離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 離散型隨機(jī)變量的方差 教學(xué)設(shè)計(jì)

第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)內(nèi)容】本節(jié)主要內(nèi)容是離散型隨機(jī)變量方差的意義、定義（計(jì)算公式）、性質(zhì)及應(yīng)用。教科書(shū)以比較兩名同學(xué)的射擊水平為問(wèn)題情景，以比較兩名同學(xué)射擊水平的穩(wěn)定性為任務(wù)，類(lèi)比一組數(shù)據(jù)方差的定義，以隨機(jī)變量均值的定義，引入隨機(jī)變量方差的定義。進(jìn)而探究隨機(jī)變量方差的性質(zhì)。本節(jié)例題側(cè)重隨機(jī)變量方差在實(shí)際決策中的應(yīng)用?！窘虒W(xué)目標(biāo)】（一）課程標(biāo)準(zhǔn)解讀1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；（二）核心素養(yǎng)解讀1.數(shù)學(xué)抽象：方差的理解2.邏輯推理：方差概念的得出3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算4.數(shù)學(xué)建模：方差的實(shí)際應(yīng)用【教學(xué)重難點(diǎn)】1.教學(xué)重點(diǎn)理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念，掌握方差的性質(zhì)。2.教學(xué)難點(diǎn)利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問(wèn)題?！窘虒W(xué)過(guò)程】復(fù)習(xí)鞏固：離散型隨機(jī)變量的均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：……則稱(chēng)為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望.均值的性質(zhì)一、創(chuàng)設(shè)情境、問(wèn)題引入問(wèn)題一：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03提問(wèn)：如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平？均值可以嗎？隨機(jī)變量均值如何計(jì)算？回答：可以用均值評(píng)價(jià)兩名學(xué)生的射擊水平。師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)計(jì)算可得，.提問(wèn)：因?yàn)閮蓚€(gè)均值相等，所以根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.那么如何評(píng)價(jià)呢？回答：評(píng)價(jià)射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.提問(wèn)：如何比較兩名同學(xué)射擊水平的穩(wěn)定性呢？師生活動(dòng)：為了能直觀(guān)分析甲乙兩名擊中環(huán)數(shù)的離散程度，下面我們分別作出X和Y的概率分布圖.提問(wèn)：比較兩個(gè)圖形，哪位同學(xué)更穩(wěn)定？回答：乙同學(xué)的射擊成績(jī)更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定。提問(wèn)：不做概率分布圖，有沒(méi)有一個(gè)計(jì)算公式可以計(jì)算出離散程度呢？來(lái)看問(wèn)題二。設(shè)計(jì)意圖：由情景引入，提出問(wèn)題，學(xué)生用之前學(xué)習(xí)的均值解決不了問(wèn)題，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲望。為后面概念的引入做出鋪墊。二、探索新知、形成概念問(wèn)題二：怎樣定量刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?提問(wèn)：樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，樣本方差計(jì)算公式是怎樣的？回答：教師：它是通過(guò)計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來(lái)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于多個(gè)相同數(shù)據(jù)的樣本方差又該如何計(jì)算？提問(wèn)：樣本個(gè)，個(gè)，……，個(gè)，（）則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？回答：利用方差公式可得：提問(wèn)：當(dāng)樣本m足夠大時(shí)，頻率穩(wěn)定于什么？回答：頻率穩(wěn)定于概率，前面的頻率可以寫(xiě)出概率提問(wèn)：隨機(jī)變量的離散程度，能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來(lái)度量呢？師生活動(dòng)：設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如表所示.……（1）計(jì)算隨機(jī)變量所有可能取值與的偏差，=1，2，3，……，n。（2）為了避免正、負(fù)偏差相互抵消，取偏差的平方，，…，。（3）因?yàn)槿∶總€(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類(lèi)比樣本方差的計(jì)算，以及加權(quán)平均定義離散性隨機(jī)變量均值，引導(dǎo)學(xué)生一步步推導(dǎo)出離散型隨機(jī)變量的方差，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，培養(yǎng)邏輯推理能力。