2023-2024學年九年級數(shù)學下冊?？键c微提分精練（蘇科版）期末難點特訓（二）與圓綜合有關的壓軸題含解析

2023-2024學年九年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練期末難點特訓

二（與圓綜合有關的壓軸題）

1.與兩個圓都相切的直線叫做這兩個圓的公切線.如果兩個圓在公切線的同側，則這條公切線叫

做這兩個圓的外公切線；如果兩個圓在公切線的異側，則這條公切線叫做這兩個圓的內公切線.

⑴如圖①，回P、但0只有一個公共點，0P與團。的公切線的條數(shù)是.

（2）如圖②，4和8分別是0P和團。上的點，PA^QB.連接48并反向延長，交射線00于點C,CD

與回尸相切，切點為O.求證：CD是0P與0。的外公切線.

⑶如圖③，加在團0外，用直尺和圓規(guī)作圖：（在①和②中住造二期完成）

①作同尸和團。的一條外公切線；

②作E1P和田。的一條內公切線.（保留作圖痕跡，不寫作法.）

⑷如圖④，團P在國。外，直線48是兩圓的外公切線，切點分別為力、B,直線C0是兩圓的內公切

線，切點分別為C、D.已知（3尸、團。的半徑分別為1和2,若線段48、CO的長分別為a和6,M

毯與出〃與b之間的相等關系.

2.【數(shù)學認識】

數(shù)學是研究數(shù)量關系的一門學科，在初中幾何學習的歷程中，常常把角與角的數(shù)量關系轉化為邊與

邊的數(shù)量關系，把邊與邊的數(shù)量關系轉化為角與角的數(shù)量關系.

【構造模型】

（1）如圖①，已知出18C,在直線5。上用直尺與圓規(guī)作點O,使得西。5=3mC8.

（不寫作法，保留作圖痕跡）

【應用模型】

已知出18c是田。的內接三角形，團。的半徑為八出18C的周長為c.

（2）如圖②，若廠=5,48=8,求c的取值范圍.

（3）如圖③，已知線段MN,力8是口。一條定長的弦，用直尺與圓規(guī)作點C,使得。=MM（不寫

作法，保留作圖痕跡）

3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點4與點8的坐標分別是（1,0）,（7,0）.

⑴對于坐標平面內的一點尸，給出如下定義：如果出1尸4=45。，那么稱點尸為線段44的“完美點”.

①設4、B、P三點所在圓的圓心為C,則點。的坐標是,團。的半徑是；

②y軸正半軸上是否有線段48的"完美點"？如果有，求出“完美點〃的坐標；如果沒有，請說明理

由；

（2）若點尸在y軸負半軸上運動，則當EL4P8的度數(shù)最大時，點尸的坐標為.

4.數(shù)學概念

若點尸在A4BC的內部，且NAP8、N3PC和NC/X中有兩個角相等，則稱P是AABC的”等角點〃，

特別地，若這三個角都相等，則稱P是A48C的“強等角點〃.

理解概念

（1）若點?是AA8C的等角點，且NAPB=100,則尸C的度數(shù)是。.

（2）已知點。在A4BC的外部，且與點A在的異側，并滿足NBDC+/84Cv180,作AfiCD的

外接圓。，連接40,交圓。于點P.當兇8的邊滿足下面的條件時，求證：P是AABC的等角點.

（要求：只選擇其中一道題進行證明！）

①如圖①，DB=DC

②如圖②，BC=BD

①②③

深入思考

（3）如圖③，在AABC中，/A、/B、NC均小于120,用直尺和圓規(guī)作它的強等角點Q.（不

寫作法，保留作圖痕跡）

（4）下列關于“等角點”、“強等角點〃的說法：

①直角三角形的內心是它的等角點；

②等腰三角形的內心和外心都是它的等角點；

③正三角形的中心是它的強等角點；

④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；

⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的

有.（填序號）

5.在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標，如圖，O（0,0）、B（6,0）、C（6,8）,由三個

觀測點確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護區(qū).

（1）某時刻海面上出現(xiàn)一漁船4在觀測點O測得力位于北偏東45。，同時在觀測點8測得力位

于北偏東30。，求觀測點5到4船的距離.（6。1.7）

（2）若漁船力由（1）中位置向正西方向航行，是否會進入海洋生物保護區(qū)？通過計算回答.

北匕”

6'...46,0廠

6.如圖，4、區(qū)兩點的坐標分別為（。，4）,（0,2）,點尸為x軸正半軸上一動點.過點/作/尸的

垂線，過點8作8P的垂線，兩垂線交于點。，連接尸。，〃為線段尸。的中點.

（1）求證：4口5口尸匚。四點在以“為圓心的同一個圓上；

（2）當團M與x軸相切時，求點。的坐標；

（3）當點P從點（1,0）運動到點（2,0）時，請直接寫出線段QW掃過圖形的面積.

7.如圖1,在平面直角坐標系中，有一矩形ABCD,其三個頂點的坐標分別為A(2,0),B(8,0),

C(8,3),將直線/：?K=TX-3以每秒3個單位的速度向右運動，設運動時間為t秒.

