2023年高考數(shù)學(xué)第59講 參考答案及詳解

第59講參考答案及詳解

第一輯代數(shù)篇

第一講集合思想的綜合應(yīng)用

【核心例題1]

【變式訓(xùn)練1]

(1)【解】

'：A'UB-A,6q.,.m=3或加=y[m.

若〃?=3,則N={1,3,JI},8={1,3}，滿足力u8=4；

若m=y[m,解得加=0或/〃=1.

若加=0,則4={1,3,0},3={1,0},滿足4U8=4；

若加=1,4={1,3,1},8={1,1},顯然不成立.

綜上，m=0或加=3,故選B.

(2)【解】

若。>1,則N=(—oo,l]3a,+oo),B=[a—1,+8),若Nu8=R，只需a—L,1,解得以2,

此時1cq,2;

若a=l,則/=R，顯然符合要求；

若a<1,則/=(-00,a]u[1,+oo),B=[a-l,+oo),若Nu8=R，只需a-L,a,顯然成立，

此時a<1.

綜上，42,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(—8,2],故選B.

【變式訓(xùn)練2】

【解】

⑴當(dāng)〃=4時,符合條件的集合/為{2},{1,4},{2,3},{1,3,4}.故/(4)=4.

(2)任取偶數(shù)x將x除以2,若商仍為偶數(shù),再除以2,…，經(jīng)過左次以后，商必為奇數(shù).此

時，記商為加，于是x=帆-2*,其中m為奇數(shù)，%eN*.

由條件知,若"2eZ,則XG4o左為偶數(shù);若，〃右4,則xe4o左為奇數(shù).

于是x是否屬于/,由〃？是否屬于A確定.

設(shè)Q?是匕中所有奇數(shù)的集合，因此/(〃)等于Q,,的子集個數(shù).

當(dāng)〃為偶數(shù)(或奇數(shù))，月中奇數(shù)的個數(shù)是或?qū)W),

〃為偶數(shù)，

?1?/(?)=>

n+l

為奇數(shù).

【核心例題2】

【變式訓(xùn)練1】

【解】

左+6。0,

A=4,2—4(無+6>3￡..0,

由+工>0,解得賓卜9,-6).

12k+6

3k八

x,x.=------>0,

I12k+6

：.A=[-9,-6),5=[a-l,a+l].

(1)若/c8=0,則a+l<—9或a—1..—6,ae(―oo,—10)u[—5,+8).

[a-\-9

⑵若304則《"\-.ae[-8,-7).

a+1<-6.L)

【變式訓(xùn)練2】

【解法一】

y-3

----=a+1,

由Zc8=0,即方程組｛x-2無解.

R2_1卜+(q=30

y—3=(a+l)(x—2),①

即方程組<(/_1卜+g_]》_30②無解由①得丁=("+D(x-2)+3,代人②并整理

得2(/一1卜=2/一3.+31.③

當(dāng)。2_1=0,即。=±1時,方程③無解;

2a2-3“+31人2a2—34+317

當(dāng)/—lx。時，x=222,解得。=一5或一.

2(a-l)''2(a-l)2

分3步：⑴驗(yàn)證。=±1；(2)4/〃2==-^用一；(3)以(2,3)代人,求得a的值

。+1-12。-1

7

為±L—5,,

【變式訓(xùn)練3】

【解】

y-x...O,y-x,,0,

或41集合8表示圓

不等式…0可化為，1

y—...0,y—“0，

IXX

(x-l)2+(y-l)2=l上以及圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合.NcB所表示的平面區(qū)域如答圖

1—1所示，曲線歹=上，圓(X—+3-I)?=1均關(guān)于直線丁=*對稱,所以陰影部分占圓

X

面積的一半,故選D.

【核心例題3]

【變式訓(xùn)練】

【解】

從反面看,若3個方程沒有實(shí)根,則

A,=w2-16<0,-4<w<4

<A,=(w-I)2-64=(機(jī)一9)(“？+7)<0,解得<一7<加<9,得一2<加<4

A,-4m2—4(3加+10)=4(m-5)(/?+2)<0,-2<m<5

即me(-2,4)時,3個方程都沒有實(shí)根.

再求補(bǔ)集，得3個方程至少有一個方程有實(shí)根時，加?-力-2]。[4,+力).

【核心例題4】

【變式訓(xùn)練1】

【解】

本題中,第一個集合所表示的區(qū)域包含于第二個集合的區(qū)域內(nèi)，畫圖形如答圖1-2所示：由3

條直線所形成的區(qū)域在圓/+/=25及其內(nèi)部，因此直線mx+y=0的斜率

44

—?—/H.,0.故0?一.

