浙江省臺(tái)州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)1月期末質(zhì)量試卷

浙江省臺(tái)州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)1月期末質(zhì)量試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．直線y=2x-1的斜率等于（）A．-1 B．1 C．2 D．-22．若雙曲線x2m2A．2 B．23 C．4 3．若空間向量a=1，0，1，b=2，1，2，則aA．23 B．23 C．224．已知等差數(shù)列{an}n∈N*的前n項(xiàng)和為A．-2 B．-1 C．1 D．25．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1DA．a(chǎn)+b-c B．-a+b+c C．-a+b+c D．-a-b+c6．人們發(fā)現(xiàn)，任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述運(yùn)算，必會(huì)得到1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：對(duì)于數(shù)列{an}n∈N*，a1=m（A．16 B．18 C．20 D．417．已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，A，B兩點(diǎn)在拋物線C上，并滿足AF=3FB，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為A．12 B．1 C．2 8．在空間四邊形ABCD中，AB?BC=A．AB+BC=-C．△ABD?△DCA D．AC⊥BD二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知數(shù)列{an}A．{an2}是等比數(shù)列C．{an?bn10．已知a>-4且a≠0，曲線C：xA．當(dāng)a>0時(shí)，曲線C是橢圓B．當(dāng)-4<a<0時(shí)，曲線C是雙曲線C．當(dāng)a>0時(shí)，曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，2D．當(dāng)-4<a<0時(shí)，曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為-2，011．如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，EG，F(xiàn)H相交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論中正確的是（）A．AC//平面EFGHB．AC⊥BDC．AMD．若S，T分別為AC，BD的中點(diǎn)，則M為ST的中點(diǎn)12．已知S={x，y∣x-22+A．當(dāng)m=12B．當(dāng)m=2時(shí)，P有2個(gè)元素C．若P有2個(gè)元素，則5D．當(dāng)0<m<52-1三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．點(diǎn)1，2到直線3x+4y-6=0的距離為.14．已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F15．已知數(shù)列{2n+12n+n2n+1+n+1}n∈N16．已知拋物線C1：x2=4y和C2：x2=-8y.點(diǎn)P在C2上（點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)P作C1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．已知圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)A2，0（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若PQ=2，求直線l18．已知數(shù)列{an}n∈N*是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為（1）求數(shù)列{a（2）若bn=n+12an19．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C①直線AB與平面ACD1所成角的正弦值為②平面ABB1A1與平面（1）求AA（2）E是線段BD1（不含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，若平面A1C120．如圖，圓C的半徑為4，A是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)且CA=2，P是圓C上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑CP相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P（1）求點(diǎn)Q的軌跡；（2）當(dāng)CP⊥CA時(shí)，證明：直線l與點(diǎn)Q形成的軌跡相切.21．某游樂(lè)園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一條北偏東為θ的筆直公路，其中cosθ=27.摩天輪近似為一個(gè)圓，其半徑為35m，圓心O到地面的距離為40m，其最高點(diǎn)為A.A（1）如圖所示，甲位于摩天輪的A點(diǎn)處時(shí)，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？（2）當(dāng)甲隨著摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？22．已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)M2，3，過(guò)點(diǎn)Tt，0的直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且直線MP與直線MQ的斜率存在，分別記為k1，k2.問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由直線的斜截式y(tǒng)=kx+b可知y=2x?1的斜率為k=2.故答案為：C.

【分析】利用直線的斜截式方程的參數(shù)的幾何意義即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得，e2=c又m>0，則m=2.故答案為：A.

【分析】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).根據(jù)題意可得：a2=m2,3．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，得cos?故答案為：C.

【分析】利用空間向量夾角公式即可求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：由S5=5(a1∴a1+2d=7故答案為：D.

【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a3=7，再結(jié)合a45．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可得：D1故答案為：A.

