雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1課時(shí)）教案

第三章圓錐曲線的方程3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1課時(shí)）【教學(xué)內(nèi)容】雙曲線的定義、幾何圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.類(lèi)比橢圓了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程,提升邏輯推導(dǎo)素養(yǎng)；

2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；

3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯及運(yùn)算素養(yǎng)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義、幾何圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用【教學(xué)過(guò)程】一、溫故而知新——雙曲線的定義1．回顧橢圓的概念把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)_的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.2．問(wèn)題的提出 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？

下面我們先用信息技術(shù)探究一下：

在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn).在平面內(nèi)，取定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.如圖：

（1）隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，觀察兩圓交點(diǎn)M滿(mǎn)足什么幾何條件？其軌跡是什么形狀？答：|MF1|+|MF2|=|AB|，橢圓（2）兩圓一定相交嗎？當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，兩圓相交？答:如果|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點(diǎn)M的軌跡是橢圓；如果|F1F2|＞|AB|，兩圓不相交，不存在交點(diǎn)軌跡.改變條件：

在|AB|<|F1F2|的條件下，讓P在線段AB外運(yùn)動(dòng),如圖：

（1）隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，觀察兩圓交點(diǎn)M滿(mǎn)足什么幾何條件？其軌跡是什么形狀？答：||MF1|-|MF2||=|AB|，雙曲線（2）同樣地，兩圓一定相交嗎？當(dāng)什么條件下才能相交？答：如果|F1F2|>|AB|，那么兩圓相交，其交點(diǎn)M的軌跡是雙曲線；如果|F1F2|<|AB|，兩圓不相交，不存在交點(diǎn)軌跡.3.雙曲線定義

一般地，把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的_差的絕對(duì)值_等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做_雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的_焦點(diǎn)_，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的_焦距.

請(qǐng)回答以下問(wèn)題：

（1）已知已知|F1F2|=6,,M點(diǎn)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為5,則M點(diǎn)的軌跡是什么?雙曲線

（2）把絕對(duì)值改為6呢？?jī)蓷l射線

（3）把絕對(duì)值改為10呢？不存在

（4）把絕對(duì)值改為0呢？F1F2的中垂線感悟:

(1)若||MF1|-|MF2||<|F1F2|,M點(diǎn)軌跡為雙曲線.

(2)若||MF1|-|MF2||=|F1F2|,M點(diǎn)軌跡為兩條射線.

(3)若||MF1|-|MF2||>|F1F2|,M點(diǎn)軌跡不存在.

(4)若||MF1|-|MF2||=0,M點(diǎn)軌跡為F1F2的中垂線.

問(wèn)：雙曲線定義中去掉“絕對(duì)值”字眼可以嗎？答：不可以！因?yàn)殡p曲線有兩支。當(dāng)|MF1|-|MF2|>0,就是右支，當(dāng)|MF1|-|MF2|<0,就是左支。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程類(lèi)比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？提示：觀察我們畫(huà)出的雙曲線，發(fā)現(xiàn)它也具有對(duì)稱(chēng)性，而且直線F1F2是它的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，焦距為2c，c>0.設(shè)M(x，y)是雙曲線上一點(diǎn)，則

||MF1|－|MF2||＝2a(a為大于0的常數(shù),a<c)，

即|MF1|－|MF2|＝±2a,(x+c)得x2由雙曲線的定義知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得x2a2?y所以，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2a2?y2b2.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 類(lèi)比焦點(diǎn)在y軸上的橢圓方程，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

如圖，雙曲線的焦距為2c，焦點(diǎn)分別是F1(0，-c)，F(xiàn)2(0,c)，a，b的意義同上得雙曲線方程為：y2a2?x2b2＝1(焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2＝c2－a2焦點(diǎn)位置的判定看x2,y2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),正在哪,焦就在哪三、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法例1已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P與F1,F2的距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)

由2c=10，2a=6，得c=5,a=3，因此b對(duì)應(yīng)練習(xí)根據(jù)下列條件，分別求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.焦點(diǎn)為（0，-6),(0,6)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-5）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,154),Q(-16解：（1）法一由定義得|(2-0)2+(-5-6)2-2?02+?5+62|=2a(a>0)