33

【變式訓(xùn)練2】

【解】

,/a2+1〉。,；.Z={y|>>〉。2+1或^<。},

又由卜=/。)=3%2_》+1=；(》_])2+2,知Wn=/⑴=2,%ax=/(3)=4,

B={y\2,,y?4}.

a.2,a.2,?-I—

若4c8=0.則《，即《廠廣6或JIa,2.

[a2+l.A,[a.J3或q,-6.

【變式訓(xùn)練3】

【解】

據(jù)題意得加一3<0,設(shè)（加一3）》2—2mx-8>0o（工一玉乂工一吃）<0,則

Xi+X2~--^,X(X2=----.由L,卜一工21，2得LJ(X]+工2)2-4玉％2”2,

--—12，化簡得L,2〃；+8：-24.2,

m-3)|w-3|

又△=4(加2+8加一24)>0,得小>一4+2麗或

m<4-2VFo.1,,2+叫_^1,2=(加一3)：,4(m24-8777-24),4(w-3)2<=>

|m-3'/

、7

-15或加…一,

3〃/+38m—105.0-3

解得《

14%33,33

14,

—4—2J10>—15,—4+2A/10<—in的取值范圍是(—-，-15],

第二講用集合觀點(diǎn)處理充要條件問題

【核心例題11

【變式訓(xùn)練1】

【解】

由f-3x+2.0,解得Lx,2,即3={xll,x,2},

?；p是q的充分不必要條件，；.AQB.

（i）若Z=0,則有此時應(yīng)有△=/—4<0,即一2<a<2.

（ii）若/。0.設(shè)西,々是方程/+4%+1=0的兩根,則有L,斗2,1X》，2.

又：=1,，玉=x2=1.a=-（石+x2）=-2,綜上,可得。的取值范圍為一2,。<2.

【變式訓(xùn)練2】

【解】

p:(x-3a)(x-a)<0,又a<0,:.3a<x<a.

7:x2-x-6?0或爐+2》-8>0,即(x-3)(x+2)”?；?％+4乂%—2)>0.

-2,.%,3或x>2或x<-4.即乂..-2或x<-4.

???非p是非g的必要不充分條件,，:.q是p的必要不充分條件.

/.(3a,a)U(-oo,-4)u[-2,+力),q,一4或3a..-2.

2

得a的取值范圍是a,-4或?！?a<0.

3

【核心例題2】

【變式訓(xùn)練1】

⑴【解】

_m0,.

方程①有實(shí)數(shù)根的充要條件是集合N滿足《,即4={初加，1且

4>-16陰...0,

加w0}.

方程2有實(shí)數(shù)根的充要條件是集合B滿足△[=(―4根>一4(4加2一4加一5)…0,

即8=卜|

，方程①②都有實(shí)數(shù)根的充要條件是小，1且加工0.

4

即=〃？<0或0<也，1}.

⑵【解】

根據(jù)韋達(dá)定理得a=x,+x2,b=xlx2，記夕：a>2且b>1,夕：再>1且￥>L

若玉>1且&>1,貝1J。=須+W>2,b=x}x2>1,/.q=>p.

QO1

若取。=1,b=2滿足?！?/>1,此時方程/一=工+2=0的兩根為玉=4,迎=]，且

須>1但42<L「?尸?夕

綜上可知：a>2且6>1是玉〉1且%>1的必要不充分條件.

【變式訓(xùn)練2】

【解】

L-12

由尸1)一3出+1得看出-翡)+L

令則有tt［+和《白卜”

7

A=<x—?x<2>

16

由卜一加~|…一解得x,m~—或x4—8二,XX”〃，---或—

1\44444

,1o17

命題p是命題q的充分條件，.二Ao2,加2——或加2+一”一.

4416

3

解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是—8,--

2

【核心例題3】

【變式訓(xùn)練】

【解】

f(x)=|(ax-1)x|=^ax2-x|.若Q=0則/'(力=陣此時，/(x)在［0,+動單調(diào)遞增;

o10

若Q<0,則二次函數(shù)y=ax2-x的對稱軸x=——<0,且x=0時y=0,此時y=ax2-x

2a

在［0,+功單調(diào)遞減，且弘,0恒成立，故/(x)=W一乂在［0,+助單調(diào)遞增，故40

時，/(x)在［0,+e)單調(diào)遞增，條件是充分的；

反之，若a>0,則二次函數(shù)J二分一》的對稱軸》=1_>0.且在jo-］上”()，此時

2aa)

f(x)=|以2-%|在0,—單詩遞增，在—單調(diào)遞減,故函數(shù)/(x)不可能在

2a\|_2aa

［0,+力)單調(diào)遞增，條件是必要的，故選C.

