重慶市字水中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（I卷）

重慶市字水中學(xué)2024—2025學(xué)年上期高2026屆期中考試數(shù)學(xué)試卷（試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名?準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號：非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.3.考生必須按照題號在答題卡各題號相對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)（黑色線框）作答，寫在草稿紙上?超出答題區(qū)域或非題號對應(yīng)的答題區(qū)域的答案一律無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.5.做選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的傾斜角大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的方向向量求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】由直線的一個(gè)方向向量為，得直線的斜率，所以該直線的傾斜角大小為.故選：C2.已知橢圓上有一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出.【詳解】由橢圓，得，即，設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，即點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為2.故選:D.3.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間向量的基本定理運(yùn)算求解.【詳解】,化簡得到.故選：B.4.已知圓，圓，則圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離【答案】B【解析】【分析】分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心距與兩圓半徑和差大小關(guān)系得出兩圓位置關(guān)系.【詳解】由題意得，，，故的圓心坐標(biāo)，半徑，圓圓心坐標(biāo)，半徑，故圓心距，所以，故兩圓外切.故答案選：B.5.若直線與平行，則兩直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用兩直線平行求得，再利用兩平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，此時(shí)兩直線重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，與平行，故，故，所以兩直線間的距離為.故選：C.6.過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點(diǎn)A的距離為半徑，可得圓的方程．【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)與，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A7.正方體的棱長為是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖形幾何關(guān)系，分別找出三棱錐的底面面積和高，根據(jù)公式計(jì)算得出體積大小.【詳解】如圖所示，連結(jié)，連結(jié)與AC交于點(diǎn)O，連結(jié).由圖可知，因?yàn)檎襟w棱長為2，所以根據(jù)圖中幾何關(guān)系與勾股定理易得，，，，，，，，所以在中，，即.又因?yàn)樵谡襟w中，，O是AC中點(diǎn)，所以，又平面ACF，所以平面ACF，于是三棱錐的高即為.又在中，，所以，所以三棱錐的體積，故答案選：D.8.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】先求得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，再設(shè)切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，易知切線斜率存在，設(shè)直線方程為：，即，則圓心到切線的距離等于半徑，即，整理得：，解得或，故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則直線與直線垂直B.若直線經(jīng)過第三象限，則C.過點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為D.經(jīng)過點(diǎn)的直線方程均可用表示【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)結(jié)合直線方程知識點(diǎn)逐一判斷正誤即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，直線方程為和，兩直線垂直，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，直線與軸的交點(diǎn)分別為，當(dāng)直線經(jīng)過一，二，三象限時(shí)，，可得，可得，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)直線在軸上的截距都為0時(shí)，有直線同樣滿足條件，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，根據(jù)直線方程的定義與表示法，可表示任意過的直線，故D正確.綜上所述，答案選AD.10.已知圓，直線，直線與圓交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線與圓恒相交C.的最小值為D.若點(diǎn)在圓上，則的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合直線與圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)知識點(diǎn)對選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，直線，可得當(dāng)時(shí)方程恒成立，即直線恒過定點(diǎn)2,3，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)2,3，根據(jù)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，所以點(diǎn)在圓M內(nèi)，所以直線與圓恒相交，故B正確；對于選項(xiàng)C，如圖所示，設(shè)為點(diǎn)P，則，當(dāng)直線l于MP的連線垂直時(shí)，取得最小值，此時(shí)由圓的弦長公式可得，，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，可將其看成點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方再減1，由于是圓上的點(diǎn)，如圖所示，，連結(jié)，則ME于圓的交點(diǎn)即為,此時(shí)取得最小值，故此時(shí)的最小值為，故D正確.故選：ABD.11.