2023年軍隊文職考試（數(shù)學(xué)2）通關(guān)必做300題及詳解

2023年軍隊文職考試(數(shù)學(xué)2)通關(guān)必做300題及詳解

一、單選題

1.

設(shè)n維列向量組a2,dm(m<n)線性無關(guān)，則n維列向量組距,0，…,

Bm線性無關(guān)的充分必要條件是()

A向量組a”a：,a.可以由B”B；,…，B或性表示

B向量組M,PJ,B?可以由a”a；,…，a漁性表示

C向量組ai,…，a與向量組Bi,…，B,等價

D矩陣A=(ai,…，QB)與矩陣B=(pi,…，P.)B).

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析:

例如a】=(i,o,o,o),a：=(o,1,o,o),Bi=(o,o,1,o),B尸(o,o,o,

1),各自都線性無關(guān)，但它們之間不能相互線性表示，也就不可能有等價關(guān)系，排除A、B、C

項；D項，矩陣A與矩陣B等價，則它們的秩相等，故向量組Bl,82,B金戔性無關(guān).

2.下列廣義積分中發(fā)散的是:

*-fOOr+?oiC.「星也.】]

AxB.----才工

e^dx22

o01+xJoX0—X

A、A

B、B

解析：向量組線性相關(guān)的沖要條件是其中至少有一個向量可以由其余向量表示,

若向量組中任何一個向量都不能由其余向量線性表示，則它們必線性無關(guān)；反之

亦然.

A-A*

BH

C(-1)M*

D(-1尸U，

4設(shè)工為％階可逆矩陣，則(-力)*等于

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

5.設(shè)f1(x),f2(x)是二階線性齊次方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的兩

個特解，則c1f1(x)+c2f2(x)(d,c2是任意常數(shù))是該方程的通解的充

要條件為Oo

A、f1(x)千2'(x)-f2(x)f17(x)=0

B、f1(x)f2'(x)+f1'(x)f2(x)=0

C、f1(x)f2'(x)-fV(x)f2(x)于0

D、(x)f2(x)+f2(x)f1(x)右0

答案：c

要使qfi(x)+c2f2(x)是方程y"+p(x)yf+q(x)丫=唯通解,則須

滿是fl(x)，f2(x)線性無關(guān)，即ip(x)=fi(x)修(x)*k(k為常

數(shù))。則U(x)=[fi'(x)f2(x)-fi(x)f2f(x)]/f22(x)*0?即f]

解析：(x)f2(x)-fi(x)f2'(x)*0?

設(shè)向量組ai。2，…,a.線性無關(guān)01可由ai,c(2，…,a.線性表示，但阮不可由a］。2，…,a.線性表示，則0.

AAltA2,...,am

BAI,A2,...,O?I,Bj

CAi,Ag,...,AB,B1

DAj,A2,...,AB,Bi

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：

(A)不對.因?yàn)镻i可由向量組a2......a.線性表示，但不一a］.az，…?a*i淺性表示，所以

I*tt2?**?*?m-I>Bi不_因?yàn)椤癓］,Bi不62不_?

a［，。2?…,竊.瓦線性表示，所以a］，J，…，a”,一團(tuán)，阮不一關(guān)；

a

(0^5?,因?yàn)椤?不可由ai,a2?....而Bl可由。1，0(2，....所以Pi+阮小可由°4，2'??

于Ba】，a2e....a.,瓦+82^^^，國D).

abb'

A=hab

7.設(shè)三階矩陣L'ba」，若A的伴隨矩陣的秩等于1,則必有

Ava=b或a+2b=0

B、a=b或a+2b于0

CxaRb且a+2b=0

D、a=Ab且a+2b=A0

答案：c

解析：

〃.若r(A)=

9

神施陣A而需求是r(A，)，故應(yīng)以r(A?珍式為背艮tg^伴齷陣A*秩的關(guān)系式r(A)=若r(A)=〃-1,,

0?若r(A)V〃-1.

r(A*)=l<=^r(A)=2，

Sa=b,易見r(A)$L故可排除(A)、(B).

當(dāng)a#b時，A中有二階子式U"#0,若r(A)=2,凝義只需|A|=0.由于

ba

a+26a+26a+2〃

|A|=bab=(a+2fe)(a-6)2?

hba

所以應(yīng)選(C).