第三講函數(shù)解析式與“三要素”

【核心例題11

【變式訓(xùn)練1】

【解】

ax+b,

y=—z---<=>yx2-ax+y-b=\AJ.

x+1

若丁=0,顯然在函數(shù)值域［—1,4］；若歹力0,4=。2—4歹5-3..0的解為［-1,0)-(0,4卜

=4,或仁;

"(上普或/(力誓.

【變式訓(xùn)練2】

⑴【解】

22

log2(x+l),log2(x+l).Jog2(|x|+7)

%x)=<

2

log2(|x|+7),10g2(x+l)<log2(|x|+7)

2

由log2(x+l)...log2(國+7)得%2一忖一6...0,解得X,-3或x…3;

由log2卜2+l)<10g2(國+7)得x2—W-6<O,解得—3<x<3.

/flog,(x2+1),X,-3或乂..3

/.F(x)=<);

log,(|x|+7),-3<x<3

(2)【解法一】

2

當(dāng)X..3或x*—3時;F(x)=log2(x+1).

設(shè)〃=/+1..10,

y=log2〃在［10,+8)上遞增，：.^(x)min=log210.

同理,當(dāng)一3cx<3時,F(x)min=log27.

Xlog27<log210,

時，=log27.

【解法二】

?.?尸(x)是偶函數(shù)，.?.只需要考慮x…0的情形.

當(dāng)0,,x<3時,F(x)=log2(|x|+7),有F(x)min=F(0)=log27.

當(dāng)X..3時，尸(x)=10g2卜2+1),有尸(觀血=/(3)=log210.

二.xeR時，F(xiàn)(x)min=log27.

【核心例題2】

【變式訓(xùn)練1】

(1)【解法一】(換元法):

令/=4+1.則L」,X=(f—1產(chǎn)

則/(。=(7-1)2+2(/_1)=*_1,即/(x)=x2_l,xe[l,+8).

【解法二】(配湊法):

/(五+l)=X+2>/7=(y/x+1)2-1,即f(%)=x2-1,XG[1,+OO).

⑵【解】

(待定系數(shù)法)：

設(shè)/(x)=ax2+bx+c(^ah0),則/(x+2)=a(x+2>+b(x+2)+c.

/(x+2)-/'(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4ax+4a+2b=4x+2.

-f-

4q=4ci—\

_又/(O)=3,;.C=3,"(X)=X2—X+3.

4。+2b—2,b——1,

【變式訓(xùn)練2】

⑴【解】

當(dāng)X...0時，g(x)=x2,/./[g(x)]=2x2-1;

當(dāng)x<0時,g(x)=-1,.\/[g(x)]=-2-1=-3,/./[g(x)]=<2XI；。

-3,x<0

2

當(dāng)2x—L.O,即x.g時，g[/(x)]=(2x-l);

當(dāng)2x-l<0,即時，g[/(x)]=—1.

(2x—l)",x...一,

???g[/(x)]=.[2

—1,x<—.

I2

⑵【解】

設(shè)/=X—L,/2=%2+與—2,即/+與=/2+2.

XXX

把f=X-L和f+4=f2+2分別代入/(X—L]=-+4+1的左邊和右邊,

XX\XJX

可得/?)=?2+2)+1.；./(X)=/+3.

.?J(X+1)=(X+1)2+3,即/(X+1)=X2+2X+4.

【核心例題3】

【變式訓(xùn)練1】

(1)【解】

i31

N=］Y—X+］=；（X—1）2+1是一條拋物線,它的對稱軸為X=1.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,開口

向上.若存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)定義域和值域都是［1,m\,則需〃?>1且/（〃?）=m.

1.3°

即一加2一加+一二加，即加~一4加+3=0,解得加=3或掰=1（舍去），

22

故存在實(shí)數(shù)加=3滿足條件.

⑵【解】

1231/\2312Pl?1

V=-X-CLXH---——（X~Cl）H---------U,X€1,6.

■22222L」

1、

當(dāng)以1時，乂向=2—4=1,，。=1.；函數(shù)單調(diào)遞增，，53-1）+1='

二6=3或6=1（舍去）；

31,

=-

當(dāng)1<。<6時，ymin220'=1，，。=±1，矛盾;

5

Xnax=2-a=b,ra=—

Cl—1或］3

當(dāng)瓦a時，得11,3解得1（與6〉1矛盾，舍去）

,1

,y1m111i11n=2-b-ab+-2=l,，、b=l

綜上，6=3.

⑶【解】

???/（X）的定義域和值域分別為［刊，

a<b,\a-b<0

「?'I1^>\a-b=>ab>0

—<-------<0

haah

下面分0<a<6與。</)<0兩種情況討論：

(i)當(dāng)0<Q<6時，f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,1.