(1)當弋=時，直線/經過點A(直接填寫答案)；

(2)設直線/掃過矩形ABCD的面積為S,試求S>0時S與t的函數(shù)關系式；

(3)在第一象限有一半徑為3、且與兩坐標軸恰好都相切的回M,在直線/出發(fā)的同時，回M以每秒

2個單位的速度向右運動，如圖2,則當t為何值時，直線/與回M相切？

8.定義：如圖①，0。的半徑為r,若點P，在射線OP上，且。尸。。=產，則稱點P，是點P關于

。的“反演點”.

(1)如圖①，設射線OP與OO交于點A,若點產是點P關于OO的“反演點”，且OP=尸A,求證：

點P為線段OP的一個黃金分割點；

(2)如圖②，若點P是點P關于OO的“反演點〃，過點P作PB_LO尸，交。。于點B,連接PB,

求證：即為1)0的切線；

(3)如圖③，在RfACDE中,ZE=90°,CE=6,DE=8,以CE為直徑作QO,若點P為8邊上

一動點，點P是點P關于O的“反演點"，則在點P運動的過程中，線段OP'長度的取值范圍是

9.已知：BD為00的直徑，。為圓心，點A為圓上一點，過點B作團0的切線交DA的延長線于點F,

點C為(30上一點，且AB=AC,連接BC交AD于點E,連接AC.

⑴如圖1,求證：團ABF=0ABC；

⑵如圖2,點H為團。內部一點，連接。H,CH若團。HC=(3HCA=9(r時，求證：CH=JDA；

(3)在⑵的條件下,若0H=6,回。的半徑為10,求CE的長.

3

10.如圖1,直線I：y=-^x+b與X軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,點C是線段0A上一動點

(0<AC當.以點A為圓心,

AC長為半徑作A交x軸于另一點D,交線段AB于點E,連結OE

圖1

(1)求直線I的函數(shù)表達式和tan/BAO的值;

(2)如圖2,連結CE,當CE=EF時,

①求證：OCE0..OEA；

②求點E的坐標;

⑶當點C在線段0A上運動時，求OE-EF的最大值.

11.如圖，已知Rta48c的直角邊ZC與RtSM廳的直角邊。產在同一條直線上，且ZC=60cm,8C=45cm,

DF=6cm,EF=8cm.現(xiàn)將點C與點尸重合，再以4cm/s的速度沿

C4方向移動團OEA同時，點尸從點力出發(fā)，以5cm/s的速度沿方向移動.設移動時間為/(5),

以點尸為圓心，3Z（cm）長為半徑的團戶與直線48相交于點M,N,當點廠與點力重合時，BDEF

與點P同時停止移動，在移動過程中：

（1）連接ME,當時，t=s；

（2）連接NF,當X"平分DE時，求t的值；

（3）是否存在（3?與RtBOE/的兩條直角邊所在的直線同時相切的時刻？若存在，求出f的值；若

不存在，說明理由.

12.如圖，團M與菱形ABCD在平面直角坐標系中，點M的坐標為（?3,1）,點A的坐標為（2,

0）,點B的坐標為（1,-6），點D在X軸上，且點D在點A的右側.

（1）求菱形ABCD的周長；

（2）若（3M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移，菱形ABCD沿x軸向左以每秒3個單位長

度的速度平移，設菱形移動的時間為t（秒），當團M與AD相切，且切點為AD的中點時，連接AC,

求t的值及團MAC的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，當點M與AC所在的直線的距離為1時，求t的值.

13.如圖，在平面直角坐標系xoy中，點B的坐標為（0,2）,點。在x軸的正半軸上，NODB=30°,

0E為I3BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y=a^+*x+c與x軸相交于A、尸兩點（A在產的

左側）.

(1)求拋物線的解析式；

(2)等邊(3OMV的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；

(3)點尸為OAB。內的一個動點，設帆請直接寫出胴的最小值，以及俄取得最小

值時，線段4P的長.

14.如圖1拋物線產-/+岳r+c與x軸交于點力(-1,0)、B(3,0),與歹軸交于點C頂點為。，對

稱軸交x軸于點。，過。、。兩點作直線CD

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

⑵如圖2,連接C。、CB,點尸是拋物線上一點，當□OCP=nBCQ時，求點尸的坐標；

⑶若點M是拋物線的對稱軸上的一點，以點M為圓心的圓經過力、8兩點，且與直線CQ相切，求

點M的坐標.

15.如圖甲，在平面直角坐標系中，直線y=-x+8分別交x軸、y軸于點A、B,團0的半徑為2嚴個

單位長度.點P為直線y=-x+8上的動點，過點P作(3。的切線PC、PD,切點分別為C、D,且P03PD.

(2)求點P的坐標；

(3)如圖乙，若直線y=-x+b將(30的圓周分成兩段弧長之比為1：3,請直接寫出b的值

(4)向右移動團0(圓心。始終保持在x軸上)，試求出當團0與直線y=-x+8有交點時圓心。的橫

坐標m的取值范圍.

