數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：從力做的功到向量的數(shù)量積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§5從力做的功到向量的數(shù)量積5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)有(）①a·0=0②0·a=0③0-=④|a·b|=|a||b｜⑤若a≠0,則對(duì)任一非零b有a·b≠0⑥a·b=0,則a與b中至少有一個(gè)為0⑦a與b是兩個(gè)單位向量，則a2=b2A。7B.5C.4解析:7個(gè)命題中只有③⑦正確.對(duì)于①,兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0·a=0；對(duì)于②,應(yīng)有0·a=0；對(duì)于④,由數(shù)量積定義，有|a·b|=|a||b|·｜c(diǎn)osθ｜≤|a|｜b｜，這里θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時(shí),才有｜a·b|=｜a||b｜；對(duì)于⑤,若非零向量a、b垂直,有a·b=0；對(duì)于⑥,由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.答案:D2.已知｜a|=3，|b|=6，當(dāng)①a∥b,②a⊥b,③a與b的夾角為60°時(shí)，分別求a·b.解:①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向,則它們的夾角θ=0°,∴a·b=|a||b｜c(diǎn)os0°=3×6×1=18；若a與b反向，則它們的夾角θ=180°，∴a·b=｜a｜｜b|cos180°=3×6×（-1）=-18.②當(dāng)a⊥b時(shí)，它們的夾角θ=90°，∴a·b=0。③當(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.3.已知｜a｜=10,｜b|=12,a與b的夾角為120°，求a·b。解：由定義，a·b=|a｜｜b｜c(diǎn)osθ=10×12×cos120°=-60.10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1。給出下列命題：①在△ABC中，若·＜0,則△ABC是銳角三角形；②在△ABC中，若·＞0，則△ABC是鈍角三角形;③△ABC是直角三角形·=0；④△ABC是斜三角形一定有·≠0。其中，正確命題的序號(hào)是____________________。解析：①∵·〈0,∴·=-·〉0.∴∠B是銳角，但并不能斷定其余的兩個(gè)角也是銳角?！嗤撇怀觥鰽BC是銳角三角形.故命題①是假命題.②∵·>0，∴·=—·<0.∠A是鈍角,因而△ABC是鈍角三角形。故命題②是真命題.③△ABC是直角三角形,則直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C。而·=0僅能保證∠B是直角.故命題③是假命題.④一方面，當(dāng)△ABC是斜三角形時(shí),其三個(gè)內(nèi)角均不是直角，故·≠0.故命題④是真命題。答案：②④2。若向量a、b、c滿足a+b+c=0，且｜a|=3，|b|=1，｜c(diǎn)｜=4，則a·b+b·c+a·c=____________。解法一：∵a+b+c=0,∴（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·∴2(a·b+b·c+a·c）=—(a2+b2+c2）=—(|a｜2+|b｜2+|c｜2）=-（32+12+42）=-26?！郺·b+b·c+a·c=-13.解法二：根據(jù)已知條件可知｜c(diǎn)｜=｜a|+|b｜,c=—a—b，所以a與b同向，c與a+b反向。所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=—13。答案：—133.已知a、b是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足｜a|=|b｜=|a—b｜，求a與a+b的夾角.解法一：根據(jù)｜a|=｜b|,有|a|2=｜b｜2。又由|b|=｜a-b|，得｜b|2=｜a｜2—2a·b+|b｜2,∴a·b=｜a|2。而|a+b｜2=｜a｜2+2a·b+｜b|2=3｜a|2,∴|a+b|=｜a|.設(shè)a與a+b的夾角為θ,則cosθ=，∴θ=30°。解法二：設(shè)向量a=（x1，y1)，b=(x2,y2),∵｜a｜=|b｜,∴x12+y12=x22+y22。由|b|=｜a-b|，得x1x2+y1y2=（x12+y12），即a·b=（x12+y12）.由|a+b｜2=2(x12+y12）+2×(x12+y12）=3(x12+y12），得|a+b｜=（x12+y12）。設(shè)a與a+b的夾角為θ,則cosθ=，∴θ=30°.解法三：根據(jù)向量加法的幾何意義，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB.∵|a｜=｜b｜，即｜|=||，∴OACB為菱形，OC平分∠AOB，這時(shí)=a+b，=a—b.