???〃x）在［a,b］上的函數(shù)值小于或等于1,.-.

2

又拋物線/（x）=-（》-1）2+1的對稱軸為x=1..?.止匕時/'（x）的值域?yàn)椋?〃+2b,-a+2a］.

則-b?+2b=-,-a~+2a=-,va=l,b='"

ha2

(ii)當(dāng)4<0時，/(x)=x2+2x=(x+l)2

■：f(x)在［a,b］上的函數(shù)值大于或等于—1,0>1n-1.

)1)1

此時/(x)的值域?yàn)椋蹚?2bM2+2a］則〃+26=-,。2+2。=_.

ba

1+V5

a<-1.\h=-1,67

?2

綜上，存在實(shí)數(shù)。=1/=正里或“=一避±',b=-1滿足題意.

22

【變式訓(xùn)練2】

⑴【解】

3

由題設(shè)知，當(dāng)時，g(x)=x2+x+l的值域是:,3.

；g(x)=(x+；)+jg]—￡|=[ai)=g(-2)=3,.―2,n,J.

⑵【解】

令“二〃"；；：；+〃,由于“X)值域?yàn)閇0,2]可知1必9,有

(w-m)x2-8x+(?-7?)=0.

*.*xGR,且設(shè)〃一〃2*0,A=(—8)2-4(〃..0,

即〃2—(加+〃)〃+(加〃-16),,0.

由L,幺9知，關(guān)于〃的一元二次方程/一(加+")〃+(〃〃7-16)=0的兩根為1和9,由韋達(dá)

加+〃=1+9,

定理，得《解得m=〃=5.

機(jī)〃-16=1x9,

若〃一加=0,即〃=①，對應(yīng)/(X)=log3m值域不為［°，2］,不符合條件.

:.m=n=5為所求.

【核心例題4】

【變式訓(xùn)練】

⑴【解】

由題意得/(x)=g(x)+〃(x),①

g(x)為奇函數(shù),〃(工)為偶函數(shù)..//(_x)=g(-x)+l(_x)=-g(x)+l(x).(§)

由①②得g(x)=^[/(x)-/(-x)]=(m+l)x,A(x)=/(x)-g(x)=x2+lg|w+2|.

⑵【解】

由g(x)=(m+l)x為減函數(shù)得加+1<0,即加<—1.③

7W+1Y[|_|(W+1)2

又/(x)=/+(〃？+l)x+lg|加+2|=x+亍J+lg帆+2卜匕上

/.（X）的遞減區(qū)間是1—8,—甘.

又由/（x）在［lg|m+2|,（加+1＞］上為減函數(shù)，得（加+1）2,,一卓！…九-1.0

a

由③④得一5”〃2＜-1,此時lg|加+2］＜（加+1）2.

故機(jī)的取值范圍是一T，t］

⑶【解】

/,（l）=w?+2+lg|w+2|.易證夕（優(yōu)）=加+2+囿加+2］在一|■，一1）上為增函數(shù)，故

/（0=

又;+吆；_：=3+也；〉0?故/（1）

第四講函數(shù)的值域與函數(shù)的最值

【核心例題1］

【變式訓(xùn)練1】

（1）【解】

（配方化簡后用觀察法）

==T+1+|GT—1卜尸xT九2函數(shù)的值域?yàn)椋?,+e）.

（2）【解法一】（換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解）

I------13-Z2

設(shè)J13-4x=t,則t...O,x=-----.

于是/(x)=g(/)=］-/=一：/2_,+；=_：?+］尸+6.

顯然函數(shù)g⑺在［0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù)，.?.g(/)“g(O)=y.因此原函數(shù)的值域

【解法二】：(直接用函數(shù)性質(zhì)求解)

函數(shù)的定義域是卜乂，?>.當(dāng)自變量X增大時，2x-1增大，J13-4x減小.

2x-l-V13-4x增大，因此函數(shù)/(x)=2x-1-J13-4x在其定義域上是一個單調(diào)遞

增函數(shù)，.?.當(dāng)x=?時，/(x)111ax=/(?)=￡■.故函數(shù)的值域是卜

⑶【解】

(單調(diào)性法)

函數(shù)的定義域滿足=>X..3.

Ix—3x+2...0

令乂=Jx-3,任時]>X..3,4-3-y]x-3=>0.

22-3+“2-3

yt在［3,+??)上單調(diào)遞增,令%=Jx?-3x+2,由”=/-3》+2,對稱軸x=—,

開口向上,知y2在［3,+O))上也單調(diào)遞增,從而知y=J三+&-3x+2在定義域

［3,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

的值域?yàn)椋酆?+e).