得出a=25,c=6,則b2=62?(25)2=16

又因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y220?x216＝1

法二依題意焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求的雙曲線方程為y2a2?x2b因?yàn)閏=6,焦點(diǎn)在y軸。所以設(shè)所求的雙曲線方程為：y2∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－5)，∴25λ∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2（2）法一若焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)雙曲線的方程為x2a由于點(diǎn)P(3,154),Q(-163所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(225,16b2)＝1，,\f(256,9a2)－\f(25,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝－16，,b2＝－9))(舍去).若焦點(diǎn)在y軸上，則設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b2＝1(a>0，b>0)

將P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(225,16a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(256,9b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.法二設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵P，Q兩點(diǎn)在雙曲線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋\f(225,16)n＝1，,\f(256,9)m＋25n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,16)，,n＝\f(1,9).))∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.小結(jié)2：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫(xiě)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可．提醒：求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，注意先定焦、再定量特別地：當(dāng)雙曲線過(guò)兩定點(diǎn)，可設(shè)其方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，通過(guò)解方程組即可確定m，n，避免了討論，實(shí)為一種好方法.四、運(yùn)用雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題例2已知A，B兩地相距800m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程。分析：先根據(jù)題意判斷軌跡的形狀。由聲速及A,B兩處聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可知A，B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差為定值，所以爆炸點(diǎn)在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上。因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn),所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上。解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，以AB為x軸，AB的中垂線為y軸。設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)為P，其坐標(biāo)為（x,y),則|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340,

又|AB|=800,∴2c=800，c=400,b2=c2-a2=44400∵|PA|-|PB|=680>0,∴點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，

∴炮彈爆炸點(diǎn)P的軌跡方程為x2115600?y2小結(jié)3：利用雙曲線解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.

(2)求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題(注意實(shí)際意義).

探究：如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們斜率之積是49，試求點(diǎn)M的軌跡方程，并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與3.1例3比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

解：設(shè)點(diǎn)M（x,y),依題意：

kAM=yx+5(x≠?5),kBM=yx?5(x≠5).

由已知，有yx+5×yx?5=49（x≠±5),

化簡(jiǎn)得：x所以點(diǎn)M的軌跡是除去A、B兩點(diǎn)的雙曲線

與3.1例3比較，你有何發(fā)現(xiàn)呢：不難發(fā)現(xiàn)：兩條直線的斜率之積如果是一個(gè)常數(shù)m，當(dāng)-1<m<0，則兩直線交點(diǎn)M的軌跡是橢圓，其中m=-b2a2五、課堂總結(jié)1．雙曲線與橢圓的比較曲線橢圓雙曲線定義|PF1|＋|PF2|＝2a(|F1F2|＝2c,2a＞2c)||PF1|－|PF2||＝2a(|F1F2|＝2c,2a＜2c)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形特征封閉的連續(xù)曲線分兩支，不封閉，不連續(xù)確定a，b或焦點(diǎn)位置的方法以大小分a，b，大在哪，焦在哪(如eq\f(x2,4)＋EQ\f(y2,9)＝1中，則,a2＝9，b2＝4)以正負(fù)分a，b，正在哪，焦在哪(如eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1中，則a2＝9，b2＝4)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2(a最大)c2＝a2＋b2(c最大)2.用待定系數(shù)法求橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要先定焦再定量。

3.注意根據(jù)題目的實(shí)際情況取舍雙曲線的部分點(diǎn)或線。

六、課后作業(yè)完成配套的目標(biāo)檢測(cè)題七、答疑課程1.計(jì)算難點(diǎn)1：推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)（x+c)2+y2-x-c2+y2=±2a如何化簡(jiǎn)得到②式2.計(jì)算難點(diǎn)2：對(duì)應(yīng)練習(xí)根據(jù)下列條件，分別求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.焦點(diǎn)為（0，-6),(0,6)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-5）法二依題意焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求的雙曲線方程為y