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安徽省六安市2025屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.關(guān)于函數(shù),有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.2.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.3.已知的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為().A. B. C. D.4.已知函數(shù),則()A. B.1 C.-1 D.05.若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.6.已知集合,則=A. B. C. D.7.過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線,若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為()A. B. C. D.8.已知雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.9.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,函數(shù)(),則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A.2 B.4 C.5 D.610.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.412.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”(注:如果一個(gè)大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)),在不超過的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,則的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識(shí)競(jìng)賽,則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________.14.函數(shù)過定點(diǎn)________.15.已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的焦距為2c,過C外一點(diǎn)P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點(diǎn)A、B,若|PA|=|AF1|,則_____.16.從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知在平面四邊形中,的面積為.(1)求的長(zhǎng);(2)已知,為銳角,求.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線:.(1)當(dāng)時(shí),求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)直線與曲線交于,兩點(diǎn),線段中點(diǎn)為,求的值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),若以線段為直徑的圓與軸相切.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若上存在兩動(dòng)點(diǎn)(A,B在軸異側(cè))滿足,且的周長(zhǎng)為,求的值.20.(12分)2019年6月,國(guó)內(nèi)的運(yùn)營(yíng)牌照開始發(fā)放.從到,我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間,完成了技術(shù)上的飛躍,躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)的消費(fèi)意愿,2019年8月,從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查,樣本中各類用戶分布情況如下:用戶分類預(yù)計(jì)升級(jí)到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較,可得出下圖的關(guān)系(例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的).(1)從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率;(2)從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人,以表示這2人中愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)2019年底,從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐,能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化?說明理由.21.(12分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面積.22.(10分)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷即可求出.【詳解】①因?yàn)?,所以是的一個(gè)周期,①正確;②因?yàn)?,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯(cuò)誤;③因?yàn)?,所以是偶函?shù),又是的一個(gè)周期,所以可以只考慮時(shí),的值域.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,的值域?yàn)?,③錯(cuò)誤;綜上,正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.2、D【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進(jìn)而求出,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因?yàn)?,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.3、D【解析】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)和.4、A【解析】
由函數(shù),求得,進(jìn)而求得的值,得到答案.【詳解】由題意函數(shù),則,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,代入求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,由題意得出,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值,并對(duì)的值進(jìn)行檢驗(yàn),即可得出結(jié)果.【詳解】,則,,,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.若函數(shù)的零點(diǎn)不為,則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn),不合題意.所以,,即,解得或.①當(dāng)時(shí),令,得,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示:此時(shí),函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;②當(dāng)時(shí),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù),考查函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出,在求出參數(shù)后要對(duì)參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn),考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.6、C【解析】
本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.7、A【解析】
直線的方程為,令,得,得到a,b的關(guān)系,結(jié)合選項(xiàng)求解即可【詳解】直線的方程為,令,得.因?yàn)?,所以,只有選項(xiàng)滿足條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查運(yùn)算求解能力.8、A【解析】
根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,可得出,結(jié)合,得出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解:由雙曲線可知,焦點(diǎn)在軸上,則雙曲線的漸近線方程為:,由于焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍,可得:,∴,即:,,所以雙曲線的漸近線方程為:.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),以及雙曲線的漸近線方程.9、B【解析】
由函數(shù)的性質(zhì)可得:的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對(duì)稱,由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足,可得的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對(duì)稱,函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.10、B【解析】
由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
先列舉出不超過的素?cái)?shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素?cái)?shù)有:、、、、、,在不超過的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:【點(diǎn)睛】組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用,熟悉組合數(shù)公式14、【解析】
令,,與參數(shù)無關(guān),即可得到定點(diǎn).【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,函數(shù)值與參數(shù)無關(guān),所有過定點(diǎn).故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問題,關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān),熟記常見函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時(shí)間.15、【解析】
根據(jù)條件可得判斷OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,從而得到點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn),則有b=c,解出B的坐標(biāo)即可得到比值.【詳解】因?yàn)閨PA|=|AF1|,所以點(diǎn)A是線段PF1的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)A∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因?yàn)辄c(diǎn)P(c,2c),所以PF2⊥x軸,則|PF2|=2c,所以O(shè)A⊥x軸,則點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn),所以|OA|=b,則2b=2c,所以b=c,ac,設(shè)B(c,m)(m>0),則,解得mc,所以|BF2|c,則.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),考查直線位置關(guān)系的判斷,方程思想,屬于中檔題.16、【解析】
基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率.【詳解】從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,分別為:,,,,,,,,,,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意辨別概率的模型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)4.【解析】
(1)利用三角形的面積公式求得,利用余弦定理求得.(2)利用余弦定理求得,由此求得,進(jìn)而求得,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】(1)在中,由面積公式:在中,由余弦定理可得:(2)在中,由余弦定理可得:在中,由正弦定理可得:,為銳角.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于中檔題.18、(1),;(2)【解析】
(1)依題意可知,直線的極坐標(biāo)方程為(),再對(duì)分三種情況考慮;(2)利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義,求弦長(zhǎng)即可得到答案.【詳解】(1)依題意可知,直線的極坐標(biāo)方程為(),當(dāng)時(shí),聯(lián)立解得交點(diǎn),當(dāng)時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)滿足兩方程,(易漏解之處忽略的情況)當(dāng)時(shí),無交點(diǎn);綜上,曲線與直線的點(diǎn)極坐標(biāo)為,,(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線,得,可知,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長(zhǎng),考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.19、(1);(2)【解析】
(1)設(shè),則由題設(shè)條件可得,化簡(jiǎn)后可得軌跡的方程.(2)設(shè)直線,聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)并求得,結(jié)合焦半徑公式及弦長(zhǎng)公式可求的值及的長(zhǎng).【詳解】(1)設(shè),則圓心的坐標(biāo)為,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切,所以,化簡(jiǎn)得的方程為.(2)由題意,設(shè)直線,聯(lián)立得,設(shè)(其中)所以,,且,因?yàn)?,所以,,所以,故或(舍),直線,因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為所以.即,因?yàn)?又,所以,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長(zhǎng)計(jì)算,還涉及到向量的數(shù)量積.一般地,拋物線中的弦長(zhǎng)問題,一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程,再把已知等式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式,該關(guān)系中含有或,最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某一個(gè)變量的方程.本題屬于中檔題.20、(1)(2)詳見解析(3)事件雖然發(fā)生概率小,但是發(fā)生可能性為0.02,所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生變化,詳見解析【解析】
(1)由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到,結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式,即可求解;(2)由題意的所有可能值為,利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式,分別求得相應(yīng)的概率,得到隨機(jī)變量的分布列,利用期望的公式,即可求解.(3)設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐”,得到七概率為,即可得到結(jié)論.【詳解】(1)由題意可知,從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率估計(jì)為樣本中早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶的頻率,即.(2)由題意的所有可能值為,記事件為“從早期體驗(yàn)用戶中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上”,事件為“從中期跟隨用戶中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上”,由題意可知,事件,相互獨(dú)立,且,,所以,,,所以的分布列為0120.180.4
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