方差的定義我們稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，有時(shí)也記為，并稱(chēng)為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記為.提問(wèn)：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度，怎樣判斷離散程度呢？回答：方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.教師：現(xiàn)在，可以用兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫(huà)他們射擊成績(jī)的穩(wěn)定性，請(qǐng)同學(xué)們算一算問(wèn)題一，哪位同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定？回答：；.因?yàn)椋ǖ葍r(jià)地，），所以隨機(jī)變量Y的取值相對(duì)更集中，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定。設(shè)計(jì)意圖：方差可以刻畫(huà)隨機(jī)變量取值與均值的偏離程度，可以判斷穩(wěn)定性，用方差這個(gè)數(shù)字特征的計(jì)算公式，可以定量刻畫(huà)情境中的問(wèn)題一，給決策問(wèn)題提供思路。三、理解概念、探究性質(zhì)教師：我們之前樣本方差學(xué)過(guò)將樣本方差的定義公式展開(kāi)后可變形為提問(wèn)：那么離散型隨機(jī)變量是否也有類(lèi)似的公式呢？師生活動(dòng)：因?yàn)榉讲畹挠?jì)算性質(zhì)教師：需要注意和是兩個(gè)不同的量，一般的>設(shè)計(jì)意圖：對(duì)期望與方差的關(guān)系進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，簡(jiǎn)化方差的計(jì)算，提升運(yùn)算能力。問(wèn)題三：離散型隨機(jī)變量加上一個(gè)常數(shù)，方差會(huì)有怎樣的變化？離散型隨機(jī)變量乘以一個(gè)常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們與均值的性質(zhì)有什么不同？師生活動(dòng)：類(lèi)比均值的性質(zhì)，學(xué)生可以通過(guò)猜想，得出自己的結(jié)論。讓學(xué)生嘗試驗(yàn)證自己的結(jié)論。3、方差的性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比均值的運(yùn)算性質(zhì)，提出方差的運(yùn)算性質(zhì)，學(xué)生體驗(yàn)猜想——驗(yàn)證的方法探究問(wèn)題。四、結(jié)合典例、應(yīng)用遷移例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.解1：隨機(jī)變量的分布列為，.解2：隨機(jī)變量的分布列為，.因?yàn)椋?，所?設(shè)計(jì)意圖：離散型隨機(jī)變量方差計(jì)算公式及計(jì)算性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算能力。例2投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示.表1股票A收益的分布列收益X/元02概率0.10.30.6表2股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？解：（1）股票A和股票B投資收益的期望分別為，.因?yàn)?，所以投資股票A的期望收益較大.（2）股票A和股票B投資收益的方差分別為，.因?yàn)楹拖嗖畈淮螅?，所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高.設(shè)計(jì)意圖：均值和方差在決策問(wèn)題中的應(yīng)用，使學(xué)生理解實(shí)際問(wèn)題中均值與方差的意義。讓學(xué)生明白不同的實(shí)際問(wèn)題方差有不同的解釋?zhuān)袝r(shí)是穩(wěn)定性，有時(shí)是加工的精度，有時(shí)是投資風(fēng)險(xiǎn)高低等。五、歸納知識(shí)、總結(jié)提升教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課內(nèi)容，歸納知識(shí)點(diǎn)。離散型隨機(jī)變量的方差的定義是什么？2、離散型隨機(jī)變量的方差的簡(jiǎn)便計(jì)算性質(zhì)公式是什么？3、離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)又是怎樣的呢？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)梳理知識(shí)點(diǎn)，總結(jié)方法。六、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用、布置作業(yè)1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).2.甲、乙兩個(gè)班級(jí)同學(xué)分別目測(cè)數(shù)學(xué)教科書(shū)的長(zhǎng)度，其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:甲班的目測(cè)誤差分布列乙班的目測(cè)誤差分布列X-2-1012Y-2-1012P0.10.20.40.20.1P0.050.150.60.150.05先直觀(guān)判斷X和Y的分布哪一個(gè)離散程度大，再分別計(jì)算X和Y的方差，驗(yàn)證你的判斷.設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課重難點(diǎn)是方差的應(yīng)用，作業(yè)再次強(qiáng)調(diào)方差的計(jì)算及應(yīng)用，特別是方差在決策問(wèn)題中的應(yīng)用，使學(xué)生進(jìn)一步掌握方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。解答：1、解：或2、解：直觀(guān)的