16.如圖，在直角坐標系中，拋物線)，=加+從-2與x軸交于點4(-3,0)、8(1,0),與y軸交于點

c.

（2）在拋物線上是否存在點。，使得△力8。的面積等于△48C的面積的（倍？若存在，求出點。的

坐標：若不存在，請說明理由.

（3）若點￡是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點，點尸是4E的中點，請直接寫出線段。戶的

最大值和最小值.

17.如圖1,C、。為半圓。上的兩點，且點。是弧8C的中點.連接ZC并延長，與3。的延長線

相交于點E.

圖3

⑵連接4。與OC、8c分別交于點尸、H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CH=CE；

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求4c的值.

18.如圖1,已知矩形/3CO中AA=26,AD=3,點E為射線4c上一點，連接OE,以。E為直徑

作團0

（1）如圖2,當8￡=1時，求證：48是回。的切線

（2）如圖3,當點石為8c的中點時，連接力上交回。于點尸，連接W,求證：CF二CD

（3）當點E在射線5C上運動時，整個運動過程中C尸長度是否存在最小值？若存在請直接寫出

CP長度的最小值；若不存在，請說明理由.

期末難點特訓二（與圓綜合有關的壓軸題）

1.與兩個圓都相切的直線叫做這兩個圓的公切線.如果兩個圓在公切線的同側，則這條公切線叫

做這兩個圓的外公切線；如果兩個圓在公切線的異側，則這條公切線叫做這兩個圓的內公切線.

⑴如圖①，回尸、回0只有一個公共點，臚與團。的公切線的條數(shù)是.

（2）如圖②，4和8分別是臚和團。上的點，PA^QB.連接48并反向延長，交射線2P于點C,CD

與團尸相切.切點為。.求證：。是HP與130的外公切線.

⑶如圖③，即在回。外，用直尺和圓規(guī)作圖：（在①和②中住造二尊完成）

①作團尸和團。的一條外公切線；

②作和團。的一條內公切線.（保留作圖痕跡，不寫作法.）

⑷如圖④，國尸在田。外，直線力8是兩圓的外公切線，切點分別為力、B,直線8是兩圓的內公切

線，切點分別為C、D.已知團尸、團。的半徑分別為1和2,若線段48、CO的長分別為。和從耳

毯寫出a與6之間的相等關系.

【答案】（1）3；

（2）證明見詳解；

⑶見詳解；

(4)a2—b2=8

【分析】（1）理解題意，根據題意找到復合的圓的切線即可；

（2）連接尸過點。作。物8,應用圓的性質，證明0DCR30EC。即可求證；

（3）根據題意作圖即可；

（4）連接力P、CP、PE、DQ、EQ、BQ,根據切線的性質證明MAEwAPCE,XQDEM&QBE,進

而證APCEAQDE?即可求解；

⑴

⑵

如圖①，連接尸。，過點。作。比1CZ）,垂足為E.

①

加CRWC。.

APCP

^BQ=CQ-

團CO與團尸相切，切點為。,

^CD^DP.

回。

團［3。0。=團?！?。=90°.

WP^EQ.

WDCPmECQ.

DPCP

^~EQ='CQ'

DPAP

0—=——.

EQBQ

BAP=DP,

BEQ=BQ,

團CO與回。相切，即CO是斷與回。的外公切線.

⑶

如圖②，直線/即為兩圓的外公切線；

如圖③，直線用即為兩圓的內公切線.

(4)

如圖，連接力尸、CP、PE、DQ、EQ、BQ

則有Z.PAE=NPCE=ZQDE=4QBE=90°

易證APA石主△尸CE,AQDE^kQBE

^^AEP=ACEP,/DEQ=/BEQ

0/AEP+NCEP+NDEQ+/BEQ=180°

^/PEQ=90°

0\PCEXQDE

CEQD

0——

PCDE

團AE=C￡DE=BE

0AB—DE=CE=a,CD+DE=CE=b

l3CE=；(a+b)

CEOD5("+")

回吃二絲2---------2

PCDE1a-^a+b)

0fr—62=8.

【點睛】本題主要考查了圓的性質、三角形的全等、三角形的相似，此題以圓為基礎，引申出以圓

的性質相關的新概念，解本題的關鍵在于掌握圓的相關知識，結合三角形的全等、相似進行求解.

2.【數(shù)學認識】

數(shù)學是研究數(shù)量關系的一門學科，在初中幾何學習的歷程中，常常把角與角的數(shù)量關系轉化為邊與

邊的數(shù)量關系，把邊與邊的數(shù)量關系轉化為角與角的數(shù)量關系.

【構造模型】

（1）如圖①，已知出18C,在直線5。上用直尺與圓規(guī)作點。，使得

（不寫作法，保留作圖痕跡）

【應用模型】

已知（3J8C是團。的內接三角形，團。的半徑為入的8c的周長為c.

（2）如圖②，若r=5,AB=8,求c的取值范圍.

