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浙江省臺(tái)州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)1月期末質(zhì)量試卷姓名:__________班級(jí):__________考號(hào):__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.直線y=2x-1的斜率等于()A.-1 B.1 C.2 D.-22.若雙曲線x2m2A.2 B.23 C.4 3.若空間向量a=1,0,1,b=2,1,2,則aA.23 B.23 C.224.已知等差數(shù)列{an}n∈N*的前n項(xiàng)和為A.-2 B.-1 C.1 D.25.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1DA.a(chǎn)+b-c B.-a+b+c C.-a+b+c D.-a-b+c6.人們發(fā)現(xiàn),任取一個(gè)正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述運(yùn)算,必會(huì)得到1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下:對(duì)于數(shù)列{an}n∈N*,a1=m(A.16 B.18 C.20 D.417.已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F,A,B兩點(diǎn)在拋物線C上,并滿足AF=3FB,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為A.12 B.1 C.2 8.在空間四邊形ABCD中,AB?BC=A.AB+BC=-C.△ABD?△DCA D.AC⊥BD二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.已知數(shù)列{an}A.{an2}是等比數(shù)列C.{an?bn10.已知a>-4且a≠0,曲線C:xA.當(dāng)a>0時(shí),曲線C是橢圓B.當(dāng)-4<a<0時(shí),曲線C是雙曲線C.當(dāng)a>0時(shí),曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,2D.當(dāng)-4<a<0時(shí),曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為-2,011.如圖,在四面體ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),EG,F(xiàn)H相交于點(diǎn)M,則下列結(jié)論中正確的是()A.AC//平面EFGHB.AC⊥BDC.AMD.若S,T分別為AC,BD的中點(diǎn),則M為ST的中點(diǎn)12.已知S={x,y∣x-22+A.當(dāng)m=12B.當(dāng)m=2時(shí),P有2個(gè)元素C.若P有2個(gè)元素,則5D.當(dāng)0<m<52-1三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.點(diǎn)1,2到直線3x+4y-6=0的距離為.14.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F15.已知數(shù)列{2n+12n+n2n+1+n+1}n∈N16.已知拋物線C1:x2=4y和C2:x2=-8y.點(diǎn)P在C2上(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)P作C1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B四、解答題(本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.已知圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)A2,0(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),若PQ=2,求直線l18.已知數(shù)列{an}n∈N*是公比不為1的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列{a(2)若bn=n+12an19.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C①直線AB與平面ACD1所成角的正弦值為②平面ABB1A1與平面(1)求AA(2)E是線段BD1(不含端點(diǎn))上的一點(diǎn),若平面A1C120.如圖,圓C的半徑為4,A是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)且CA=2,P是圓C上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線l和半徑CP相交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P(1)求點(diǎn)Q的軌跡;(2)當(dāng)CP⊥CA時(shí),證明:直線l與點(diǎn)Q形成的軌跡相切.21.某游樂(lè)園中有一座摩天輪.如圖所示,摩天輪所在的平面與地面垂直,摩天輪為東西走向.地面上有一條北偏東為θ的筆直公路,其中cosθ=27.摩天輪近似為一個(gè)圓,其半徑為35m,圓心O到地面的距離為40m,其最高點(diǎn)為A.A(1)如圖所示,甲位于摩天輪的A點(diǎn)處時(shí),從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少?(2)當(dāng)甲隨著摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少?22.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知點(diǎn)M2,3,過(guò)點(diǎn)Tt,0的直線l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),且直線MP與直線MQ的斜率存在,分別記為k1,k2.問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)
答案解析部分1.【答案】C【解析】【解答】解:由直線的斜截式y(tǒng)=kx+b可知y=2x?1的斜率為k=2.故答案為:C.
【分析】利用直線的斜截式方程的參數(shù)的幾何意義即可.2.【答案】A【解析】【解答】解:由題意得,e2=c又m>0,則m=2.故答案為:A.
【分析】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).根據(jù)題意可得:a2=m2,3.【答案】C【解析】【解答】解:由題意,得cos?故答案為:C.
【分析】利用空間向量夾角公式即可求解.4.【答案】D【解析】【解答】解:由S5=5(a1∴a1+2d=7故答案為:D.
