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣11﹣5﹣111…A．﹣1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．2＜x＜3 D．3＜x＜48．（4分）如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為5m，寬為4m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（）A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m29．（4分）把邊長分別為1和2的兩個正方形按如圖的方式放置．則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．10．（4分）點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝2mx2﹣mx﹣1上，且滿足x1＞x2，x1+x2＝2﹣m，y1＜y2，則m的取值范圍是（）A． B．或m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞1或m＜0二、填空題（每題4分，共24分，請把答案寫在答題卷上）11．（4分）在做拋擲均勻硬幣實驗時，拋一次硬幣，正面朝上的概率為．12．（4分）點A坐標為（1，2），點A與點B關(guān)于原點中心對稱，點B坐標為．13．（4分）拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸只有一個交點，則c＝．14．（4分）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm．C為⊙O上一點，∠ACB＝60°，則AB的長為cm．15．（4分）當(dāng)x＝a與x＝b（a≠b）時，代數(shù)式x2﹣2x+3的值相等，則x＝a+b時，代數(shù)式x2﹣2x+3的值為．16．（4分）√△ABC中，∠ACB＝90°，，D在線段AB上運動，以CD為斜邊作Rt△CDE，使∠DCE＝30°，點E和點A位于CD的兩側(cè)，連接BE，則BE的最小值為．三、解答題（共86分，請把答案寫在答題卷上）17．（8分）解方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）．18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．19．（8分）如圖，每個小正方形的邊長均為1，方格紙中畫有△A1B1C1，A1、B1、C1均在小正方形的頂點上．（1）將△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C1，畫出△A2B2C1；（2）在（1）的旋轉(zhuǎn)過程中，求點A1運動的路徑的長度．20．（8分）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點C，AD平分∠CAB交⊙O于點D，過點D作直線DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F，連接BD并延長交AC于點M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；21．（8分）已知拋物線經(jīng)過點（1，0），（3，0），且有最大值4．（1）求拋物線的解析式；（2）若﹣1＜x＜3，求函數(shù)值y的取值范圍．22．（10分）一個不透明的袋中裝有1個紅球、2個黑球，它們除顏色不同外其余都相同．（1）若從袋中隨機摸出一球，求該球是紅球的概率；（2）先往袋中加入1個紅球或黑球（它們與袋中的球大小、質(zhì)地完全一樣），再從袋中依次抽取兩球（不放回），若要使得抽取的這兩球顏色相同的概率較大，則應(yīng)往袋中加入紅球還是黑球？請利用樹狀圖或列表法說明理由．23．（10分）正五邊形是一個具有和諧美的幾何圖形，其尺規(guī)作圖法引起了學(xué)者們的關(guān)注，里士滿提出了一個構(gòu)造圓內(nèi)接正五邊形的尺規(guī)作圖方法，并且通過計算得到，當(dāng)圓的半徑為1時，其內(nèi)接正五邊形的邊長為．如圖，圓O的半徑1，AC和BD是相互垂直的直徑，直線l是過點C的圓的切線．（1）尺規(guī)作圖：①作OC的中點E，②以C為圓心，OE的長為半徑交切線于點F，③以F為圓心，OF的長半徑交切線于點G，且F、G在直線AC的兩側(cè)，連接OF、OG；（2）結(jié)合材料，在線段OF、OG、EF中，判斷哪條線段的長度等于圓O的內(nèi)接正五邊形的邊長，并說明理由．24．（12分）根據(jù)以下的素材，制定方案，設(shè)計出面積最大的花圃：素材1：有一堵長m米（0＜m＜20）的圍墻，利用這堵墻和長為60m的籬笆圍成矩形花圃，設(shè)花圃面積為y，甲、乙、丙三人討論如何設(shè)計一個面積最大的花圃．素材2：甲的設(shè)計方案，利用墻面作為矩形花圃的一邊（如圖1），求解決過程如下：設(shè)平行于墻面的籬笆長為n米，則垂直于墻面的籬笆長為．依題意得；，∵函數(shù)開口向下，對稱軸為直線n＝30，∴當(dāng)0＜n≤m時，y隨n的增大而增大，∴n＝m時，y的最大值為．素材3：受甲的方案的啟發(fā)，乙、丙各自有了新的設(shè)計方案．乙的方案：利用全部圍墻作為矩形一邊的一部分（如圖2）；丙的方案，利用部分圍墻作為矩形一邊的一部分（如圖3）設(shè)墻左端籬笆AM長為x米，解決下列問題：任務(wù)1：當(dāng)m＝12時，對于乙的方案，則可知BC＝AD＝（用含x的代數(shù)式表示），花圃面積y＝（用含x的代數(shù)式表示），求該方案對應(yīng)的花圃面積的最大值．任務(wù)2：對于丙的方案，設(shè)所用墻的長度MD為a米（a＜m），求該方案對應(yīng)的花圃面積的最大值．任務(wù)3：比較甲、乙、丙三種方案，判斷哪種方案設(shè)計出的花圃面積更大？并說明理由．25．（14分）如圖是一張矩形紙片ABCD，點M是對角線AC的中點，點E在BC邊上．（1）如圖1，將△DCE沿直線DE折疊，使點C落在對角線AC上的點F處，連接DF，EF．①若∠EDC＝30°，DE＝1，求對角線AC的長；②若MF＝CD，求∠DAF的度數(shù)及此時的值．（2）如圖2，若CB＝3，CD＝2，連接BM、ME，將△MEC沿ME折疊，點C的對應(yīng)點為點G，當(dāng)線段GE與線段BM交于點H且△BHE為直角三角形時，求此時BE的長．