⑷【解】

換元法)

小)=0+1>=即+(#「設(shè)Hl'當(dāng)"'RS。'則

/(x)=g(f)=f2+f+1=(f+；)+［在1e(0,+力)上是增函數(shù).

.-./(x)>g(o)=i..-.函數(shù)的值域是(1,+8).

【變式訓(xùn)練2】

⑴【解】

2/(+《卜：，①

用x替代:，得2/(j—/(x)=—x,②

①x2+②，得3/(x)=_|_x=_[x+：),整理得=+③

(i)用判別式法求③的值域:令y=—1(》+2)=*+3用+2=o.：xeR且XHO,

故△...()=>/..§8

手或取一半，/(X)的值域?yàn)橐?,—平［平,+8

(ii)用基本不等式求③的值域:當(dāng)x>0時，:x+N…2亞,.?.一1卜+乙1―4區(qū)，即

x3\x)3

當(dāng)x<0時，—X>0,(—x)+—)..2-$/^,則》4—?—；?——)…!

明2后

即”.亍.

/

2721「2后)

.??/(X)的值域?yàn)橐唤幸?/p>

31[3J

\

⑵【解】

(配方法)

g(“=-;口-2/(切+J1-2/(x)+；

=_g+Jl-2/(x)+g=-g^l-2/(x)-l]2+1.

74J--------------77

由/(x)e知Jl-2/(x)e,；.g(x)的值域是

958

【核心例題2】

【變式訓(xùn)練】

(1)【解法一】(均值不等式法)

23232323

?.?8>14>0；+巳=2,.?.2=W+1..2、土二，解得盯...6,當(dāng)且僅當(dāng)一+二=2且

xyxy}Jxyxy

2_2

即x=2,y=3時;中有最小值6.

【解法二】（消元后配湊運(yùn)用均值不等式）

由一+—=2得y=,.?./（耳=盯二.

xy2（x-l）2（x-l）

3(x-1+1)2

即/(x)=

2(1)

31

…]x（2+2）=6,當(dāng)且僅當(dāng)X—1=—、，即x=2為時等號成立，此時

y=3.

【解法三】（判別式法）

3V23r2

由解法二知/.（x）=/、,令t=/、(x>1),整理得3x2-2tx+2t=Q,此方程有

2(x-l)2(1)

大于1的根的必要條件是A=4?-24J.O.

x>1,.?"…6.反之當(dāng)L..6時,方程3/一2a+2,=0的兩根都大于1.故/，迪=6（此時

x=2,y=3）.

⑵【解】

（平方后運(yùn)用基本不等式）

當(dāng)且僅當(dāng)2/=1+匕且2/+己=8,即x=?,y=叵時，等號成立.

3322

故八/6+2y的最大值為羨G.

【核心例題31

【變式訓(xùn)練1】

【解】

先確定系數(shù)a,b.由題設(shè)顯然有/（一1）=,/,（1）=0.

?.?函數(shù)/(x)=(l—n任+如+與的圖像關(guān)于直線x=-2對稱.

."./(-3)=/(-1)=0,/(-5)=/(1)=0,

信矗蹩露解得仁

即

/(x)=(1-巧卜2+8X+15)=-(X-1)(X+1)(X+3)(X+5)

=-(/+4x-5)(x?+4x+3)=-+4x)+2(x?+4x)+15=16-(/+4x-l).

可見，當(dāng)且僅當(dāng)/+4x—1=0,即x=-2土布時，/(x)的最大值為16.

【變式訓(xùn)練2】

v/(-3)=lg[(-3)2+l]=lgl0=l,.-./(/(-3))=/(l)=l+2-3=0.

當(dāng)X」時，x+--3...2Jx---3=2V2-3)當(dāng)且僅當(dāng)x=2,即x=J5時等號成立，

X\XX

此時/(X濡=2四-3<0；

2

當(dāng)X<1時，lg(f+l)...lg(o+1)=0,此時/(x)min=o.的最小值是20-3.

【變式訓(xùn)練3】

【解】

/?(X)=辛￡塞=&+左+1——2,當(dāng)且僅當(dāng)代+k=J——，即f=1—左時

等號成立.

當(dāng)上,1時，X2=l-k,X=±y/l-k時，/(x)min=2,

當(dāng)左>1時，/=]一左不成立.此時，令/=由單調(diào)性的定義

可以證明/?)是[JK+8)上的增函數(shù)..?.當(dāng)f=JE,即X=0

綜上，當(dāng)鼠1時，/(XL”=2；當(dāng)無>1時，/(嘰加=或+4r.

