第02講 勾股定理的逆定理（解析版）-八年級數(shù)學(xué)

第02講勾股定理的逆定理1.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程，知道勾股定理與逆定理的聯(lián)系與區(qū)別.2.能用勾股定理的逆定理解決一些簡單的實(shí)際問題.3.初步認(rèn)識勾股定理的逆定理的重要意義，會用勾股定理就解決一些幾何問題.4.通過具體例子，了解逆命題、逆定理的概念，會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立時其逆命題不一定成立.知識點(diǎn)1：勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識點(diǎn)2：勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)考點(diǎn)一：直角三角形的判斷例1．（2023八下·懷集期中）下列各組數(shù)據(jù)為邊的三角形中，是直角三角形的是（）A．2、3、7 B．5、4、8 C．3、5、4D．2、3、5【答案】C【解答】解：A、(2B、52C、32D、(2故答案為：C．【變式1-1】（2023八下·定州期中）下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．9，12，15 B．6，8，10C．5，2，3 D．1.5，2.5，3.5【答案】D【解答】解：A、92+122=152，是直角三角形，故不符合題意；B.62+82=102，是直角三角形，故不符合題意；C．（5）2+22=32，是直角三角形，故不符合題意；D.1.52+2.52≠3.52，故不是直角三角形，故符合題意．故答案為：D．【變式1-2】（2023八下·會昌期中）在三邊分別為下列長度的三角形中，不是直角三角形的為（）A．1，2，3 B．4，7，5 C．5，13，12 D．2，3，5【答案】B【解答】A．12B．42C．52D．22故答案為：B．【變式1-3】（2023八上·開江期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17【答案】D【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5為邊長的三個木棍不能圍成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6為邊長的三個木棍不能圍成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12為邊長的三個木棍不能圍成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17為邊長的三個木棍能圍成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意.

故答案為：D.

例2.（2023八上·達(dá)川期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為A．a(chǎn)=32，b=C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2【答案】B【解答】解：A、∵a2+b2=(32)B、∵a2?b2=c2，∴aC、∵∠A=2∠B=3∠C，設(shè)∠C=x，則∠A=3x，∠B=32x，∴3x+32x+x=180°，解得x=(36011)°，D、∵∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2，設(shè)∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，∴2x+5x+2x=180°，解得x=20°，∴∴∠A=40°，∠B=100°，∠C=40°，∴△ABC不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故答案為：B.【變式2-1】（2023八上·內(nèi)江期末）已知△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2=b2?c2C．∠A=∠B+∠C D．∠A【答案】D【解答】解：∵a2∴a2∴△ABC是直角三角形，故A不符合題意；∵a2+b∴a2∴△ABC是直角三角形，故B不符合題意；∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故C不符合題意；∵∠A：∠B：∴∠C=180°×13∴△ABC不是直角三角形，故D符合題意；故答案為：D.例3．（2023八下·咸寧期中）如圖，每個小正方形的邊長為1（1）求四邊形ABCD的周長；（2）∠BCD是直角嗎？說明理由.【答案】（1）解：∵每個小正方形的邊長為1∴AB=12+72=5∴四邊形ABCD的周長為5（2）解：如圖所示，連接BD，∵BD=32+42∴BD∴BD∴△BCD是直角三角形，∠BCD是直角.【變式3-1】2023八上·鄞州期末）如圖：△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(?2，0)，B(1，4)，C(5，1).（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由.【答案】（1）解：如圖，△ABC為所作；（2）解：△ABC為等腰直角三角形.理由如下：∵A(?2，0)，B(1，4)，C(5，1)，∴AB=(1+2)2+∴AB∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，∵AB=CB，∴△ABC為等腰直角三角形.【變式3-2】（2022八上·歷城期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個小正方形邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由．（2）△ABC面積是，AC邊上的高是．【答案】（1）解：△ABC為直角三角形，理由：由題意得：AB2=22∴AB∴△ABC為直角三角形，∴∠ABC=90°；（2）13；2【解答】（2）設(shè)AC邊上的高為h，由（1）得：AB=13，BC=52=2∴△ABC的面積=12∵△ABC的面積=12∴12∴?=2∴△ABC的面積為13，AC邊上的高為25