2024-2025學(xué)年福建省福州一中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題（每小題4分，共40分，請把答案寫在答題卷上）1．【考點】相似圖形．【解答】解：∵兩個相似圖形的相似比是3：7，∴它們的面積比是（）2＝9：49，故選：B．2．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【解答】解：根據(jù)平移規(guī)則“左加右減，上加下減”，把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向下平移1個單位長度后所得的圖象的函數(shù)解析式為y＝2x2﹣1．故選：C．3．【考點】一元二次方程的解．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+5x+a＝0，得（﹣1）2+5×（﹣1）+a＝0，解得a＝4．故選：C．4．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【解答】解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，∴∠BAE＝60°，BA＝AE，∴△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝5，故選：A．5．【考點】圓周角定理．【解答】解：連接OC，如圖，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴．解法二：因為AB是直徑，所以∠ACB＝90°所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．故選：D．6．【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【解答】解：根據(jù)題意得：432（1+x）2＝507．故選：C．7．【考點】圖象法求一元二次方程的近似根；二次函數(shù)的性質(zhì)．【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣1；當(dāng)x＝0時，y＝1，∴方程的一個近似根x的范圍是﹣1＜x＜0，故選：A．8．【考點】利用頻率估計概率；折線統(tǒng)計圖．【解答】解：假設(shè)不規(guī)則圖案面積為xm2，由已知得：長方形面積為20m2，根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，當(dāng)事件A試驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35，綜上有：，解得x＝7．故選：B．9．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【解答】解：方法一、如圖，設(shè)BC＝x，則CE＝1﹣x易證△ABC∽△FEC∴＝＝＝解得x＝∴陰影部分面積為：S△ABC＝××1＝．方法二、如圖，以點O為原點，OD所在直線為x軸，BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則點A（﹣1，1），點D（2，0），點B（0，2），∴直線AD的解析式為：y＝﹣x+，∴點C坐標為（0，），∴BC＝，陰影部分面積為：S△ABC＝××1＝．故選：A．10．【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【解答】解：拋物線y＝2mx2﹣mx﹣1的對稱軸為直線x＝＝，∵x1+x2＝2﹣m，則＝，當(dāng)2m＞0時，即m＞0，開口向上，∵x1＞x2，y1＜y2，∴＜，解得m＞；當(dāng)2m＜0時，即m＜0，開口向下，∵x1＞x2，y1＜y2，∴＞，解得m＜，故m＜0，綜上可得，m＞或m＜0．故選：B．二、填空題（每題4分，共24分，請把答案寫在答題卷上）11．【考點】模擬試驗．【解答】解：在做拋擲均勻硬幣實驗時，拋一次硬幣，正面朝上的概率為．故答案為：．12．【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標．【解答】解：∵點A與點B關(guān)于原點對稱，點A坐標為（1，2），∴點B坐標為：（﹣1，﹣2）．故答案為：（﹣1，﹣2）．13．【考點】拋物線與x軸的交點．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸只有一個交點，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＝0，解得c＝1．故答案為：1．14．【考點】三角形的外接圓與外心．【解答】解：連接AO并延長交⊙O于點D，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，在Rt△ABD中，AD＝6cm，∴AB＝AD?sin60°＝6×＝3（cm），故答案為：3．15．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【解答】解：由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2可知拋物線y＝x2﹣2x+3對稱軸為直線x＝1，∵當(dāng)x＝a與x＝b（a≠b）時，代數(shù)式x2﹣2x+3的值相等，∴當(dāng)x＝a或x＝b（a≠b）時，二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的函數(shù)值相等，∴以a、b為橫坐標的點關(guān)于直線x＝1對稱，則＝1，∴a+b＝2，∵x＝a+b，∴x＝2，x＝2時，代數(shù)式x2﹣2x+3＝4﹣4+3＝3．故答案為3．16．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；三角形三邊關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．【解答】解：作CF⊥AB于點F，則∠AFC＝∠BFC＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝BC＝×＝2，∴CF＝AF＝BF＝AB＝1，∵∠CED＝90°，∠DCE＝30°，∴∠CDE＝60°，作直線EF，取CD的中點O，連接OE、OF，作以O(shè)為圓心，以O(shè)D為半徑的圓，∵OF＝OE＝OC＝OD＝CD，∴F、E、C、D四點都在⊙O上，∴∠CFE＝∠CDE＝60°，∴∠BFE＝∠BFC﹣∠CFE＝30°，∴點E在直線EF上運動，作BL⊥FE于點L，則∠BLF＝90°，∴BL＝BF＝，∵BE≥BL，∴BE≥，∴BE的最小值為，故答案為：．