②

（3）如圖③，已知線段MV,48是（30一條定長的弦，用直尺與圓規(guī)作點C,使得c=MN.（不寫

作法，保留作圖痕跡）

【答案】（1）見解析；（2）16＜把8+86；（3）見解析

【分析】（1）可找到兩個這樣的點：①當點。在5。的延長線上時：以點C為圓心，4C長為半徑，

交8C的延長線于點O,連接4。，即為所求；②當點。在C8的延長線上時：以點/為圓心，AD

長為半徑，交CB的延長線于點A，連接AR,即為所求；兩種情況均可利用等腰三角形的性質及

三角形外角的性質證明；

（2）考慮最極端的情況：當C與4或8重合時，貝|JC4+C8=AB=8,可得此時c、=16,根據題意

可得。＞16,當點C為優(yōu)弧力片的中點時，連接4C并延長至4使得m=利用等腰三角形的

性質及三角形外角性質可得點。的運動軌跡為一個圓，點C為優(yōu)弧43的中點時，點C即為

外接圓的圓心，力。長為半徑，連接C0并延長交于點E,連接力0,根據垂徑定理及勾股定理

可得AC=4VS,當40為直徑時，。最大即可得；

（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作力8的垂直平分線交回0于點P；第2步：以點尸

為圓心，刃為半徑作團P；第3步：在上截取48的長度；第4步：以/為圓心，MN減去AB

的長為半徑畫弧交臚于點民第5步：連接4E交團。于點G即為所求；方法二：第1步：在圓上

取點O，連接力。、BD,延長力。使得即=80；第2步：作▲他￡：的外接圓；第3步：在MN上

截取力B的長度；第4步：以點力為圓心，減去43的長為半徑畫弧交加8E的外接圓于點尸：

第5步：連接4尸交團。于點C,即為所求.

【詳解】（1）如圖所示：①當點。在BC的延長線上時：以點C為圓心，長為半徑，交8c的

延長線于點O,連接力。，即為所求；②當點。在的延長線上時：以點4為圓心，力。長為半

徑，交C8的延長線于點連接AR,即為所求；

證明：①?.?AC=CO,

.-.ZCm=ZCAD,

.?.ZCDA=-ZfiC4：

2

同理可證明ZCD,A=gZBCA；

(2)當C與4或8重合時，則C4+C8=A8=8,

:.c=CA+CB+AB=16,

v2ABC,

如圖，當點C為優(yōu)弧力〃的中點時，連接4C并延長至。，使得CO=C8,

/.ZD=-Z4CT,

2

團同弧所對的圓周角相等，

???ZAC3為定角，

團NO為定角，

團點。的運動軌跡為一個圓，當點C為優(yōu)弧48的中點時，點。即為外接圓的圓心，力C長為

半徑，連接CO并延長交48于點￡連接/O,

由垂徑定理可得：CE垂直平分48,

HAE=-AS=4,

2

在RfaAO七中，

OE=>JAO2-AE2=3?

.?立=5+3=8,

;AC=ylAE2+CE2=742+82=4>/5，

的1。為直徑時最長，

回AC+8C=AO=8>5最長，

機48c的周長最長.

團c最長為AB+AC+BC=8+85

配的取值范圍為：16<。48+8后；

（3）方法一：

第1步：作的垂直平分線交00于點P；

第2步：以點尸為圓心，玄為半徑作團尸；

第3步：在A/N上截取48的長度；

第4步：以/為圓心，MN減去的長為半徑畫弧交回產于點￡；

第5步：連接4E交團。于點G即為所求；

方法二：

笫1步：在圓上取點。，連接力。、BD,延長使得ED=6￡>;

第2步：作二ABE的外接圓；

第3步：在MN上截取力6的長度；

第4步：以點力為圓心，MN減去43的長為半徑畫弧交出/8E的外接圓于點尸;

第5步：連接力產交團。于點C,即為所求.

【點睛】題目主要考查等腰三角形的性質及三角形外角的性質，勾股定理，垂徑定理，角的作法等,

理解題意，綜合運用各個知識點作圖是解題關鍵.

3.如圖，在平面直角坐標系》。），中，點力與點8的坐標分別是（1,0）,（7,0）.

⑴對于坐標平面內的一點P,給出如下定義：如果出1PB=45。，那么稱點夕為線段43的“完美點”.

①設4、B、P三點所在圓的圓心為G則點C的坐標是,國C的半徑是；

②y軸正半軸上是否有線段48的〃完美點"？如果有，求出“完美點〃的坐標；如果沒有，請說明理

由；

⑵若點P在y軸負半軸上運動，則當0JPB的度數(shù)最大時，點尸的坐標為.

【答案】（1）①（4,3）或C（4,-3）,3五，@（0,3+72）,（0,3-72）

⑵尸（0,-萬）

【分析】（1）①在x軸的上方，作以48為斜邊的等腰直角三角形的C8,易知4B,尸三點在團C

上，圓心。的坐標為（4,3）,半徑為3正，根據對稱性可知點C（4,-3）也滿足條件；②當圓心為C

（4,3）時，過點。作S期軸于。，則。（0,3）,8=4,根據（3C的半徑得（3C與y軸相交，設

交點為4,巴，此時4,6在V軸的正半軸上，連接C[、C￡、C4,則C[=CE=C4=r=3夜，得勺=應,

即可得：

（2）如果點P在y軸的負半軸上，設此時圓心為￡則E在第四象限，在y軸的負半軸上任取一點

M不與點P重合），連接MB,PA,PB,設M8交于此于點N,連接加，則曲（。8=曲'8,^ANB

是0A"N的外角，^ANBz^AMB,即a4PB過點E作￡7詛x軸于尸，連接￡4,EP,貝lj/尸=々

>45=3,OP=4,四邊形OPE尸是矩形，OP=EF,PE=OF=4,得EF=幣,則OP=J7,即可得.