設(shè)行前夕(工)在(-8,+8)內(nèi)有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)/0,次r)有間斷點(diǎn)，貝11()

A3/年)%有間斷點(diǎn)

B［以切2必有間斷點(diǎn)

Cfig?)忸有間斷點(diǎn)

D洞必有間斷點(diǎn)

f{x}

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

此題<Ak(B>.(C)均不呂洌慚.實(shí)際上只須判顫D)iE確.

用反證法證明禁必行間斷點(diǎn).若雪沒有間斷點(diǎn),即為連續(xù)函數(shù).因?yàn)椤▁)連續(xù),所以

f(x)/(X)

P(x)=/(幻?啰)江純，以斜外行間斷點(diǎn)才?磔.故也(D)

f(x)

可舉反例說明其余3個選項不正確.

r(A).設(shè)雙動=廣兄=0為何斷點(diǎn)./⑶=】連續(xù)，血d/a))=i4正無問

[I.，=0

斷點(diǎn).

對r(B).設(shè)a.。]”*=。為間斷道.而m*)F=i連續(xù)，無間斷點(diǎn).

ILx>0

對RC).設(shè)per)"："/(勸=—則〃雙切=6工行=1連續(xù).無間斷胤

Lx>0

解析.從而(A)、(B).(C)必行間斷'：正確.

9.

(2005)計算由曲面2=%/工2+)2及2=口：2+y所圍成的立體體積的三次積分為:

Ar畋同；dzBj同:同；dz

C.]dd\*sinyxl^j'r^drD.j的j:sin^dq，dr

AvA

B、B

C、C

D、D

答案：A

求出投影區(qū)域Dzy

消去字母得。

利用方程組'fz,=1

xz+y

寫出在柱面坐標(biāo)系下計算立體體積的三次積分表示式。

仔<z&r

J0&r&1,dV=rdrd^dz

[0<e427r

”v=UIdV=("回網(wǎng);以

解析：n

10.若f(x)可導(dǎo)，且f(0)=1,對任意簡單閉曲線L,

p/(x)d.r+[/(x)-x;]d>-=0,則['6公!尸()。

A、2

B、4/3

C、n

D、3

答案：B

由題意可知，曲線積分小-與路徑無關(guān)，貝人0/&=

L

dP/dy,gpf'(x)-2x=f(x),解此一元微分方程得f(x)=cex-2x-2o

由f(0)=1,代入得c=3,貝肝(X)=3￥-”-2。故

]'.'V(x)dLr=j\r(3eT-2v-2)dr=g

解析:

設(shè)A,B分別為m階和n階可逆矩陣，則（：；；；）的逆矩陣為0.

答案：D

解析：

12.若級數(shù)”=）收斂，則對級數(shù)〃=】下列哪個結(jié)論正確？

A、必絕對收斂

B、必條件收斂

C、必發(fā)散

D、可能收斂，也可能發(fā)散

答案：D

e「(—D”上

解析：提示：舉例說明，級數(shù)L72」、均收斂，但級數(shù)

2(一】吟、葉

一個收斂，一個發(fā)散。

已知〃工匠區(qū)間(-00,+8)±單調(diào)遞減，則/(/+4)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A(-00,+00)

B(—8,0)

C[0,4-00)

D

13.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：

/(x:+4)為u=g(x)=x，+4與2=/(u)復(fù)合而成,g(x)=x'+4在[0,+8)單調(diào)堵.

在(-*,0)單調(diào)減.因此對于w[o,+oo),x,<x,,!Wg(xt)<g(x2),又據(jù)/(x)在區(qū)間

(TO,H)上單調(diào)遞減，將g(Q,鼠X》當(dāng)作自變量，則>/[g(X,)J,即

/(》；+??)>/(x；+4),因此/(JT+4)在[o,+=c)單調(diào)減.故選(C).

由于條件中未給出函數(shù)可導(dǎo),因此此題嚴(yán)格說來不能根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.但這是選擇意，

可將用導(dǎo)致判斷單調(diào)性作為“權(quán)宜”的方法.可以這樣設(shè)想：因?yàn)檫x擇愚答案只有一個，無

論函數(shù)可導(dǎo)不可導(dǎo).結(jié)論都一樣，這樣不您管函數(shù)/(X)在(70,+8)上可導(dǎo)，據(jù)已知，

y(x)<0!將/(x'+4)求導(dǎo)得/-卜2+4)2.顯然/'(x，+4)<0,當(dāng)xe[o,+8)時,

r(x2+4)?2x<0,則/(x'+4)單調(diào)遞減.