三、解答題（共86分，請把答案寫在答題卷上）17．【考點】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣直接開平方法．【解答】解：（1）∵2x2﹣8＝0，∴2x2＝8，則x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵a＝，b＝﹣3，c＝﹣5，∴Δ＝9﹣4××（﹣5）＝19＞0，則x＝＝3，即x1＝3+，x2＝3﹣．18．【考點】相似三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)．【解答】證明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE．19．【考點】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；軌跡．【解答】解：（1）如圖，△A2B2C1即為所求．（2）由勾股定理得，A1C1＝＝，∴點A1運動的路徑的長度為＝．20．【考點】切線的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【解答】證明：（1）連接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴直線DE是⊙O的切線；（2）∵線段AB是⊙O的直徑，∠ADB＝90°，∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．21．【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的最值．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點（1，0），（3，0），∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，∵函數(shù)有最大值4，∴拋物線的頂點坐標為（2，4），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+4，把（1，0）代入得a+4＝0，解得a＝﹣4，∴拋物線解析式為y＝﹣4（x﹣2）2+4．（2）∵y＝﹣4（x﹣2）2+4，∴拋物線開口向下，函數(shù)有最大值為4，當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣4（﹣1﹣2）2+4＝﹣32，∴當(dāng)﹣1＜x＜3時，函數(shù)值y的取值范圍是﹣32＜y≤4．22．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【解答】解：（1）由題意得，該球是紅球的概率為．（2）當(dāng)往袋中加入1個紅球時，列表如下：紅紅黑黑紅（紅，紅）（紅，黑）（紅，黑）紅（紅，紅）（紅，黑）（紅，黑）黑（黑，紅）（黑，紅）（黑，黑）黑（黑，紅）（黑，紅）（黑，黑）共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的這兩球顏色相同的結(jié)果有4種，∴抽取的這兩球顏色相同的概率為＝．當(dāng)往袋中加入1個黑球時，列表如下：紅黑黑黑紅（紅，黑）（紅，黑）（紅，黑）黑（黑，紅）（黑，黑）（黑，黑）黑（黑，紅）（黑，黑）（黑，黑）黑（黑，紅）（黑，黑）（黑，黑）共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的這兩球顏色相同的結(jié)果有6種，∴抽取的這兩球顏色相同的概率為＝．∵，∴應(yīng)往袋中加入黑球．23．【考點】作圖—復(fù)雜作圖；切線的性質(zhì)；正多邊形和圓．【解答】解：（1）尺規(guī)作圖如下：（2）OG是圓O的內(nèi)接正五邊形的邊長，理由如下：∵直線l為⊙O的切線，∴∠OCE＝∠OCG＝90°，∵E為OC中點，∴OE＝CE＝CF＝，∴EF＝＝，OF＝＝＝FG，∴CG＝FG﹣CF＝﹣＝，∴OG＝＝＝；∴OG是圓O的內(nèi)接正五邊形的邊長．24．【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．【解答】解：任務(wù)1：當(dāng)m＝12時，對于乙的方案，則可知BC＝AD＝（x+12）米，∴AB＝＝（18﹣x）米，∴花圃面積y＝（x+12）（18﹣x）＝﹣x2+6x+216＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）+216＝﹣（x﹣3）2+225，∴當(dāng)x＝3時，y有最大值為225米2；故答案為：（x+12）米，（﹣x2+6x+216）米2；任務(wù)2：丙的方案，設(shè)所用墻的長度MD為a米（a＜m），∴AD＝（x+a）米，AB＝＝（30﹣x﹣a）米，∴花圃面積y＝（x+a）（30﹣x﹣a），設(shè)x+a＝t，則y＝t（30﹣t）＝﹣t2+30t＝﹣（t﹣15）2+225，當(dāng)t＝15，即x+a＝15時，y有最大值是225米2，答：該方案對應(yīng)的花圃面積的最大值；任務(wù)3：甲方案設(shè)計出的花圃面積更大，理由如下：甲的設(shè)計方案：依題意得；y＝﹣n2+30n＝﹣（n2﹣60n+900﹣900）＝﹣（n﹣30）2+450，對稱軸是：直線x＝30，當(dāng)n＜30時，y隨n的增大而增大，∵n＝m時，y的最大值為，且0＜m＜20，當(dāng)n＝20時，y＝﹣×100+450＝400，當(dāng)n＝19時，y＝﹣×121+450＝389.5，即甲方案設(shè)計出的花圃面積大于389.5米2且小于400米2；乙的方案：當(dāng)x＝3時，y有最大值為225米2；丙的方案：該方案對應(yīng)的花圃面積的最大值為225米2；綜上，甲方案設(shè)計出的花圃面積更大，25．【考點】相似形綜合題．【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD為矩形，∴∠DCE＝∠ADC＝90°，∵∠EDC＝30°，DE＝1，∴，，由折疊的性質(zhì)可得∠EDF＝∠EDC＝30°，DC＝DF，∴∠CDF＝∠EDF+∠EDC＝60°，∴△CDF為等邊三角形，∴∠FC