考點(diǎn)二：勾股數(shù)的應(yīng)用例4.（2021八上·靈石期中）設(shè)三角形的三邊分別是下列各組數(shù)，則不是直角三角形勾股數(shù)的一組是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．6，8，10【答案】B【解答】本題設(shè)三角形三邊分別為a，b，c，(三邊不確定)而分別試求：是否符合直角三角形三邊關(guān)系：a2A、32B、22C、52D、62故答案為：B．【變式4-1】（2021八上·城陽月考）下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．9，15，12 B．11，60，61C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5【答案】D【解答】根據(jù)勾股數(shù)的含義知，A、B、C三個選項(xiàng)的三組數(shù)均是勾股數(shù)，選項(xiàng)D中的三個數(shù)都不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)．故答案為：D．【變式4-2】（2021八上·惠來期中）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，13，18【答案】D【解答】A、32+42=52，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；B、52+122=132，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；C、62+82=102，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；D、72+132≠182，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，故答案為：D．【變式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股數(shù)的有()3、4、5；②5、12、13；③9、40、41；④13、14、15；⑤7、⑥11、60、61A．6組 B．5組 C．4組 D．3組【答案】B【解答】解：①32②52③92④132⑤(7)2⑥112是勾股數(shù)的共5組故答案為：B考點(diǎn)三：勾股定理的逆定理應(yīng)用例5.（2022八上·北侖期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪.（1）△ABC是直角三角形嗎？為什么？（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？【答案】（1）解：△ABC是直角三角形，理由：連接AC，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=32+∵AC2+B∴AC∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；（2）解：該空地面積S=S△ACB?即鋪滿這塊空地共需花費(fèi)=24×100=2400元.【變式5-1】（2022八上·大豐期中）如圖所示四邊形ABCD，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求：（1）AC的長；（2）該四邊形ABCD的面積.【答案】（1）解：∵△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，∴AC=A（2）解：S△ABC∵在△ACD中，CD=12，AD=13，AC=5，∴CD∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，∴S△ACD∴S四邊形ABCD【變式5-2】（2021八上·嵩縣期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年紀(jì)念日．為進(jìn)一步弘揚(yáng)辛亥革命中體現(xiàn)的中華民族的偉大革命精神，社區(qū)開展了系列紀(jì)念活動．如圖，有一塊四邊形空地，社區(qū)計(jì)劃將其布置成展區(qū)，陳列有關(guān)辛亥革命的歷史圖片．現(xiàn)測得AB=AD=26m，BC=16m，CD=12m（1）試說明∠BCD=90°；（2）求四邊形展區(qū)（陰影部分）的面積．【答案】（1）解：∵△BCD中，BC=16m，CD=12m，BD=20m，∴BC2+C∴BC∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90；（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，∴∠AEB=90°，∵AB=AD，∴BE=DE=1在Rt△ABE∴AE=A∴S△ABD∵S△BCD∴S陰影面積1．（南通）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，5【解答】解：A、52+112≠122，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯誤；B、22+32≠42，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯誤；C、42+62≠72，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯誤；D、32+42＝52，能組成直角三角形，故此選項(xiàng)正確．故選：D．2．（2020?河北）如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選取）按如圖的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【解答】解：當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1，4，5時，圍成的直角三角形的面積是＝，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時，圍成的直角三角形的面積是＝；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時，圍成的直角三角形的面積是＝，∵，∴所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5，故選：B．3．（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）．【解答】解：∵m為正整數(shù)，∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案為：m2+1．4．（北京）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．【解答】解：延長AP交格點(diǎn)于D，連接BD，則PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案為：45．5．（貴陽）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，設(shè)c為最長邊，當(dāng)a2+b2＝c2時，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．（1）當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為三角形．（2）猜想，當(dāng)a2+b2c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2c2時，△ABC為鈍角三角形．（3）判斷當(dāng)a＝2，b＝4時，△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c的取值范圍．