【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算.根據(jù)圖形可得：D1C→=D1D→+6．【答案】B【解析】【解答】解：若a5=1，則由遞推關(guān)系只能有a4=2，a3當(dāng)a2=8時(shí)，a1=16；當(dāng)所以m所有可能的取值為16或2，16+2=18.故答案為：B.

【分析】本題考查數(shù)列的遞推公式.若a5=1，則由遞推關(guān)系an+1=an2，an為偶數(shù)，3an+1，an為奇數(shù).，只能有a4=27．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得F(p當(dāng)過(guò)F的直線斜率不存在時(shí)，AF=當(dāng)過(guò)F的直線斜率存在時(shí)，設(shè)為y=k(x?p2)k2設(shè)A(x1,因?yàn)锳F=3FB，所以又|FM|=1，故x1?p故3(p2?故(1+p2)(故答案為：B.

【分析】本題考查拋物線的定義和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).本題需要分過(guò)F的直線斜率不存在和存在兩種情況.當(dāng)過(guò)F的直線斜率不存在時(shí)，AF=FB，不合要求；當(dāng)過(guò)F的直線斜率存在時(shí)，設(shè)為y=k(x?p2)聯(lián)立拋物線可得：y=k(x?p2)y2=2px，消y可得：k2x2?(2k28．【答案】D【解析】【解答】解：依題意，AB+顯然(AB+BC因此AB2由BC+CD=于是|AD|=|BC由CD?DA=DA?AB，得DA?(AB使OE=CO，連接BE,DE,AE，取AE中點(diǎn)F，連接則|AD|=于是AB+DC=AB+DE⊥BF，而AD∩DE=D,AD,DE?平面ADE，則BF⊥平面ADE，又因此BF⊥DF，BD=2OF=AC，而AB=CD,AD為公共邊，所以△ABD≌顯然線段BC,CD不一定相等，而B(niǎo)F=B即直角三角形BFD的兩條直角邊不一定相等，F(xiàn)O與BD不一定垂直，又FO//所以AC,故答案為：D.

【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算.根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得：AB+BC=AC=?CA=?(CD+DA).對(duì)式子9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、設(shè)數(shù)列{an}的公比為q故an+12aB和D、設(shè)an=1,bn所以an+bC、設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{則an+1?b故答案為：AC.

【分析】本題考查等比數(shù)列的定義和等差數(shù)列的的定義.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則an+1an=q，故an+12an2=q2，所以{an2}10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、若a>0，則4+a>a>0，故曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，A正確；B、若?4<a<0，則4+a>0，a<0，故曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，B正確；C、a>0時(shí)，由A可得曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，C錯(cuò)誤；D、?4<a<0時(shí)，由B可得曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，曲線C:x2雙曲線C的半焦距為4+a+(?a)=2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(?2，0)，(2，0)故答案為：ABD.

【分析】本題考查橢圓方程，雙曲線方程.對(duì)于AC，若a>0，則4+a>a>0，故曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故A正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，若?4<a<0，則4+a>0，a<0，故曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；對(duì)于D，?4<a<0時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，曲線C:x24+a+y211．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、因?yàn)镋,F分別是AB,又因?yàn)镋F?平面EFGH，AC?平面EFGH，所以AC//平面EFGH，A正確；B、由A可得，EF//AC，因?yàn)镕,G分別是BC,由題中條件得不到EF與FG垂直，所以也得不到AC與BD垂直，B錯(cuò)誤；C、AM==1D、因?yàn)門(mén)是BD的中點(diǎn)，所以AT=又因?yàn)镾是AC的中點(diǎn)，所以AS=所以AT+所以M為ST的中點(diǎn)，D正確.故答案為：ACD.