14.曲線y=e%(x<0),x=0,y=0所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的

體積為Oo

A、n/2

B、n/3

C、n/4

D、n

答案:A

解析：曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的圖像如下圖所示。

15.函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)是”存在的()o

A、必要條件

B、充分條件

C、充要條件

D、以上均不對

答案:B

解析：設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上可積，故B項正確。

16.設(shè)A是n階方陣，貝IJ|A|=O的必要條件是（）.

A、兩行（列）元素對應(yīng)成比例：

B、必有一行為其余行的線性組合：

C、A中有一行元素全為零：

D、任一行為其余行的線性組合.

答案：B

17.

設(shè)/是三階矩陣，有特征值1、-1、2,則下列矩陣中哪個是

可逆矩陣？

AE-A

B￡+.4

CIE-A

D2E^A

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析:

解：根據(jù)第2章所講的“核心考點(diǎn)1—兩組充分必要條件”

可知,這道題的問題可以轉(zhuǎn)化為：斤4-44-4陛川這

四個行列式中的哪個不為。?所以我們只需要算出這四個行

列式就可以了。

至于如何算這四個行列式，和上道題的方法是一樣的。

具體來說，就是利用特征值來計算。

(A)選項：設(shè)矩陣E-/的三個特征值為4、%4。

4=1-1=0、4=1-1)=2、4=1-2=-1

jE-j|=0x2x(-l)=0

(B)選項：設(shè)矩陣E+4的三個特征值為4、辦4。

\=1+1=24=1.(-1)=0、4=1+2=3

|E+j|=2x0x3=0

(C)選項：設(shè)矩陣2ET的三個特征值為4、辦4。

Ir

4=2-1=1、4=2-(-1)=3、A=2-2=0

|2￡-^|=lx3x0=0

(D)選項：設(shè)矩陣2E+4的三個特征值為4、44。

4=2+1=3、4=2+(-1)=1、4=2+2=4

|2￡+.4|=3xlx4=12#0

答案:(D)

已知函數(shù)人])在工=1處可導(dǎo)，JUin/(4=2,則/(1)等于：

,一1X.1

18.A-2B.1C.|D,-f

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：解：本題為抽象函數(shù)的不定積分?？疾椴欢ǚe分湊微分方法的應(yīng)用及是否

會應(yīng)用不定積分的

性質(zhì)]/(H)dr=f(H)+c。

|i/(a2)y，(jr2)cLr=jf'(I2)/(，)《"1?了?)

=4f?/(.r2)dr2=1[/(*)"(/)

u4-

=1?十了=:"(N)]2+c

44v選D。

jj/工2十.2出打

19.積分/+，』的值等于：

.5口510Wn

A.-ynB.-g-xCr.7nDn.口

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：提示：化為極坐標(biāo)計算。面積元素七七=r"孫工=爪041=網(wǎng)/寫出

極坐標(biāo)系下的二次積分，原式再計算。

假設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為c(x)=400+3X+X2/2,而需求函數(shù)尸=果

，其中x為產(chǎn)里(假定等于需求里)，P為價格，則其邊際利閏為()。

50

-3-x

A.反

100

B.-3—x

50

C.五一-X

100_,

D.-X

20.y[x

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

100

由于總成本函數(shù)為c(x)=400+3X+X2/2,需求函數(shù)/>=

忑，則其

100

收益函數(shù)r=1007r，利閏函數(shù)

R|xi=Pr=忑

L(x)=J?(.r)-c(x)=100,-400-3x-〈x'，邊際利閏為

d￡50，

---=-T?-3—XO

dv7r

解析:

21.非齊次線性方程組人*功中未知數(shù)個數(shù)為n,方程個數(shù)為m,系數(shù)矩陣A的秩

為r,則。.

A、r=m時，方程組AX=b有解

B、r=n時，方程組人*?有唯一解

C、m=m時，方程組AX=b有唯一解

D、rVn時，方程組AX加有無窮多解

答案：A

解析：

AI頁，由于尸m,則方程組AX=b的增廣矩陣化為階梯形矩陣時，階梯形矩陣不為。的行數(shù)為m,r

(A)=r(j)=m,所以AX=b有解；B項，當(dāng)A為方陣時方程組有唯一解的充要條件是矩陣A可

逆，即m=m=r;C項，當(dāng)即=加寸，尸(①不一定等于r,方程組不一定有解；D項，當(dāng)工<nB寸，不能

保證工(A)=r(j)=r,方程組AX=b不一定有解.