【核心例題4】

【變式訓(xùn)練】

【解】

由/(x)=ex-ax2-bx-l?Wg(x)=/'(x)=e，-2ax-b.gz(x)=ex-2a.

因此,當(dāng)xe［O』］時,gz(x)€［l-2a,e-2a］.

當(dāng)a，；時，g'(x)…O,r.g(x)在［0,1］上單調(diào)遞增.

因此g(x)在［0,1］上的最小值是g(0)=1-6.

當(dāng)時，g'(x)”0,g(x)在［0,1］上單調(diào)遞減.

因此g(x)在［0,1］上的最小值是g(l)=e—2a—人

1P

當(dāng)一＜a＜5時,令g'(x)=0,得x=ln(2a)e(0,1).

函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,ln(2a)］上單調(diào)遞減,在區(qū)間［ln(2a),l上單調(diào)遞增，

于是g(x)在［0,1］上的最小值是g［ln(2a)］=2a-2a\n(2a)-b.

綜上，當(dāng)a,］時，g(x)在［0,1］上的最小值是g(O)=l—b；當(dāng)］＜a＜］時，g(x)在［0,1］

上的最小值是g［ln(2")］=2"-2“l(fā)n(2a)-b;當(dāng)心.］時，g(x)在［0,1］上的最小值是

g(l)=e-2a-/＞.

第五講函數(shù)的單調(diào)性一一模型思想的運(yùn)用

【核心例題11

【變式訓(xùn)練】

(1)【證明】

/、(\/\

設(shè)L,演vW，/(玉)一/(“2)=玉----1■加一^2H----Fm=(玉_x?)1-----

<,^17\^2/\玉工2>

?/L,X1<x2,m<1,x1—x2<0,1----->0.，/'(2)<f(x2).

X\X2

：.函數(shù)/(x)在［1,+8)上為增函數(shù).

⑵【解】

g(x)=xfx+—+?2j+2x+—=x2+(m+2)x+w+—,對稱軸x=一1,定義域

Ix)222

XG［2,5］.

m+2加…-6,

一2”，=19

⑴g(x)在［2,5］上單調(diào)遞增且g(x)>0,有，19=>m>---

m>---6

g⑵>06

m+2nt,-12

(ii)g(x)在［2,5］上單調(diào)遞減且g(x)>0,有一273n無解.

[g⑸>0m>---

12

綜上，加的取值范圍為〃?>----.

6

【核心例題2】

【變式訓(xùn)練1】

⑴【解】

/⑴==/(x)-/(x)=0.x>0.

⑵【解】

/\

增函數(shù).證明如下：設(shè)0<玉<X2,則由/-=/卜)一/(力，得

\yj

/(/)-/(%)=/代.

/\

V—>1,.,./—>0.；./(》2)-/(不)>0,財(X)在(0,+8)上是增函數(shù).

x\\X17

⑶【解】

V/⑹=/閨=〃36)—/(6),；."36)=2.

原不等式化為/(X2+3x)</(36).:/(x)在(0,+s)上是增函數(shù),

x+3>0,

.-.^->0,解得0<彳<3炳—3.

x2

x2+3x<36.

【變式訓(xùn)練2】

【解】

?.?/(9)=/(x)+/(y),且〃3)=1,，2=2〃3)=〃3)+〃3)=〃9).

又〃Q)>〃以一1)+2,"。)"。一1)+/(9).

再由/(盯)=/(x)+/(y),可知/(”)>/[9(”1)].

>0,

???/(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，.一9("1)>0,解得1

a>9(a-l),

【核心例題3】

【變式訓(xùn)練1】

【解】

滿足對任意x產(chǎn)々，都有<0成立，；./(X)是減函數(shù).

X［~X2

0<a<1,

由題意xwR.<。-3<0,解得0<a,1，即.

-3)x0+4a4"

【變式訓(xùn)練2】

【解】

???/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，.?./(x)=/(-x)=/(|x|).

又/(x)在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減.

由/(bg3"?)+/(log3，)，，2/⑵，得/'(log3m)+/(Tog3〃?)”2/(2).

???/(-log3m)=/(log37M),.-./(log3/w)?/(2),.-./(|log3w|)?/(2),又；/(x)在區(qū)間

［0,+oo)上單調(diào)遞減，|log3向..2,解得加…9或0<根，］

.?〃〃的取值范圍是［。，工

u[9,+°).

【核心例題4】

【變式訓(xùn)練1］

【解】

/"(X)=(〃L2)X+〃一&0在區(qū)間p2恒成立，

/'(2)“0

；(加一2)+〃一8,,0

結(jié)合加…0,幾..0,得<2(勿2—2)+拉一8,,0,

m.,.0,A7...0

如答圖5-1所示，易知當(dāng)點(diǎn)（加/）在線段AB或BC上時，mn取最大值.