【分析】本題考查直線與平面平行的判定，異面直線垂直的判定，空間向量的線性運(yùn)算.已知E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得：EF//AC，根據(jù)線面平行的判定定理可得AC//平面EFGH；已知F,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得：FG//BD，又知EF//AC，所以可將AC與BD的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為EF與FG的關(guān)系進(jìn)行判斷，又因?yàn)轭}中條件得不到T是BD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中線向量公式可得：AT=12(AB+AD).又知S是AC的中點(diǎn)，所以12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、m=1(x?2)2+(y?12)2由(x?2)2+(0?12故A(2?3(x?2)2+(y+12)2由(x?2)2+(0+12同理可得A(2?3故S表示的部分如圖所示，{(x,y)|y=0}表示x軸，故B、當(dāng)m=2時(shí)，(x?2)2+(y?2)2=1整個(gè)圓位于x軸上方，(x?2)2+(y+2)2=1，由于圓心(2故S表示的部分如圖所示，由于圓心(2,2)到y(tǒng)=1故直線y=12x與圓(x?2)C、當(dāng)m=0時(shí)，此時(shí)兩圓圓心相同，半徑相等，此時(shí)S表示的部分如圖所示，此時(shí)直線y=12x與SD、當(dāng)0<m<5(x?2)2+(y?m)2=1，由于圓心(2(x?2)2+(y+m)2=1|m+1|1+畫(huà)出S表示的部分如圖所示，此時(shí)直線y=1所以P有4個(gè)元素，D正確.故答案為：ABD.

【分析】本題考查點(diǎn)集，集合的交集運(yùn)算和并集運(yùn)算.A選項(xiàng)，當(dāng)m=12時(shí)，(x?2)2+(y?12)2=1,y≥0表示圓心為(2,12)，半徑為1的圓位于x軸上方的部分（包括x軸上的兩點(diǎn)），(x?2)2+(y+12)2=1,y≥0表示圓心為(2,?12)，半徑為1的圓位于x軸上方的部分（包括x軸上的兩點(diǎn)），進(jìn)而可畫(huà)出S表示的部分圖形，求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；B選項(xiàng)，當(dāng)m=2時(shí)，S為(x?2)2+(y?2)213．【答案】1【解析】【解答】解：點(diǎn)P(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離故答案為：1.

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可.14．【答案】3【解析】【解答】解：由橢圓定義可得|PF1|+|P故|PF由余弦定理得cos∠故20a29解得ca=故答案為：3【分析】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).已知|PF1|=2|PF2|結(jié)合橢圓定義可求出15．【答案】4【解析】【解答】解：由于2n故Sn由Sn>17即2n+1+n+1>20，由于2n+1且n=3時(shí)，2n+1+n+1=20，n=4時(shí)，故n的最小值為：4.故答案為：4.

【分析】本題考查裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和.觀察可得：可將2n+1(2n+n)(2n+1+n+1)化為12n+n?16．【答案】2【解析】【解答】解：依題知直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB:y=kx+b,(聯(lián)立y=kx+bx2=4y則Δ=16kx1設(shè)過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y?y則y?y1=由Δ=16k12故過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y?y1=同理過(guò)B點(diǎn)的切線方程為y=x聯(lián)立得x=x1+則(2k)2設(shè)C(聯(lián)立y=kx+bx2=?8yΔ=64kx3|AB故答案為：22