⑴

①如圖1中,

在x軸的上方，作以為斜邊的等腰直角三角形出1C8,易知4B,尸三點在國C上,

圓心C的坐標為(4,3),半徑為30,

根據對稱性可知點C(4,-3)也滿足條件，

故答案是：(4,3)或C(4,-3),3五，

②y軸的正半軸上存在線段48的“等角點〃。

如圖2所示，當圓心為C(4,3)時，過點。作CO砂軸于0,則0(0,3),CD=4,

即]C的半徑r=3近>4,

酬。與y軸相交，

設交點為R,P”此時R,鳥在y軸的正半軸上,

連接飛、/、CA,則C[=CE=C4=r=3夜，

回。他軸，C￡>=4,CP、=30,

團Dg=朝=Jc產-CD，=7（3\/2）2-42=x/2,

回4（0,3+夜），6（0,3—立）；

當圓心為C（4,-3）時，點P在y軸的負半軸上，不符合題意;

故答案為：（0,3+72）,（0,3-夜）

⑵

當過點48的圓與歹軸負半軸相切于點尸時，的PB最大，理由如下:

如果點尸在y軸的負半軸上，設此時圓心為E,則E在第四象限，

如圖3所示，在y軸的負半軸上任取一點M（不與點尸重合），

連接M4,MB,PA,PB,設MB交于I2E于點M連接Mi,

回點P,點N在團E上，

回班尸

團財NB是13M4N的外角，

即的1尸8>創(chuàng)MB,

此時，過點E作成密軸于凡連接E4,EP,則力尸=g/8=3,。尸=4,

EOE與y軸相切于點P,則EP眇軸，

國四邊形OPEF是矩形，OP=EF,PE=OF=4,

即IE的半徑為4,即￡4=4,

國在R&E尸中，EE=VEA2-AF2=>/42-32=>

團。尸=",

即尸（0,-"）.

故答案為：P3,-幣）

【點睛】本題考查了圓與三角形，勾股定理，三角形的外角，矩形的性質，解題的關鍵是掌握這些

知識點.

4.數(shù)學概念

若點P在AABC的內部，且NAP8、NBPC和NCP4中有兩個角相等，則稱P是A4BC的"等角點〃，

特別地，若這三個角都相等，則稱P是&SC的“強等角點〃.

理解概念

（1）若點。是AA8C的等角點，且NAP8=IOO，則N3PC的度數(shù)是。.

（2）已知點。在A4BC的外部，且與點A在BC的異側，并滿足NBOC+NR4C<180,作的

外接圓0,連接4。，交圓。于點P.當A58的邊滿足下面的條件時，求證：P是A48C的等角點.

（要求：只選擇其中一道題進行證明?。?/p>

①如圖①，DB=DC

②如圖②，BC=BD

深入思考

（3）如圖③，在AABC中，NA、/B、NC均小于120,用直尺和圓規(guī)作它的強等角點Q.（不

寫作法，保留作圖痕跡）

（4）下列關于“等角點”、“強等角點”的說法：

①直角三角形的內心是它的等角點；

②等腰三角形的內心和外心都是它的等角點；

③正三角形的中心是它的強等角點；

④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；

⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的

有.（填序號）

【答案】（1）100、130或160;（2）選擇①或②，理由見解析；（3）見解析；（4）③⑤

【分析】（1）根據“等角點”的定義，分類討論即可；

（2）①根據在同圓中，弧和弦的關系和同弧所對的圓周角相等即可證明；

②弧和弦的關系和圓的內接四邊形的性質即可得出結論；

（3）根據垂直平分線的性質、等邊三角形的性質、弧和弦的關系和同弧所對的圓周角相等作圖即

可；

（4）根據“等角點〃和“強等角點〃的定義，逐一分析判斷即可.

【詳解】（1）（i）若時，

團/8PC=Z4P8=10（r

（ii）若=時，

B^BPC=ZCPA=-（3600-ZAPB）=130°；

2

（iii）若N4ra=NCR4時，

NBPC=360。-NATO-NCAA=160°,

綜上所述：=100\130?；?60。

故答案為：100、130或160.

（2）選擇①：

連接P&PC

國DB=DC

0DB=DC

04BPD=/CPD

0ZAPB+Z5PD=I8O，ZAPC+ZCTD=180

0Z4PB=ZAPC

團P是AABC的等角點.