（i）當(dāng)點(diǎn)（掰,〃）落在AB上時，團(tuán)〃=加（12-2加）=-2m2+12加.可知加=3時，mn最大為

18;

（ii）當(dāng)點(diǎn)（加,〃）落在上時，加〃=加（9一gm）=-;加之+9加在［0,2］上單調(diào)遞增，可知

m=2時,mn最大為16.

綜上，mn最大為18,故選B.

【變式訓(xùn)練2】

⑴【解】

當(dāng)a=0時，函數(shù)/'（x）=-2x+l在（-8,+力）上為減函數(shù)；

當(dāng)。＞0時,拋物線/（x）=a/-2x+1開口向上,對稱軸為x=—，.?.函數(shù)/（x）在

a

1-00,1上為減函數(shù)，在L+oo］上為增函數(shù);當(dāng)。＜0時,拋物線/（力=辦2-2》+1開口

Iaa）

向下，對稱軸為x=L.

a

???函數(shù)/(X)在1-82上為增函數(shù)，在+oo]上為減函數(shù).

卜。」)

⑵【解】

/(x)=(7fx]4-1---,由一》1得L,—”3,N(ci)=—]=1---，

\aJa3ayaJa

當(dāng)L,1<2,即l<a.1時，M(a)=/(3)=9〃-5,故g(Q)=9Q+'—6;

a2a

當(dāng)2.3,即a,-時，M(a)=/⑴=a—1,故

a32

1c「11

aH---2Me—

a122,

g(a)=?+--2.：.g[a}=<

a

9aH---6,a€|一,1

a(2

(3)【證明】

當(dāng)ae時，設(shè)q,%e,一，且0<a,

3212

g(4)-=+=氏

顯然。2-6>0/——L<0,：.g(a2)<g(q)■:?函數(shù)g(a)在上為減函數(shù),

citct"f32

同理可證g(a)在上為增函數(shù).

.?.當(dāng)時,g(a)取最小值,且伍濡=故g(a)…;.

第六講函數(shù)的奇偶性一一對稱問題的求解

【核心例題1]

【變式訓(xùn)練】

⑴【解】

1_LY

由二…0,得定義域?yàn)椴?,1),關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故/(X)為非奇非偶函數(shù).

1—X

⑵【解】

當(dāng)x<0時，-x〉0,則f(~x)=(-x)2-(-x)=x2+x-/(x)；

當(dāng)X>0時,—X<0,則f(-x)=(―X)2+(-力=x2-x=f(x).

對任意》?-力,0)50，+8)都有/(-x)=/(x),故/(x)為偶函數(shù).

⑶【解】

/(X)的定義域?yàn)閧xl-1<X<1},而/(一x)=-xlg上史=xlg-~

：.f{-x)=〃x),故/(x)為偶函數(shù).

(4)【解】

由于Jl+f>X,.-.函數(shù)/(x)=lg(Vl+x2-X)的定義域?yàn)镽,對任意xeR,

1

/(一力=lg(Jl+(-x>+x)=lg(Jl+>+x)=1g—)?

Jl+X」—X

??J(x)是奇函數(shù).

【核心例題2】

【變式訓(xùn)練1】

⑴【解】

.-./（X）為奇函數(shù),且定義域?yàn)镽,../⑼=0,即1+；-2=0,.此時

2J-1

/(%)=

2A+1

2~x-l1-2、

；?/(—x)==一/6）滿足題意,故。=1.

2-A'+l1+2”

⑵【解】

???/(x)是(一1,1)上的奇函數(shù)，對任意X6(-1,1),有/(—X)+/(X)=尸+〃’+

x~—nx+1

2'+〃']=0,即(一工+加)(工2+〃％+])+(%+加乂—〃x+i)=o

/.{m-rijx1=0,解得m=n=0.

⑶【解】

???函數(shù)的定義域?yàn)?-l,l),.\/(o)=0,即一=0,??.Q=1.

f(x)='I——=~—,/?./(—x)=—/(x)滿足題意,故Q=1.

y/l-X2\Jl-X2

【變式訓(xùn)練2】

(1)【解】

f(x)是偶函數(shù),定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對稱,故有。-1=-2a,得。=；,又對于所給解析式,要

使

/(-x)=/(X)恒成立,則6=0.

⑵【解】

第⑴問，【解法一1

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且為奇函數(shù)，.../(0)=0.即log.J彳=0,；.J彳=1,

又a>0,a=.