【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得:a3=7,再結(jié)合a45.【答案】A【解析】【解答】解:由題意可得:D1故答案為:A.
【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算.根據(jù)圖形可得:D1C→=D1D→+6.【答案】B【解析】【解答】解:若a5=1,則由遞推關(guān)系只能有a4=2,a3當(dāng)a2=8時(shí),a1=16;當(dāng)所以m所有可能的取值為16或2,16+2=18.故答案為:B.
【分析】本題考查數(shù)列的遞推公式.若a5=1,則由遞推關(guān)系an+1=an2,an為偶數(shù),3an+1,an為奇數(shù).,只能有a4=27.【答案】B【解析】【解答】解:由題意得F(p當(dāng)過(guò)F的直線斜率不存在時(shí),AF=當(dāng)過(guò)F的直線斜率存在時(shí),設(shè)為y=k(x?p2)k2設(shè)A(x1,因?yàn)锳F=3FB,所以又|FM|=1,故x1?p故3(p2?故(1+p2)(故答案為:B.
【分析】本題考查拋物線的定義和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).本題需要分過(guò)F的直線斜率不存在和存在兩種情況.當(dāng)過(guò)F的直線斜率不存在時(shí),AF=FB,不合要求;當(dāng)過(guò)F的直線斜率存在時(shí),設(shè)為y=k(x?p2)聯(lián)立拋物線可得:y=k(x?p2)y2=2px,消y可得:k2x2?(2k28.【答案】D【解析】【解答】解:依題意,AB+顯然(AB+BC因此AB2由BC+CD=于是|AD|=|BC由CD?DA=DA?AB,得DA?(AB使OE=CO,連接BE,DE,AE,取AE中點(diǎn)F,連接則|AD|=于是AB+DC=AB+DE⊥BF,而AD∩DE=D,AD,DE?平面ADE,則BF⊥平面ADE,又因此BF⊥DF,BD=2OF=AC,而AB=CD,AD為公共邊,所以△ABD≌顯然線段BC,CD不一定相等,而B(niǎo)F=B即直角三角形BFD的兩條直角邊不一定相等,F(xiàn)O與BD不一定垂直,又FO//所以AC,故答案為:D.
【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算.根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得:AB+BC=AC=?CA=?(CD+DA).對(duì)式子9.【答案】A,C【解析】【解答】解:A、設(shè)數(shù)列{an}的公比為q故an+12aB和D、設(shè)an=1,bn所以an+bC、設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,數(shù)列{則an+1?b故答案為:AC.
【分析】本題考查等比數(shù)列的定義和等差數(shù)列的的定義.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則an+1an=q,故an+12an2=q2,所以{an2}10.【答案】A,B,D【解析】【解答】解:A、若a>0,則4+a>a>0,故曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,A正確;B、若?4<a<0,則4+a>0,a<0,故曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,B正確;C、a>0時(shí),由A可得曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,C錯(cuò)誤;D、?4<a<0時(shí),由B可得曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,曲線C:x2雙曲線C的半焦距為4+a+(?a)=2,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,0),(2,0)故答案為:ABD.
【分析】本題考查橢圓方程,雙曲線方程.對(duì)于AC,若a>0,則4+a>a>0,故曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,故A正確,C錯(cuò)誤;對(duì)于B,若?4<a<0,則4+a>0,a<0,故曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線;對(duì)于D,?4<a<0時(shí),曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,曲線C:x24+a+y211.【答案】A,C,D【解析】【解答】解:A、因?yàn)镋,F分別是AB,又因?yàn)镋F?平面EFGH,AC?平面EFGH,所以AC//平面EFGH,A正確;B、由A可得,EF//AC,因?yàn)镕,G分別是BC,由題中條件得不到EF與FG垂直,所以也得不到AC與BD垂直,B錯(cuò)誤;C、AM==1D、因?yàn)門(mén)是BD的中點(diǎn),所以AT=又因?yàn)镾是AC的中點(diǎn),所以AS=所以AT+所以M為ST的中點(diǎn),D正確.故答案為:ACD.