【解答】解：（1）兩直角邊分別為6、8時，斜邊＝＝10，∴△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形；故答案為：銳角；鈍角；（2）當(dāng)a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形；故答案為：＞；＜；（3）∵c為最長邊，2+4＝6，∴4≤c＜6，a2+b2＝22+42＝20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴當(dāng)4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形；②a2+b2＝c2，即c2＝20，c＝2，∴當(dāng)c＝2時，這個三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴當(dāng)2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形．6．（河北）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2，求整式B．聯(lián)想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖．填寫下表中B的值：直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ/817勾股數(shù)組Ⅱ35/37【解答】解：嘗試：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，發(fā)現(xiàn)∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，當(dāng)2n＝8時，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；當(dāng)n2﹣1＝35時，n2+1＝37．故答案為：17；37．1．（2023八下·咸寧期中）以下列各組線段為邊作三角形，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，12，13 B．6，8，9 C．3，4，5 D．5，12，15【答案】C【解析】【解答】解：A、62B、62C、32D、52故答案為：C.2．（2023八下·洪山期中）下列條件中，能夠判斷△ABC為直角三角形的是（）A．AB=6，BC=8，AC=10 B．ABC．∠A=∠B=∠C D．∠A【答案】A【解析】【解答】解：A.∵AB∴△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；B.∵AB：設(shè)AB=a，則BC=2a，AC=3a，則AB+BC=a+2a=3a=AC，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C.∵∠A=∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C=60∴△ABC是等邊三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D.∵∠A：∠B：∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∴△ABC不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故答案為：A.3.下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1，3，2 D．7，24，25【答案】D【解答】解：A．∵92+162≠252，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；B．∵0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；C．∵12+22≠32，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；D．∵72+242＝252，∴是勾股數(shù)，符合題意．故選：D．4．我們把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三個稱為勾股數(shù)．現(xiàn)請你用計(jì)算器驗(yàn)證下列各組的數(shù)是否勾股數(shù)．你能發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律嗎？請完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，，；…【答案】60；61【解析】【解答】勾股數(shù)的第一個數(shù)是奇數(shù)，第三個數(shù)比第二個數(shù)大1，且第二個數(shù)是偶數(shù)，注意到4=2×1×2；12=2×2×3，24=2×3×4；40=2×4×5；60=2×5×6，60+1=61.故答案為(1).60；(2).615．（2020八上·柯橋期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如(3，4，5)，(5,12，13)，(7,24,25)，(8，15，17)等等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”.后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)律：若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個平方數(shù)分別減1，加l得到兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由m生成的勾股數(shù)”.若“由9生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為A，“由20生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為B，則A+B=.【答案】142【解析】【解答】解：∵92=81，81=40+41∴“由9生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為41，即A=41，∵(20∴“由20生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為101，即B=101，∴A+B=41+101=142.故答案為：142.6．（2023八上·榆林期末）如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.（1）求證：∠ADB=90°；（2）求△ADC的面積.【答案】（1）證明：∵AB=10，BD=6，AD=8，∴BD2+A∴BD∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB=90°.（2）解：∵∠ADB=90°，∴∠ADC=180°?∠ADB=90°，∵AC=17，AD=8，∴CD=∴△ADC的面積為=1∴△ADC的面積為60.7．（2023八下·洪山期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=3，BC=7【答案】解：連接AC，在△ACB中，∠B=90°，AB=3∴AC=A在△ACD中，AC∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，∴四邊形ABCD的面積===6+3故四邊形ABCD的面積為6+8．（2021八上·六盤水月考）如圖所示，六盤水市某中學(xué)有一塊不規(guī)則四邊形的空地ABCD，學(xué)