【分析】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.根據(jù)題意可知直線AB的斜率存在且不為0，據(jù)此設(shè)出直線AB方程y=kx+b，聯(lián)立y=kx+bx2=4y，得x2?4kx?4b=0，根據(jù)韋達(dá)定理可得：x1+x217．【答案】（1）解：設(shè)原點(diǎn)為O，易知OA⊥OB，線段AB的中點(diǎn)為圓心，圓心坐標(biāo)為1，3線段AB的長(zhǎng)為圓C的直徑，AB=4，半徑r=2圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-1（2）解：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0，令x=0，代入圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，解得y=0或y=23，則PQ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx，將其轉(zhuǎn)化為一般式方程kx-y=0，圓心到直線的距離為d，則d=k-3k化簡(jiǎn)得k=0或k=-3，即直線l的方程為y=0或【解析】【分析】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系.（1）由OA⊥OB，可知線段AB的中點(diǎn)為圓心，線段AB的長(zhǎng)為圓C的直徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AB=4，所以半徑r=2，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出圓心為1，（2）分直線l的斜率是否存在進(jìn)行討論：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0，將直線方程x=0代入圓C的方程(x?1)2+(y?3)2=4，解得y=0或y=23，則PQ=23，不符合題意.；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為y=kx，利用圓的弦長(zhǎng)公式可求出18．【答案】（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}3a1+∵a1≠0，得3+q2由于q=1不符合題意，因此q=3.由S3=26得，a1+a2（2）解：由題意得，bn=2n+1則3T則-2T則-2TT【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.（1）已知3a1,2a2,（2）由(1)可得：an=2?3n?1.所以19．【答案】（1）解：如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，則B0，0，0設(shè)AA1=a設(shè)平面ACD1的法向量n?AC→=x1-y1若選擇條件①，AB=0，-1，0，設(shè)直線AB與平面ACD則sinθ=解得a=2.即AA若選擇條件②，易知平面ABB1A設(shè)平面ABB1A1與平面則cosα=解得a=2.A（2）解：由題（1）得，D11，1，2，A10，1，2，C1設(shè)BE=λBD設(shè)平面A1C1E的法向量s=x2，又AE=λ，λ-1，2A，AD=1，0，0，設(shè)平面t?AE→=-λx3+∵平面A1C1E⊥平面ADE，解得λ=16【解析】【分析】本題考查利用空間向量求直線與平面所成的角，平面與平面所成的角，平面與平面垂直.（1）以BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=a，利用向量法求出平面ACD1的法向量，①直線AB與平面ACD1所成角的正弦值為23，代入直線與平面所成的角的公式可求出a=2；②平面ABB（2）設(shè)BE=λBD1=(λ,λ,2λ),(λ≠1)，求出平面A1C20．【答案】（1）解：∵CP=QC+QP因?yàn)镼C+QA>CA=2.所以Q與兩個(gè)定點(diǎn)C由橢圓的定義得，Q點(diǎn)的軌跡是以C，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4的橢圓.（2）解：以線段CA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以過(guò)點(diǎn)C，A的直線為x軸，以線段CA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2由橢圓的定義得：2a=4，即a=2；2c=2，即c=1.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2當(dāng)CP⊥CA時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為-1，4和-1，-4.當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為-1，4時(shí)，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為1，0，線段PA的中點(diǎn)坐標(biāo)為0，2，直線AP的斜率為4-0-1-1直線l的方程y=12x+2，聯(lián)立方程y=整理得x2+2x+1=0，可得所以直線l與點(diǎn)Q形成的軌跡只有1個(gè)交點(diǎn)，即直線l與點(diǎn)Q形成的軌跡相切.當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為-1，-4時(shí)，同理可證.【解析】【分析】本題考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系.（1）已知P是圓C上任意一點(diǎn)，所以CP=QC+QP=4，又知線段AP的垂直平分線為l，所以QP=QA，結(jié)合CP=QC+QP=4可得：（2）以線段CA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以過(guò)點(diǎn)C，A的直線為x軸，以線段CA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)CP⊥CA時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,4)和(?1,?4)，求出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立可得y=12x+2，21．【答案】（1）解：如圖所示，設(shè)公路所在直線為l，過(guò)B點(diǎn)作l的垂線，垂直為D，BD=70m因?yàn)閳A的半徑為35m，圓心O到地面的距離為40m，所以AB=75m.從甲看乙的最大俯角與∠ADB相等，由題意得。（2）解：如圖所示，設(shè)甲位于圓O上的R點(diǎn)處，直線OF垂直于OA且交圓O于F點(diǎn)，射線OR可以看成是射線OF繞著O點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角度得到.過(guò)R點(diǎn)正下方的地面T點(diǎn)向l作垂線，垂足為S.當(dāng)tan∠RST取得最大值時(shí)，∠tan∠其中，-87-si