選擇②

連接尸8,PC

?BC=BD

中BC=BD

中4BDC=/BPD

回四邊形P8DC是圓。的內接四邊形，

aZBDC+ZfiPC=180

0ZBPD+ZAPfi=18O

0ZBPC=ZAPB

I3P是AABC的等角點

(3)作BC的中垂線MN,以C為圓心，BC的長為半徑作弧交MN與點D,連接BD,

根據垂直平分線的性質和作圖方法可用：BD=CD=BC

00BCD為等邊三角形

a0BDC=0BCD=[?lDBC=6O<)

作CD的垂直平分線交MN于點0

以0為圓心0B為半徑作圓，交AD于點Q,圓。即為國BCD的外接圓

00BQC=18O0-0BDC=12O°

0BD=CD

00BQD=0CQD

00BQA=[?1CQA=7(360°一回BQC)=120°

(3G1BQA=0CQA=I3BQC

如圖③，點。即為所求.

(4)③⑤.

①如下圖所示，在RtABC中，0ABe=90。，O為0ABe的內心

團點。是團ABC的內心

00BAO=HCAO=0BAC=3O0,0ABO=0CBO=0ABC=45°,0ACO=0BCO=y0ACB=15°

00AOC=18O0-0CAO-0ACO=135°,0AOB=18O0-0BAO-0ABO=1O5%0BOC=18O0-0CBO-0BCO=12O°

顯然(3AOO0AOBwl3BOC,故①錯誤；

②對于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點的定義，故②錯誤；

③正三角形的每個中心角都為：360^3=120%滿足強等角點的定義，所以正三角形的中心是它的

強等角點，故③正確；

④由(3)可知，點Q為EABC的強等角，但Q不在BC的中垂線上，故QBHQC,故④錯誤；

⑤由(3)可知，當AA8C的三個內角都小于120時，AA8C必存在強等角點。.

如圖④，在三個內角都小于120的AABC內任取一點0,連接Q'A、QB、QC,將A0AC繞點A

逆時針旋轉60到AM4O,連接QM,

13由旋轉得QA=MA,QC=MD,/QAM=60

團MQM是等邊三角形.

回。M=QA

^QA+QB+QC=QM+QB+MD

回B、。是定點，

團當8、Q、M、。四點共線時，QM+QB+MD最小，即QA+QB+QC最小.

而當。為AABC的強等角點時，ZAQB=ZBQC=ZCQA=120=ZAMD,

此時便能保證B、Q'、M、。四點共線，進而使QA+Q8+QC最小.

故答案為：③⑤.

【點睛】此題考查的是新定義類問題、圓的基本性質、圓周角定理、圓的內接多邊形綜合大題，掌

握“等角點〃和“強等角點”的定義、圓的基本性質、圓周角定理、圓的內接多邊形中心角公式和分類

討論的數(shù)學思想是解決此題的關鍵.

5.在某張航海圖上，標明了三個觀測點的坐標，如圖，O(0,0)、B(6,0)、C(6,8),由三個

觀測點確定的圓形區(qū)域是海洋生物保護區(qū).

（1）某時刻海面上出現(xiàn)一漁船4在觀測點。測得/位于北偏東45。，同時在觀測點8測得力位

于北偏東30。，求觀測點5到4船的距離.（百。1.7）

（2）若漁船力由（1）中位置向正西方向航行，是否會進入海洋生物保護區(qū)？通過計算回答.

【答案】（1）16.2；（2）不會

【分析】（1）過點力作力軸于點0，依題意，得助力。=30。.在Rt△月8D中，設6。=”,則48=2

x,由勾股定理得：AD=J.?_必二小，根據圖形得到OD=OB+BD=6+x,故

AB=2X=6（G+1）=16.2

（2）過點A作AG0y軸于點G.過點0作O;E0OB于點E,并延長EO咬AG于點F.由垂徑定理得，

OE=BE=3.在Rt團。O'E中，由勾股定理得，O'E=4.所以0午=5+3。＞5.

【詳解】（1）過點Z作力軸于點0,依題意，得畫%0=30。.在Rt△48D中，設80=%,則48=2

”,由勾股定理得：AD=j面—BD，=&，由題意知：0D=0B+BD=6+x.在RtA4。。中，

0D—AD,6+x=6x

BP：觀測點3到4船的距離為16.2.

（2）連接C8,CO,則C砌，軸，03c80=90°,設。為由0、B、C三點所確定圓的圓心.

則OC為團。的直徑.

由已知得。8=6,CB=8,由勾股定理得。。;必行句。

回半徑OO'=5

過點力作力岫軸于點G.

過點。'作。'比08于點E,并延長E0'交AG于點F.

由垂徑定理得：0E=BE=3,（3在RtQOO'E中，由勾股定理得：0^=4

回四邊形尸項M為矩形，團防=04而4）=氐=9+36

回。/=9+36-4=5+36

05+3^>5,BPO'F>r

回直線4G與團0,相離，4船不會進入海洋生物保護區(qū).

【點睛】本題考查的知識點是勾股定理的應用，點與圓的位置關系，解題的關鍵是熟練的掌握勾股

定理的應用，點與圓的位置關系.