尸(、)=J—"。

22.設(shè)C'=’是連續(xù)函數(shù)，其中f(x)在x=0處連續(xù)，

f(0)=0,則C=0o

A、0

B、1

C、不存在

D、-1

答案:A

/、.f/")市,爐⑶1,、

limF(x)=lim——；-----=lim--------=-/(0)=0

解析：xT>L。.V*一口lx2'已知F(x)

limF(x)=O=C

在x=0處連續(xù)，故一o

23.設(shè)A是”階非零矩陣，且存在正整數(shù)使得A*=0,則()

A、A是對稱矩陣

B、A是實(shí)矩陣

C、A有正特征值

D、A不能對角化

答案：D

解析:

設(shè)久是A的特征值，則小是A”的特征值,由于A"=O,則r=0.所以矩陣A的特征

值都為0.下面證明矩陣A不能時角化.”階矩陣可對角化的充要條件是有〃個線性無關(guān)的構(gòu)征

向量.屬于抑征依。的忖征向量是Ax=0的非零解,Ax=0的基融解系含“r(A)個解向量.

所以A的屬于轉(zhuǎn)征值0的我性無關(guān)的鐘征向量有〃-r(A)個.因?yàn)锳W。，所以r(A)2l.進(jìn)而

有”一，(A)V〃.即得矩陣A不能對角化.

24.

設(shè)〃工/工。點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)存在(九+1)階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且r(g)=r(x0)=…=/(")(%)

，貝!J()

A當(dāng)九為奇數(shù)時，(x0,/(xo))必是曲宓/=/(x)的拐點(diǎn)

B當(dāng)九為偶數(shù)時，(10,fM)必是曲徹=/(x)的拐點(diǎn)

C當(dāng)九為奇數(shù)時，/(工應(yīng)工。點(diǎn)處必不取得極值

D當(dāng)九為偶數(shù)時，〃工應(yīng)工。點(diǎn)處必取得極值

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：

：當(dāng)n為偶數(shù)時，可設(shè)n=2則f'(Xo)=f''(Xo),而f'”(Xo)>O,則

(x0,f(x0))必為拐點(diǎn)，可用排除法.

25.下面算式中哪一個是正確的？

A.；+1=ZC.i-7=7-7D.；x；=]?工

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：c

解析：提示：本題檢查向量代數(shù)的基本概念，用到兩向量的加法、兩向量的數(shù)量

積、向量積的定義。

選項AS+]=E錯誤在于兩向量相加，利用平行四邊形法則得到平行四邊形的對角線向

量，而不等于K

選項B：；?了=%錯誤在于兩向量的數(shù)量積得一數(shù)量；?cos字=0。

選項D：；X；=；-k錯誤在于等號左邊由向量積定義求出，為一向量;右邊由數(shù)量積定義

求出，為一數(shù)量。因而兩邊不等。

選項C正確。；,7=|；||；|cosO=l,J?；==I，IICcosO=l,左邊等于右邊。

26.

設(shè)3階矩陣A=其中a邛，丫2,73均為3維行向量,且已知行列式|A|=18,

IB|=2,則行列式|A-B|等于（）

A、1

B、2

C、3

D、4

答案：B

根據(jù)題設(shè)條件可知

27.一彈簧壓縮xcm需力4x牛頓，將它從原長壓縮5cm外力所作的功為()焦耳。

A、5

B、2

C、0.5

D、0.2

答案：C

缶…甲=廣4.汨”50件頓厘米)=0.5(牛頓米)=0.5(焦耳|

斛析：.

fJxd.rdy

28.設(shè)D是以點(diǎn)0(0,0),A(1,2),B(2,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，則芍

0O

A、2/5

B、3/2

C、2/3

D、5/2

答案：B

解析：積分區(qū)域如圖所示，其中直線0A的方程為y=2x,AB的方程為丫=一*+

3,直線0B的方程為y=x/2。積分區(qū)域?yàn)镈={(x,y)|0WxW1,x/2WyW2x}

U{(x,y)|1WXW2,x/2WyW—x+3},于是

0一*+]zVO

（2005）設(shè)函數(shù)f（N）=，''，若/（1）在z=0處可導(dǎo)，則。的值是:

,七十2,7>0

A、1

B、2

C、0

D、-1

答案：D

解析提示：已知/（外在工=0處可導(dǎo)，要滿足/（0）=廣（0）。

計算y（0）-2，A（0）=iim^~/（0Ulim-=a

x-07x

A<0）=lin/⑺二/。）=啊e-十1—2=|irn￡2zil=1沛==一］

得a=-l.