【分析】本題考查直線與平面平行的判定,異面直線垂直的判定,空間向量的線性運(yùn)算.已知E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),根據(jù)三角形的中位線定理可得:EF//AC,根據(jù)線面平行的判定定理可得AC//平面EFGH;已知F,G分別是BC,CD的中點(diǎn),根據(jù)三角形的中位線定理可得:FG//BD,又知EF//AC,所以可將AC與BD的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為EF與FG的關(guān)系進(jìn)行判斷,又因?yàn)轭}中條件得不到T是BD的中點(diǎn),根據(jù)三角形中線向量公式可得:AT=12(AB+AD).又知S是AC的中點(diǎn),所以12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解:A、m=1(x?2)2+(y?12)2由(x?2)2+(0?12故A(2?3(x?2)2+(y+12)2由(x?2)2+(0+12同理可得A(2?3故S表示的部分如圖所示,{(x,y)|y=0}表示x軸,故B、當(dāng)m=2時(shí),(x?2)2+(y?2)2=1整個(gè)圓位于x軸上方,(x?2)2+(y+2)2=1,由于圓心(2故S表示的部分如圖所示,由于圓心(2,2)到y(tǒng)=1故直線y=12x與圓(x?2)C、當(dāng)m=0時(shí),此時(shí)兩圓圓心相同,半徑相等,此時(shí)S表示的部分如圖所示,此時(shí)直線y=12x與SD、當(dāng)0<m<5(x?2)2+(y?m)2=1,由于圓心(2(x?2)2+(y+m)2=1|m+1|1+畫(huà)出S表示的部分如圖所示,此時(shí)直線y=1所以P有4個(gè)元素,D正確.故答案為:ABD.
【分析】本題考查點(diǎn)集,集合的交集運(yùn)算和并集運(yùn)算.A選項(xiàng),當(dāng)m=12時(shí),(x?2)2+(y?12)2=1,y≥0表示圓心為(2,12),半徑為1的圓位于x軸上方的部分(包括x軸上的兩點(diǎn)),(x?2)2+(y+12)2=1,y≥0表示圓心為(2,?12),半徑為1的圓位于x軸上方的部分(包括x軸上的兩點(diǎn)),進(jìn)而可畫(huà)出S表示的部分圖形,求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),可判斷A選項(xiàng);B選項(xiàng),當(dāng)m=2時(shí),S為(x?2)2+(y?2)213.【答案】1【解析】【解答】解:點(diǎn)P(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離故答案為:1.
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可.14.【答案】3【解析】【解答】解:由橢圓定義可得|PF1|+|P故|PF由余弦定理得cos∠故20a29解得ca=故答案為:3【分析】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).已知|PF1|=2|PF2|結(jié)合橢圓定義可求出15.【答案】4【解析】【解答】解:由于2n故Sn由Sn>17即2n+1+n+1>20,由于2n+1且n=3時(shí),2n+1+n+1=20,n=4時(shí),故n的最小值為:4.故答案為:4.
【分析】本題考查裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和.觀察可得:可將2n+1(2n+n)(2n+1+n+1)化為12n+n?16.【答案】2【解析】【解答】解:依題知直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB:y=kx+b,(聯(lián)立y=kx+bx2=4y則Δ=16kx1設(shè)過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y?y則y?y1=由Δ=16k12故過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y?y1=同理過(guò)B點(diǎn)的切線方程為y=x聯(lián)立得x=x1+則(2k)2設(shè)C(聯(lián)立y=kx+bx2=?8yΔ=64kx3|AB故答案為:22
【分析】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.根據(jù)題意可知直線AB的斜率存在且不為0,據(jù)此設(shè)出直線AB方程y=kx+b,聯(lián)立y=kx+bx2=4y,得x2?4kx?4b=0,根據(jù)韋達(dá)定理可得:x1+x217.【答案】(1)解:設(shè)原點(diǎn)為O,易知OA⊥OB,線段AB的中點(diǎn)為圓心,圓心坐標(biāo)為1,3線段AB的長(zhǎng)為圓C的直徑,AB=4,半徑r=2圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-1(2)解:①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=0,令x=0,代入圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,解得y=0或y=23,則PQ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx,將其轉(zhuǎn)化為一般式方程kx-y=0,圓心到直線的距離為d,則d=k-3k化簡(jiǎn)得k=0或k=-3,即直線l的方程為y=0或【解析】【分析】本題考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系.