在正方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)滿足，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得與所成角為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)分析當(dāng)x，y取不同值時(shí)相應(yīng)的圖形關(guān)系，再判斷選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，根據(jù)平面向量基本定理，此時(shí)P在線段上，由于在正方體中，平面，平面，所以，選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，由平面向量基本定理，此時(shí)P在線段上，由圖可知，三棱錐當(dāng)以平面為底面時(shí)為定值，但因?yàn)轫旤c(diǎn)P在線段上運(yùn)動，所以P到底面的高不確定，故三棱錐體積不是定值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，如圖所示，此時(shí)，由平面向量基本定理，取AB與中點(diǎn)M，N，則P在線段MN上運(yùn)動，由圖可知，過B點(diǎn)且與平面平行的平面為平面，平面，所以此時(shí)平面，又P是MN與交點(diǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)P是MN中點(diǎn)時(shí)，有平面，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，如圖所示，以D為原點(diǎn)，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，則有，又，所以，所以.于是，，所以的夾角為時(shí)有，，解得或，即或都可以使得的夾角為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，，即可求出，從而得到橢圓方程.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，所以，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：13.圓：與圓：相交于、兩點(diǎn)，則_________．【答案】4【解析】【分析】先求出相交弦所在直線的方程，然后根據(jù)圓的弦長的求法求解即可.【詳解】由圓：與圓：，兩圓相減得公共弦AB所在直線方程為：，有圓：，可得圓心，半徑，所以圓心到直線AB的距離，所以故答案為：4.14.已知是圓上兩點(diǎn)，且，直線上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】利用圓的弦長公式求得，從而得到計(jì)算得到，再利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的表示，進(jìn)而代入得到關(guān)于的二次方程，利用判別式得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.【詳解】依題意，設(shè)中點(diǎn)為Mx,y，，，，故，即，則，因?yàn)?，則，故，則，整理得，由題意可知必存在，即方程有解，故，解得或，即的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知直線，直線，記兩條直線的交點(diǎn)為．（1）求兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）通過聯(lián)立方程組來求得點(diǎn)的坐標(biāo).（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合點(diǎn)到直線距離求得的方程.【小問1詳解】聯(lián)立可知：且點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問2詳解】設(shè)討點(diǎn)的直線的方程為．整理可得：．圓的圓心為，半徑為，，由點(diǎn)到直線距離公式可得：，解得：．所求直線方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)符合題意．綜上：所求直線的方程為或.16.如圖，長方體的底面是邊長為2的正方形，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理證得平面，再利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，利用（1）中結(jié)論得平面的一個(gè)法向量，從而利用空間向量法求得線面角，由此得解.【小問1詳解】因?yàn)樵陂L方體中，平面，又平面，所以，在中，，所以，則，又平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問2詳解】以為軸，為軸，為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則，故，由（1）知平面，所以平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線與平面所成角為，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知圓是圓上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程及的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法即可求得動點(diǎn)的軌跡方程；（2）先利用圓的性質(zhì)求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程，再利用垂徑定理求得的長，進(jìn)而求得的面積.【小問1詳解】可化為，設(shè)，是線段的中點(diǎn)，即又因?yàn)樵趫A上，，即整理得.的軌跡方程是.【小問2詳解】由（1）知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，由于，故點(diǎn)在線段的垂直平分線上，又點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)在線段的垂直平分線上，從而.，直線的斜率為.直線的方程為，即.則到距離為，.又到直線的距離為..18.如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）點(diǎn)在棱上，且二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用中位線性質(zhì)和平行線的傳遞性得到線線平行，進(jìn)而得到四邊形為平行四邊形，再用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量法求得比例，然后利用錐體體積公式求解即可.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由，得，又，所以，則四邊形平行四邊形，有，又平面平面，故平面.【小問2詳解】由已知得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，又易知底面的一個(gè)法向量為，由于二面角的余弦值為，，，解得或（舍去），19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線，交軌跡于兩點(diǎn)，記的面積為，求的最大值，以及取最大值時(shí)的直線方程.（3）設(shè)軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)為，直線相交于點(diǎn)，試證明點(diǎn)在定直線上，求出該直線方程.【答案】（1）（2），（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式和幾何法求弦長表示.結(jié)