若X=x(t)是由方程［一］"飛3山=0斫確定，則(d2x/dt2)lt=o之值為

A.0

B.1

C.e2

30.D.2e2

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

原方程T'：e"dr=0,兩邊對球?qū)У胠-e-*牛)=0,即

x'(t)=e*,，故x'(/j=e=2(x+l)e"「?x'(r)，又1=

-Jt

。時，0—廣、e“dz=o,貝收=0,且xyo)=e,x"⑼=2e20

解析：■

31.發(fā)報臺分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號“*”和“一”，由于受到干擾，接受

臺不能完全準(zhǔn)確收到信號，當(dāng)發(fā)報臺發(fā)出“*”時，接受臺分別以概率0.8和0.

2收到“*”和“一”；當(dāng)發(fā)報臺發(fā)出“一”時，接受臺分別以概率0.9和0.1

收到“一”和“*"，那么當(dāng)接受臺收到“*”時，發(fā)報臺發(fā)出“*”的概率是：

A、13/25

B、12/13

C、12/25

D、24/25

答案：B

解析:

提示：設(shè)人為“發(fā)出為“收到方則為“發(fā)出一”,B為“收到一、P(A)=

0.6,尸(A)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|A)=0.2,P(B!A)=0.9,P(BA)=0.1,求P(A

IB),顯然用貝葉斯公式:P(AIB)=------------P(A)P(8|A)——=.

P(A)P(BIA)+P(A)P(B|A)

幕級數(shù)，一A/+一…++…(一1<%Wl)的和是()。

32.23n

Avxsinx

?

B、1+*

C、xIn(1-x)

D、xln(1+x)

答案：D

33.已知4階行列式中第1行元素依次是-4,0,1,3,第3行元素的余子式依次

為-2,5,1,x,則x=().

A、0

B、-3

C、3

D、2

答案：c

解析：

因?yàn)榈?行元素與第3行元素的代?數(shù)?余子式對應(yīng)相乘等

-4x(-2)+0x(-5)+lxl+3x(-x)=0,求得x=3.

34.函數(shù)y=爐/在4=1處的微分是().

2

A5ed%

2

B、2e(lv

c、3e2dx

D、e&

答案：A

dy=(x3e2t)'dx=(3x2e2x+2%3e21)d%,

2

dylx=l=5edx,

解析：效應(yīng)選(A).

設(shè)曲面Z是Z=的上側(cè)，則

11xvdidz+xdzdv+x:d.vdv=《)0

35.N

A、n/2

B、n

C、4n

D、2n

答案：C

由于已知曲面不是封閉的，不能使用高斯公式，則可補(bǔ)一曲面Zi：z=

0(x2+y2<4)的下側(cè)，則其與已知曲面圍成一封閉的空間區(qū)域，記作

Q。貝

原式二||xvdrdz+xdzdx+x2d.vdr-j|.nxivdz+xdzdx+x:d.vdy

工f

(\

=|jjyd.rdidz--j[.r2d.vdr

cI>

=0+g|J(,?)dxdj=:「d8「，dr=4幾

解析:

「3仆~，.

dy/（上,“我,

36.改變積分次序J。卜，則有下列哪一式

A.jdzj

B.j<Lrj/（x,y）dj+j業(yè)[/（H，y）dy

C.[dr[/（x,>）dy

JoJ0

D.1drJ,/（x，3?）dy

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：提示：把積分區(qū)域D復(fù)原，作直線：x=6-y,x=y并求交點(diǎn)，再作出直線y

=3,y=0得到區(qū)域D,如題圖所示，改變積分順序，先3y后x,由于上面邊界曲

線是由兩個方程給出，則把D分剖成兩部分：D1、D2,然后分別按先y后x的積

分順序，寫出二次積分的形式。

37.以ykex,y2=e-3x為特解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程是:

A、y"-2y'-3y=0

B、y"+2y'-3y=0

C、y"-3y'+2y=0

D、y"+2y'+y=0

答案：B

解析:

-lr

提示:y"+23'-31y=0=>，+2廠—BuOnri=-3,廠2=1。所以y】,y2=e

B的特解，滿足條件。

I-cosTx

若函數(shù)八幻=《一m―*>°在x=0處連續(xù)，則（）

￥40

Aabf

,I

Bab=—

2

cah=0

Dab=2

38.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

解析：

由第賽）定義知lim/（x）=lim/（x）=/（0）=/>,即|加匕絲叵=人又當(dāng)*—0時，l-cos4~,（4）二代人得」-：

…1a*3ax2v72a

n為奇數(shù)

〃為偶數(shù)

39.設(shè)數(shù)列的通項為n，則當(dāng)n->8時,xn是（）。

A、無窮大量

B、無窮小量

C、有界變量

D、無界變量

答案：D

linix.=lim—=0

解析：因1c12〃

[.[.(2〃+1)~+12〃+1

hm吃e=hm----；~：------=*

-〃+1故n->8時，xn是無界變

量。

40.

:

設(shè)總體X?-V(4/~-V(zr=o-)3檢驗(yàn)假設(shè)4:蘇=元H]:dH公a=040,從X中抽

取容量為n：=12的樣本，從Y中抽取容量為n：=10的樣本，算的S；=11804,S；：=31.93,正確

的檢驗(yàn)方法與結(jié)論是()。

A、用t檢驗(yàn)法，臨界值乜[(17)=2.11,拒絕H：

B、用陶驗(yàn)法，臨界值F：：式11,9)=3.10,9)=0.35,拒絕H：

C、用臉喊法，臨界值F：m(11,9)=0.35,F：：：(11,9)=3.10,接受比

D、用臉驗(yàn)法，臨界值F：二(11,9)=5.18,F：=?(11,9)=0.21,接受H：

答案：B

解析：

這是兩個正態(tài)總體方差相等的檢驗(yàn)問題，其中，口:，未知，故應(yīng)使用臉驗(yàn)法，所用統(tǒng)計量為

尸=W~F(丐_L”-1)

W、，

由于F.(凸—L々-1)=人儂(1L9)=3.10

加雪=”3=3.7]>3」0

S；31.93

故拒絕H：.

任?！?

dt

41.設(shè)f(x)=J。Jodu,g(x)=Jo(1-cost)dt,則當(dāng)xTO時,f(x)是g(x)的()

A、低階無窮小

B、高階無窮小

C、等價無窮小

D、同階但非等價的無窮小

答案：A

解析:

//、xln(1+u2)duln(1-ru2)d?

lim^2=limo

由LOxnLOnx

..ln(l+x)

=hm-------------TT

LOn(n-2)JT"

1工

3

得n=5,即x-0時，y(x)?—x；

2XCOSJCZ[1-cos(siar2)]sinzx2..1

lim------------------m---1--------------lim荔3=如前

LOLOmxx-*0

g(x)?a?工6,故x-0時，f(x)是g(x)的低階無窮小，應(yīng)選(A).

6

42.設(shè)A,B為n階矩陣,則下列結(jié)論正確的是0.

A、若A,B可逆,則A+B可逆

B、若A,B可逆，則AB可逆

G若A+B可逆，則A-B可逆

D、若A+B可逆，則A,B都可逆

答案：B

解析：若析B可逆,則|A|HO,|B|￥0,又|AB|=|A||B|,所以|AB|HO,于是

AB可逆,選(B).

43.設(shè)向量組。卜a?、Clj線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是()

AQi+ci：,aja”aj-Gi

Bai+a；,ar+a：,ai+2a：+a

cai+2a2,2a：+3a,,3as+ai

Daj+a^a：,2ar3a^22a3,saj+Ba-Ba：

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

解析:

Ai頁，因as-ai=(az+a3)-(ai+az)，故瀕線性相關(guān)；B項，因a1+2a2+a?=

(a1+0,2)+(CLj+Qs),故B項線性相關(guān)；C項,設(shè)存在數(shù)ki,k2,kj,使ki(Q1+20.2)+kj

(2Cl2+3Cl3)+kj(3Q3+Cl1)=0即(ki+kj)Cl1+(2ki+2k;)Cl；+(3k:+3k3)0,3=0

由a】、a?、a3線性無關(guān)得%+&=0其系數(shù)行列式為|A|=101=12力0

?次+2A2=022C

3&+3&=0033

解得k“kz,ks全為0,故此向量由線性無關(guān)；D項,

由于:23，故方程組AX=。有非

1-350

122-5

零解，即向量組ai+ctz+a”2a1-3。葉22。3,3a1+5a「5a：線性相關(guān).