(1)由OA⊥OB,可知線段AB的中點(diǎn)為圓心,線段AB的長(zhǎng)為圓C的直徑,利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AB=4,所以半徑r=2,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出圓心為1,(2)分直線l的斜率是否存在進(jìn)行討論:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=0,將直線方程x=0代入圓C的方程(x?1)2+(y?3)2=4,解得y=0或y=23,則PQ=23,不符合題意.;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),所以設(shè)直線l的方程為y=kx,利用圓的弦長(zhǎng)公式可求出18.【答案】(1)解:設(shè)等比數(shù)列{an}3a1+∵a1≠0,得3+q2由于q=1不符合題意,因此q=3.由S3=26得,a1+a2(2)解:由題意得,bn=2n+1則3T則-2T則-2TT【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.(1)已知3a1,2a2,(2)由(1)可得:an=2?3n?1.所以19.【答案】(1)解:如圖,以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC,BA,BB1所在直線分別為x軸,y軸,則B0,0,0設(shè)AA1=a設(shè)平面ACD1的法向量n?AC→=x1-y1若選擇條件①,AB=0,-1,0,設(shè)直線AB與平面ACD則sinθ=解得a=2.即AA若選擇條件②,易知平面ABB1A設(shè)平面ABB1A1與平面則cosα=解得a=2.A(2)解:由題(1)得,D11,1,2,A10,1,2,C1設(shè)BE=λBD設(shè)平面A1C1E的法向量s=x2,又AE=λ,λ-1,2A,AD=1,0,0,設(shè)平面t?AE→=-λx3+∵平面A1C1E⊥平面ADE,解得λ=16【解析】【分析】本題考查利用空間向量求直線與平面所成的角,平面與平面所成的角,平面與平面垂直.(1)以BC,BA,BB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AA1=a,利用向量法求出平面ACD1的法向量,①直線AB與平面ACD1所成角的正弦值為23,代入直線與平面所成的角的公式可求出a=2;②平面ABB(2)設(shè)BE=λBD1=(λ,λ,2λ),(λ≠1),求出平面A1C20.【答案】(1)解:∵CP=QC+QP因?yàn)镼C+QA>CA=2.所以Q與兩個(gè)定點(diǎn)C由橢圓的定義得,Q點(diǎn)的軌跡是以C,A為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4的橢圓.(2)解:以線段CA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以過(guò)點(diǎn)C,A的直線為x軸,以線段CA的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系Oxy,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2由橢圓的定義得:2a=4,即a=2;2c=2,即c=1.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2當(dāng)CP⊥CA時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為-1,4和-1,-4.當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為-1,4時(shí),已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0,線段PA的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,2,直線AP的斜率為4-0-1-1直線l的方程y=12x+2,聯(lián)立方程y=整理得x2+2x+1=0,可得所以直線l與點(diǎn)Q形成的軌跡只有1個(gè)交點(diǎn),即直線l與點(diǎn)Q形成的軌跡相切.當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為-1,-4時(shí),同理可證.【解析】【分析】本題考查橢圓的定義,直線與橢圓的位置關(guān)系.(1)已知P是圓C上任意一點(diǎn),所以CP=QC+QP=4,又知線段AP的垂直平分線為l,所以QP=QA,結(jié)合CP=QC+QP=4可得:(2)以線段CA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以過(guò)點(diǎn)C,A的直線為x軸,以線段CA的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系Oxy,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)CP⊥CA時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,4)和(?1,?4),求出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立可得y=12x+2,21.【答案】(1)解:如圖所示,設(shè)公路所在直線為l,過(guò)B點(diǎn)作l的垂線,垂直為D,BD=70m因?yàn)閳A的半徑為35m,圓心O到地面的距離為40m,所以AB=75m.從甲看乙的最大俯角與∠ADB相等,由題意得。(2)解:如圖所示,設(shè)甲位于圓O上的R點(diǎn)處,直線OF垂直于OA且交圓O于F點(diǎn),射線OR可以看成是射線OF繞著O點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角度得到.過(guò)R點(diǎn)正下方的地面T點(diǎn)向l作垂線,垂足為S.當(dāng)tan∠RST取得最大值時(shí),∠tan∠其中,-87-si
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