專題05 一元二次方程【考點(diǎn)精講】（原卷版）

專題05一元二次方程一、一元二次方程一元二次方程概念（1）只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，且系數(shù)不為0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項(xiàng)，bx叫做一次項(xiàng)，c叫做常數(shù)項(xiàng)，a是二次項(xiàng)的系數(shù)，b是一次項(xiàng)的系數(shù)，注意a≠0.解法（降次）①直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，用直接開平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為因式分解法:將方程右邊化為0，左邊化為兩個(gè)一次因式的積，令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程就得到原方程的解根的判別式（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

（3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.根與系數(shù)的關(guān)系如果關(guān)于的一元二次方程的兩根（當(dāng)）為,,那么有【擴(kuò)展】一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的兩類應(yīng)用（1）求含有兩根的代數(shù)式的值：設(shè)法將所求代數(shù)式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果（2）構(gòu)造以兩數(shù)為根的一元二次方程：:由已知兩數(shù)x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫出方程【考點(diǎn)1】一元二次方程的概念【例1】若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例2】將一元二次方程化為一般形式后，其中二次項(xiàng)系數(shù)為______，一次項(xiàng)系數(shù)為________，常數(shù)項(xiàng)為________．1．（2022·遼寧·阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列方程中，一定是關(guān)于的一元二次方程的是（）A． B．C． D．2．（2022·福建·龍巖蓮東中學(xué)九年級(jí)期中）一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．3，1 B．3， C．6，1 D．，3．（2022·江蘇·東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A． B． C． D．2【考點(diǎn)2】一元二次方程的解法【例3】用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【例4】（2022·黑龍江齊齊哈爾）解方程：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法選擇（1）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開平法（2）當(dāng)c=0時(shí)，首選因式分解法或配方法（3）當(dāng)a=1,b≠0,c≠0時(shí)，首選配方法或因式分解法（4）當(dāng)a≠1,b≠0,c≠0時(shí)，首選公式法或因式分解法1．（2022·江蘇南京·九年級(jí)階段練習(xí)）觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程的一個(gè)近似解為（）x4.674.614.564.514.464.414.35A． B． C． D．2．（2022·云南）方程2x2+1=3x的解為________．3．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)九年級(jí)期中）設(shè)，分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則_________．4．（2021·山東棗莊市·中考真題）若等腰三角形的一邊長是4，另兩邊的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則的值為______．5．（2022·四川涼山）解方程：x2－2x－3＝0【考點(diǎn)3】一元二次方程的判別式【例5】（2021·北京）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求的值．一元二次方程根的判別式：ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式是b2-4ac.（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

（3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.1．（2022·湖南懷化）下列一元二次方程有實(shí)數(shù)解的是（）A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝02．（2022·浙江溫州）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（

）A．36 B． C．9 D．3．（2022·山東濱州）一元二次方程的根的情況為（

）A．無實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．不能判定【考點(diǎn)4】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【例6】（2022·湖北隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，．(1)求k的取值范圍；(2)若，求k的值．1．（2022·北京市第三十五中學(xué)九年級(jí)期中）已知、是一元二次方程的兩個(gè)根，則______，______．2．（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為___________．3．（2022·湖北十堰）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．4．（2021·湖北黃石市·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、，且，求的值．【考點(diǎn)5】方程運(yùn)用1：增長率問題【例7】（2021·湖南張家界市·中考真題）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動(dòng)，我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動(dòng)基地．據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人．（1）求這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率；（2）按照這個(gè)增長率，預(yù)計(jì)6月份的參觀人數(shù)是多少？1．（2022·新疆）臨近春節(jié)的三個(gè)月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個(gè)月的銷售額為8萬元，第三個(gè)月的銷售額為11.52萬元，設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·重慶）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·四川眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【考點(diǎn)6】方程運(yùn)用2：利潤問題【例8】（2021·山東濟(jì)寧市·中考真題）某商場(chǎng)購進(jìn)甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場(chǎng)又購進(jìn)一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，平均每天可以多賣出20箱，那么當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)利潤最大？最大利潤是多少？1．（2022·山東青島·九年級(jí)期中）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在40元至60元之間，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)．（1）若（個(gè)）表示這種臺(tái)燈平均每月的銷量，（元）表示這種臺(tái)燈的售價(jià)，求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了實(shí)現(xiàn)平均每月12000元的銷售利潤，求這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少元．2.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2019年該類服裝的出廠價(jià)是200元/件，2020年，2021年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年該類服裝的出廠價(jià)調(diào)整為162元/件．（1）這兩年此類服裝的出廠價(jià)下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商場(chǎng)從該服裝廠以出廠價(jià)購進(jìn)若干件此類服裝，以200元/件銷售時(shí)，平均每天可銷售20件．為了減少庫存，商場(chǎng)決定降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，單價(jià)應(yīng)降低多少元?【考點(diǎn)7】方程運(yùn)用3：贈(zèng)送禮物【例9】（2022·黑龍江）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（

）A．8 B．10 C．7 D．91．臺(tái)山某學(xué)校某個(gè)宿舍同學(xué)畢業(yè)時(shí)都將自己的照片向全宿舍其他同學(xué)各送一張表示留念，全宿舍共送56張照片，設(shè)該宿舍共有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（

）A． B． C． D．2．某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共要比賽36場(chǎng)，則參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)8】方程運(yùn)用4：傳播問題【例10】雞瘟是一種傳播速度很快的傳染病，一輪傳染為一天的時(shí)間，某養(yǎng)雞場(chǎng)于某日發(fā)現(xiàn)一例雞瘟病例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種?。裘坷‰u傳染健康雞的只數(shù)均相同，則每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為（）A．11只 B．12只 C．13只 D．14只1．由于許多國外國家直接放開防空政策，導(dǎo)致新冠肺炎疫情至今沒能得到緩解，疫情難以消停.新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未盡進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同），則每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了__________人.2．已知3人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后，患流感總?cè)藬?shù)為108人，則平均每人每輪感染_____個(gè)人．【考點(diǎn)9】方程運(yùn)用5：幾何問題【例11】（2022·福建·龍巖蓮東中學(xué)九年級(jí)期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十四步，問闊及長各幾步．”意思是，一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長共60步，問它的寬和長各多少步？1．《生物多樣性公約》第十五次締約方大會(huì)（COP15）將于2021年10月11日至24日在云南省昆明市舉辦．昆明某景觀園林公司為迎接大會(huì)召開，計(jì)劃在一個(gè)長35米、寬20米的矩形場(chǎng)地上要開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），其余部分種植草坪，草坪面積為627平方米．設(shè)小道的寬為x米，則可列方程為________．2．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，用一段長為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的