6.如圖，A,8兩點的坐標分別為（0,4）,（0,2）,點尸為x軸正半軸上一動點，過點力作力尸的

垂線，過點5作8尸的垂線，兩垂線交于點。，連接尸。，〃為線段尸。的中點.

（1）求證：AQB尸□。四點在以M為圓心的同一個圓上；

（2）當團必與x軸相切時，求點。的坐標；

（3）當點P從點（1,0）運動到點［2,0）時，請直接寫出線段。M掃過圖形的面積.

恪案】⑴見解析；（2）（2亞，6）；⑶彳.

【詳解】試題分析：（1）連接AM、BM,由團APQ和團BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點,

可得AM=BM=PM=QM,從而問題得證；

⑵作MG0y軸于G,MC0X軸于C,由已知求得MC=0G=3,確定出在點P運動的過程中，點M

到x軸的距離始終為3,從而確定點Q的縱坐標始終為6,當團M與x軸相切時則PQ0X軸，作QHSy

軸于H,由因BOP雷QHB,根據相似三角形的性質即可得；

9

（3）由相似可得：當點P在Pi（1,0）時，Ch（8,6）則Mi（y,3）,當點P在P2（2,0）時，

Cb(4,6),則M2(3,3),根據線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q,根據梯形的面積公式進行

計算即可得.

試題解析：(1)連接AM、BM,

加APQ和團BPQ都是直角三角形，M是斜邊PQ的中點,

0AM=BM=PM=QM=-PQ,

2

鼬、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上；

(2)作MGBy軸于G,MBx軸于C,0AM=BM,

(3G是AB的中點，由A(0,4),B(0,2)可得MC=OG=3,

團在點P運動的過程中，點M到x軸的距離始終為3,

則點Q到x軸的距離始終為6,即點Q的縱坐標始終為6,

當團M與x軸相切時則PQJib(軸，作QTN軸于H,

HB=6—2=4,設。P=HQ=x,

由團BOP00QHB,得X2=2X4=8,x=2也，

團點Q的坐標為(2&,6)：

9

(3)由相似可得：當點P在Pi(1,0)時，Qi(8,6),則Mi(孑，3),

當點在時，則

PP2（2,0）Cb（4,6）,M2（3,3）,

93

0M1M2=--3=-,Q1Q=8—4=4,

22

線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1，

3333

其面積為：—x(—+4)x3=

【點睛】本題考查了圓的綜合題、涉及到四點共圓、相似三角形的判定與性質、切線的性質等知識,

根據題意正確畫出圖形，添加輔助線是解決問題的關鍵.

7.如圖1,在平面直角坐標系中，有一矩形ABCD,其三個頂點的坐標分別為A(2,0),B(8,0),

(2)設直線/掃過矩形ABCD的面積為S,試求S>0時S與t的函數(shù)關系式；

(3)在第一象限有一半徑為3、且與兩坐標軸恰好都相切的團M,在直線/出發(fā)的同時，(3M以每秒

2個單位的速度向右運動，如圖2,則當t為何值時，直線/與13M相切？

【答案】(1)1；

4979

(2)當時,5=晝。-1)-;

421

當~<t<3時,S=9t——;

當3Vt時,S=-3(3t-10)2+18;

32

當t>g時,S=18;

⑶t=5—或t=5+VIU.

【詳解】試題分析：(1)y=-3x—3與x軸交點坐標是(-1,0)，直線I經過點A(2,0)，故向右平移

3個單位長度，直線l:y=-3x-3以每秒3個單位的速度向右運動，所以t=l;

(2)求出直線l:y=-3x+9t-3,再分情況討論;

(3)分兩種情況討論，借助三角形相似即可.

試題解析：(l)y=-3x-3與x軸交點坐標是(-1,0)，直線I經過點A(2,0)，故向右平移3個單位長

度，直線l:y=-3x-3以每秒3個單位的速度向右運動，所以t=l;

(2)由題意，可知矩形ABCD頂點D的坐標為(2,3).

由一次函數(shù)的性質可知，當t由小到大變化時，直線l:y=-3(x-3t)-3=-3x+9t-3向右平移，依次掃過矩

形ABCD的不同部分.

可得當直線經過A(2⑼時,t=l;當直線經過D(2,3)時當直線經過B(8,0)時,t=3;當直線經過C(8,3)

時智?

設直線l:y=-3x+9t-3-Wx軸交于點R與AD交于點Q.

令可得

y=0,x=3t-lz0AP=3t-3;

令x=2,可得y=9t-9,0AQ=9t-9.

??”

0S=SAAPQ=2AP*AQ=-(3t-3)(9t-9)=^-|r-lT;

②當g<t43時，如圖所示.

設直線l:y=-3x+9t-3與x軸交于點R與CD交于點Q.

令y=0,可得x=3t-l,0AP=3t-3;

令y=3,可得x=3t-2/0DQ=3t-4.

S=S?^APQD=g(DQ+AP)?AD=9t—￥；

設直線上y=-3x+9t?3與BC交于點B與CD交于點Q.

令x=8,可得y=9t-27EBP=9t-27,CP=30-9t;

令y=3,可得x=3t-2,0DQ=3t-4X0=10-3t.