【解法二】

函數(shù)/(x)為奇函數(shù),有l(wèi)og”卜x+Jx?+2/)=—log”(x+Jr2+2/),

.*?-x+Jx、+2a~=-----f,即_x++2a————(-x+Jx、+2a~).

X+&+2〃22戶/

得2/=1,又a>0,q=

2

第⑵問，由題意，/(x)—/(-X)=0,即xln(x+Ja+x?+xln卜x+Ja+x。)=0,

故xlntz=0恒成立，Ina=0,a=1.

【核心例題3]

【變式訓(xùn)練1】

【解】

f+1]2

、rinI，+l?/\.".，+1+2。

設(shè)，=以-1,則%=——,;./(7)=電7^—=lg———,

at--3，+1-3a

a

這是原函數(shù)，即原函數(shù)為/(x)=lg-+1+2-J(—x)=1g=[x-]-2a

')x+1-3q''-x+l-3ax-l+3a

為奇函數(shù),=

.x—1—2a(.x+1+2Q、ix+1—3QX-1—2ax+1-3u

/.lg-----------=_lg------------=lg-----------=>------------=------------,

X-1+3QIx+1-3a)x+l+2aX-1+3Qx+l+2a

x—1—2QX+1—3/7

用合分比，得/。二八十],.?.)一1-2〃=工+1—34

5a5a

故a=2,此時/(x)=1g二二,定義域?yàn)閤e(-”,一5)?(5,+力)對稱于原點(diǎn).

【變式訓(xùn)練2】

【解】

???/(X)為R上的偶函數(shù)，；./(—/+2a—5)=/+2a—5)]=/(a2-2a+5).

不等式等價于/_2a+5)</(2/+a+1).

va2-2a+5=(a-l)2+4>0,2a2+a+l=2^+^+1>0

又???/.(X)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，而偶函數(shù)的圖像關(guān)于丁軸對稱，

/(x)在區(qū)間(0,+向上單調(diào)遞減，.?.由/(/_2。+5)</Q/+a+1),

得a~—2d+5>2d~+a+1=>a~+3a—4<0=>~4<a<1.

二.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(T,l).

【變式訓(xùn)練3】

【解】

函數(shù)/。)在[一2,2]上是偶函數(shù)，；.由/(l-w)</(〃?)，可知/(|l-m|)</(|/n|).

乂?.,X…0時，/(x)是減函數(shù)，2，

解得—L風(fēng),，即me-1,1.

2[2_

【核心例題4]

【變式訓(xùn)練】

(1)證明：

?jy=/(X)是以5為周期的周期函數(shù)，

=/(4-5)=/(-1)，又歹=/(X)(-L,X,1)是奇函數(shù)，

⑵【解】

當(dāng)xe[l,4]時,由題意,可設(shè)/(x)=a(x-2)2—5(。00),由/(1)+/(4)=0,

得4(1-2)2-5+。(4一2)2-5=0,解得4=2,;./(，=2(》—2)2-5(15.X,4).

⑶【解】

?.?y=/(x)(—L,X,1)是奇函數(shù)，.?./(())=一/(一0),；./(0)=0,

又^=/(切(0“X，1)是一次函數(shù),可設(shè)/(x)=Ax(O?41).

???/(1)=2(1_2)2_5=_3,又/(1)=左、1=%,二左=_3.

/.當(dāng)Q,x?1時，/、(x)=-3x,當(dāng)一[x<0時，/(x)=-3x.

當(dāng)4”x,6時，—I,x-5?1,J(x)=/(x—5)=—3(x—5)=—3x+15.

當(dāng)6<*,9時，l<x-5?4,/(X)=/(X-5)=2[(X-5)-2]2-5=2(X-7)2-5.

,、[-3%+15,4,.6

.J+/-7八5,6訃。

第七講函數(shù)的周期性與函數(shù)的圖像變換

【核心例題11

【變式訓(xùn)練】

⑴【解】

島”(，+2)=-齊號-十=/(x).

〃x）

??.2是函數(shù)/(力的一個周期.

???/"）為奇函數(shù),，/（一；）=—/（；）=一3；，/（竿131

⑵【解】

當(dāng)2左+g<x<2%+l（左eZ）時，一g<x-2%-l<0,;.0<2A+l-x<；.

：.f[2k+\-x）=^k+'-x.

乂???f(2k+l-x)=/(I—x)==看，:/(x)=t伏eZ).

(3)【解】

不存在,理解如下:假設(shè)存在這樣的正整數(shù)k.

221

'：log3/(x)>x-kx-2k,:.x-2k-\>x-kx-2k,:.x-(A：+l)x+l<0.

d_("i)x+1<o的解集為[但當(dāng)，竺1當(dāng),

1