44.函數(shù)尸，/+心「'+乂/滿足的一個微分方程是（）。

A、丫"7-2y=3xex

B、7-y,-2y=3ex

C、y"+y'_2y=3xex

D、y"+y'-2y=3e/

答案:D

解析：y=C1ex+C2e-2x+xex是某二階線性常系數(shù)非齊次方程的通解，相應(yīng)的齊次

方程的特征根入1=1,入2=-2,特征方程應(yīng)是（入7）（入+2）=0,于是相應(yīng)的齊次

方程是y〃+y'-2y=0。在C與D中，方程y〃+y'-2y=3ex,有形如y*=Axex的

特解（此處eax中a=1是單特征根）。

x4sin-+e*-e-1-2x

lim---------——-------------=

45.x-csinx

A、3/4

B、1

C、2/3

D、1/3

答案：D

4.1

xsin-

原式=lim-----r->時,sinx

X-?0Y3

..e-e-lx八「e.e

=limxsm—+hm-------；-------=0+hm---------；-----

XTOXx-*0X，x-?03x*

x——X—Xi——xi

「eA—e「e+e1

=lim-----------lim--------=-

解析：一06.vxv63

46設(shè)Q=|x|0SxW2=則/示為（）。

?Jx|lW：

c、-J.,--

[x]0Sx<g}U?x-<x<1

D、2-、3

答案：C

本題利用畫數(shù)軸的方法，求交集_f

x=<XXJ>U卜|x>"

所以—f|13

AB=x-<x<—>U>

解析：-142J、2j

?：sinna1

設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù)工()。

A、絕對收斂

B、條件收斂

C、發(fā)散

D、收斂性與a的取值有關(guān)

答案：C

解析：

因級數(shù)￡sin|鹿)的一般項sin(咽＜1＞且三1收斂，故￡sin(7?4)收斂;

￡“點(diǎn)丁ka"￡『

又顯然(1發(fā)散，根據(jù)級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，級敷q/siiMM)1、必發(fā)散

公忑-M5—苑

獷(，出=-----

48.設(shè)函數(shù),則()。

A、x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)

B、x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)

C、x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn)

D、x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn)

答案：D

limf(x)=lim---=oc

°e7-1-1

limf(x)=lim-—=-1

x-*r—

e4i-1

limf(x)=lim———=0

解析：因1e。-1故x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn),

X

=1是f(X)的第一類間斷點(diǎn)。

xw0

49.若f（x）是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且f（0）=0,設(shè)x=0

貝|］久(0)=()o

A、f'(0)

B、f'(0)/3

C、1

D、1/3

答案：B

r”(x)，(0)J；丁(板

“、(0)，=lxi-mM)--------x---------=lxi-m>0———￡：-----

y(x)../(x)l/(x)-/(o)1

=rlim-----=lim-----------=—lrim------------------=-/0)

解析：xa3.Vxz3x.v3

50.

設(shè)/（工）在（一OO,+8）內(nèi)可導(dǎo),且對任意工1，工2，，1>12時,都有/（11）>/（工2），則（）?

A對任意工，（（工）>o

B對任怠工,r（一工）wo

C函數(shù)/（一工彈調(diào)增加

D函數(shù)一/（一工彈調(diào)增加

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：

解.(a)反例：/(x)=x3,有/'(0)=0

例:/(x)=/,/(-x)=-X3單調(diào)減少；排除(a),(t

令F(X)=—f(—X),XI>X2,-X1<—X2.所以F(xi)：

如果導(dǎo)式\f(z)eTdz=-eT+c,則函數(shù)f(z)等于：

51.」

A.一?-B.一■72C.—Du—

zx,x'x2

A、A

B、B

C、0

D、D

答案：B

解析：提示：兩邊對x求導(dǎo)，解出f(x)。

52.曲線y=lnx,y=Ina,y=Inb(0<a<b)及y軸所圍圖形的面積為()。

b

A.In^dr

Jtea

B.J：exdr

C.jlnxdx

D.[edr

Jlna"

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

fln3

edv

解析：由y=lnx,y=lna,y=Inb(OVaVb)及y軸所圍圖形的面積為J必白

53.下列廣義積分中發(fā)散的是()。

A、,Bx\j\nx

fln^ch

B、小1-X

「1d

c、LVZTT

答案：A

[歷-~dr=|Jn(1-xy(1-x)=[(1-x)In(1-x)]+].於=1

“1—人"

產(chǎn)1,與產(chǎn)1.斂散性一致,故收斂.