而|a|=|b｜=｜a—b｜，即｜|=||=｜|。∴△AOB為正三角形，則∠AOB=60°,于是∠AOC=30°，即a與a+b的夾角為30°。4.若（a+b)⊥（2a-b),(a-2b）⊥（2a+b)，試求a與解:由（a+b)⊥(2a-b）,(a—2b)⊥（2a+∴a2=b2,|a｜2=|b｜2，｜a|=｜b｜。由2a2+a·b—b2a·b=b2-2a2=|b|2-2|a｜2=|b|2—2×｜b|2=|b|2，∴cosθ=?！郺、b的夾角的余弦值為。5。已知|a｜=5，|b|=12，當(dāng)且僅當(dāng)m為何值時(shí)，向量a+mb與a-mb互相垂直？解：若向量a+mb與a—mb互相垂直，則有（a+mb）·(a—mb)=0,∴a2—m2b2=0?！撸黙|=5,|b|=12，∴a2=25,b2=144。∴25—144m2∴m=±.∴當(dāng)且僅當(dāng)m=±時(shí),向量a+mb與a-mb互相垂直。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1。若向量a、b、c為任意向量,m∈R，則下列等式不一定成立的是(）A。（a+b）+c=a+（b+c)B.(a+b）·c=a·c+b·cC。（a·b）c=a（b·c）D.m（a+b）=ma+mb解析：根據(jù)向量的加、減、乘運(yùn)算法則解答此題。(a·b)·c≠a·（b·c）.答案:C2.已知a、b、c為任意非零向量，若a=b，則下列命題：①|(zhì)a｜=|b|;②a2=b2；③a2=a·b；④c·(a—b）=0。正確的有()A。①③B.①②④C。②③④D.①②③④解析：a=b｜a|=|b|;a2=b2；a2=a·b；c·（a—b）=0，而四個(gè)命題均不能推出a=b成立。答案：D3.對(duì)任意向量a、b,｜a||b|與a·b的大小關(guān)系是()A.｜a｜|b|＜a·bB。|a｜|b｜＞a·bC.|a｜｜b｜≥a·bD.兩者大小不定解：|a｜｜b｜-a·b=｜a｜｜b｜—|a｜｜b｜c(diǎn)osθ=｜a|｜b｜（1-cosθ）。∵θ∈［0，π］，∴—1≤cosθ≤1，1—cosθ∈［0,2］。又|a｜≥0，|b｜≥0,1—cosθ≥0，∴|a|｜b｜≥a·b.答案:C4。設(shè)a、b、c是任意的非零向量,且相互不共線，則①（a·b)c—（c·a）b=0；②a2=|a|2;③(b·c)a-（c·a）b不與c垂直；④（3a+2b）·(3a—2b）=9｜a|2-4|b｜是真命題的有（)A。①②B.②③C.③④D.②④解析:命題①中,a·b的運(yùn)算結(jié)果為數(shù)，故（a·b）c為一向量，同理(a·c）b也是一向量,向量之差為向量.故①不正確。由數(shù)量積的性質(zhì)知②正確.又［（b·c）a—(c·a）b］·c=（b·c)（a·c)-(c·a)（b·c）=0，而（a·c）b與(b·c）a不可能同時(shí)為零向量，故命題③不正確，④正確。答案：D5.下列命題：①△ABC為銳角三角形，則必有·＞0；②若a·b=0，則a⊥b；③若a·b=a·c，且a≠0,則b=c；④｜a·b｜=|a||b｜a∥b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（)A。1B。2C。3解析：命題①：·=｜||｜·cos（π—∠ABC）＜0，不正確。命題②：當(dāng)a、b為0時(shí)，a·b=0a⊥b命題③：a·b=a·c，即｜a||b|·cosθ1=|a||b|·cosθ2,又a≠0，∴｜b|cosθ1=｜c(diǎn)｜c(diǎn)osθ2不一定有b=c。故不正確。命題④：｜a·b|=||a||b|cosθ|=|a|·|b｜·｜c(diǎn)osθ|=|a｜|b｜｜c(diǎn)osθ｜=1θ=0或π，故a∥b.另外當(dāng)a、b中有一個(gè)為0時(shí)，也有a∥b.故正確.答案：A6。已知e為單位向量，|a|=4，a與e的夾角為，則a在e方向上的投影為________________。解析：投影為=｜a｜·cos=-2。答案：-27。向量α、β滿足|α+β|=|α—β｜，則α與β的夾角是_________________.解析:∵|α+β|=|α-β|，∴|α+β|2=｜α—β|2，即α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2.∴α·β=0.又α、β均為非零向量,故α與β的夾角為90°.答案：90°8。已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互間的夾角均為120°.（1）求證：（a-b）⊥c；(2）若｜ka+b+c|=1（k∈R），求k的值。（1)證明：∵（a—b）·c=a·c-b·c=｜a|｜c(diǎn)|·cos120°—｜b｜|c｜c(diǎn)os120°,又｜a｜=|b|=｜c(diǎn)｜，∴（a—b)·c=0，即(a-b）⊥c。（2）解：由|ka+b+c|=1，得｜ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1，∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c又a·b=a·c=b·c=,∴k2—2k=0.解得k=2或0.9。已知｜a｜=3,|b|=2,a與b的夾角為6