S=S矩形ABCD-SAPQC=18-：CP?CQ=一^(3l-10)2+18;

④當t>7時,S=S矩形ABCD=18.

綜上所述,S與t的函數(shù)關系式為：

5=%-孕的時

卜=一汐-10)+瓦；3V岑)

S皿

⑶若直線l:y=-3x+9t-3與團M相切，如圖所示,應有兩條符合條件的切線.

設直線與x軸、y軸交于A、B點，則A(3t-1,0)、B(0,9t-3)/0OB=3OA.

由題意，可知團M與x軸相切，設切點為D,連接MD;

設直線與回M的一個切點為P,連接MP并延長交x軸于點G;過P點作PN0MD于點N,PH取軸于點H.

易證團PMN函BAO,國PN:MN=OB:OA=3,?PN=3MN.

在Rt0PMN中，由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得：MN=KR,PN=2叵,

1010

□PH=ND=MD-MN=3-2^,OH=OD-HD=OD-PN=2t+3-2^,

101()

0P(2t+3-嚕,3-嚕)，代入直線解析式求得:t=5-710；

同理，當切線位于另外一側時，可求得:t=5+而

考點:動點問題.

8.定義：如圖①，的半徑為r,若點P，在射線OP上，且0Pop=/，則稱點P，是點P關于

。的“反演點”.

(1)如圖①，設射線OP與0。交于點A,若點P是點P關于0。的“反演點”，且OP=PA,求證：

點P為線段OP的一個黃金分割點；

(2)如圖②，若點P是點P關于CX＞的“反演點〃，過點P作產8J.OP,交0。于點B,連接

求證：依為1)0的切線：

(3)如圖③，在用ZXCD石中，NE=9Qo,CE=6,DE=8,以CE為直徑作若點P為8邊上

一動點，點P是點P關于。的“反演點”，則在點P運動的過程中，線段OP長度的取值范圍是

9>/73

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

734

【分析】（1）先證明PP=r,再根據"反演點”的定義可知：OP?OP=/,化成比例式可得結論；

（2）先證明OBPsOPB,得團08尸=團。尸石=90°,根據切線的判定可得結論；

9

（3）過點O作OM3CD于H,連接。。，根據“反演點”的定義確定。?和OP的關系：。尸'=而，

根據三角函數(shù)和勾股定理計算OH和。。的長，根據O"40P4OD,列不等式組可得結論.

【詳解】（1）證明：00P=",

國PP=/M+4P=OP+P4=1，

由已知得OP?OP=，，

OPPP‘

團OP?OP=P7>2,即_=_

PP1OP'

團點戶為線段。戶的一個黃金分割點；

（2）證明：附8團。尸，

00W5=9O°,

回點P是點P關于田。的"反演點”，

回。POP=/，

回。P0P=0B2,

0PfOB

團---=—?

OBOP

又I3NO=NO,

⑦OBPsOPB,

團NO3P=NQPB=90。,

團尸施08,

即有為田。的切線；

（3）解：如圖③，過點。作于〃，連接0Q,

團宓=6,

酬。的半徑為3,即「=3,

回點P是點尸關于回。的“反演點",

團OP?OP=32=9,

9

團0P=—，

0P

00^5=90°,CE=6,DE=8,

回CQ=7CE2+DE2=V62+82=10,

,MDE84

sm0C=-----=-=—

CD105

4幀=器

團027=-OC=—，

55

由勾股定理得；OD=yJoE2+DE2=^2+82=>/73?

9

團OP=一，OH<OP<OD

OPf

E”占

734

故答案為：也4op，w”.

734

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了新定義：反演點，圓的切線的判定，三角形相似的性質和判定,

三角函數(shù)的定義等知識，第?問的求解，是在理解新定義的基礎上直接引用，根據黃金分割的定義

解決問題；第二問根據切線的判定解決問題；第三問有難度，正確作出輔助線是本題的關鍵.

9.已知：BD為團0的直徑，。為圓心，點A為圓上一點，過點B作缶。的切線交DA的延長線于點F,

點C為團0上一點，且AB=AC.連接BC交AD于點E,連接AC

⑴如圖1,求證：0ABF=0ABC;

⑵如圖2,點H為130內部一點，連接OH,CH若EIOHC=(3HCA=90°時，求證：CH=：DA；

⑶在(2)的條件下，若OH=6,00的半徑為10,求CE的長.

21

【答案】⑴見解析；（2）見解析?：（3）y.

【分析】⑴由BD為O的直徑，得到/D+/ABD=90，根據切線的性質得到NFBA+/ABD=90，

根據等腰三角形的性質得到,等量代換即可得到結論；

（2）如圖2,連接0C,根據平行線的判定和性質得到NACO=/COH,根據等腰三角形的性質得到

/OBC=/OCB,NABC+/CBO=/ACB+/OCB,根據相似三角形的性質即可得到結論；

AORD

（3）根據相似三角形的性質得到==^=2,根據勾股定理得到AD=jBD2_AB2=16,根據全

OHOC

等三角形的性質得到BF=BE,AF=AE,根據射影定理得到AF=￡=9,根據相交弦