,收斂

.1氐一1.“云—

1X+XK

L3TCt3nL—L

/20。20

1+UJ

解析」「京￥=『("姬"小"L|+X,發(fā)歌

2Vinx=+oc

54設(shè)%，。2,…,%是?組〃維向量，則卜.列正確的是

A甘6.a??…,見不線件相關(guān)，就一定線性無關(guān)；

B如果存存$個不全為零的數(shù)k；使

4生+自Q?+——+勺%=0,則%.%.….明線性無關(guān)一

C若向量組％..見線性相關(guān)，則必可由。2,…,見

線性表示；

D向量組%。2?巴線性無關(guān)的充要條件足必不能

山區(qū)余$-1個向量線性表示.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

55.

設(shè)AEB是由點(diǎn)AQ1,0)沿上半圓產(chǎn)經(jīng)點(diǎn)E(0,1)到點(diǎn)B(l,0),則曲線積

分/=()。

A、0

B、2

c、2Vdx

D、23k

答案：C

解析：積分曲線關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)不含x,即關(guān)于x為偶函數(shù)。

56.有一群人受某種疾病感染患病的占20%?，F(xiàn)隨機(jī)地從他們中抽50人，則其中

患病人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差是()o

Av25和8

B、10和2.8

G25和64

D、10和8

答案：D

(120]

4=210

列矩陣中與100"

F合同的矩陣是

57.

010

oo

01o

,00-1

C(1001

0-10

、00-1>

f-1001

D

0-10

、00-1

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：

解：由于此題所給的矩陣A以及四個選項中所給的矩陣都

是對稱矩陣，所以可以用充分必要條件來做。

本題所給的矩陣A對應(yīng)的二次型/，=*+￥+$+4卬2,我們現(xiàn)

在要把這個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。用正交變換法或者用配方法

都可以，就用配方法吧。

fi=x；+x：+x；+4xrt

2

=(.V,+2x;)-3.Xj+Xj

'.Vj=XX+2X2

必=叼

令卜=天

所以二次型力化為標(biāo)準(zhǔn)形以后得￡，'r；-3￥+y；,正慣性指數(shù)

為2.負(fù)慣性指數(shù)為1。

好?然后我們來看四個選項中所給的矩陣。這道題非常簡單.

簡單之處就在于：四個選項中所給的矩陣所對應(yīng)的二次型本

身就是標(biāo)準(zhǔn)形！不用再化了！

那么現(xiàn)在,我們就把這四個選項中所給的矩陣寫為對應(yīng)的標(biāo)

準(zhǔn)形吧。

選項中所給的矩陣對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形為：M+U+寸，正慣性指數(shù)

為3,負(fù)慣性指數(shù)為0。

選項中所給的矩陣對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形為：*+4一寸，正慣性指數(shù)

為2,負(fù)慣性指數(shù)為1。

選項中所給的矩陣對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形為：—正慣性指數(shù)

為1，負(fù)慣性指數(shù)為2。

選項中所給的矩陣對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形為：-*-$-￡?正慣性指數(shù)

為0,負(fù)慣性指數(shù)為3。

而標(biāo)準(zhǔn)形￡=貨一34+只的正慣性指數(shù)為2.負(fù)慣性指數(shù)為1.

由對稱矩陣合同的充分必要條件可知，（B）選項為正確選

項。

答案：（B）。

設(shè)A為n階可逆矩陣，入為A的特征值，則A，的一個特征值為0.

Bf

CA|A|

DA|A|-,

58.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

因?yàn)槿嗣?，BflUXwO,令A(yù)X=AX,3IJA?AX=AA*X,從而有A*X=IA1*，國B).

解析:

設(shè)矩陳4=121,A*為鋤伴隨矩陳，獻(xiàn)(1,1,1)T+A*(1,2,1)T

J13,

+A”(1,1,3)T=()o

A.(2,4,4)T

B.(7,6,2)T

C.(1,3,2)T

T

59D.(2,