圓錐曲線中的證明、探索性問(wèn)題課件高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線中的證明、探索性問(wèn)題考點(diǎn)一證明問(wèn)題例1(2024福建漳州一模)已知過(guò)點(diǎn)F1(-1,0)的直線l與圓F2:(x-1)2+y2=16相交于G,H兩點(diǎn),線段GH的中點(diǎn)為E,過(guò)線段GF1的中點(diǎn)F且平行于EF2的直線交GF2于點(diǎn)P,記點(diǎn)P的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)若A,B為軌跡C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且均不在y軸上,點(diǎn)M滿足(λ,μ∈R),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.①點(diǎn)M在軌跡C上;②直線OA與OB的斜率之積為-;③λ2+μ2=1.(1)解

如圖,由題意可知,圓F2:(x-1)2+y2=16的圓心為F2(1,0),半徑r=4,由題意可知,直線GH斜率不為0,即P不在x軸上,因?yàn)镋為GH的中點(diǎn),則GH⊥EF2,又因?yàn)镕P∥EF2,則GH⊥FP,即FP為線段GF1的中垂線,則|PG|=|PF1|,可得|PF1|+|PF2|=|PG|+|PF2|=|GF2|=4>2=|F1F2|,由橢圓定義可知,點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,且不包含長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn),則a=2,c=1,可得(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)雙曲線C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,A2,T為直線l:x=1上的動(dòng)點(diǎn),且T不在x軸上,直線TA1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M,直線TA2與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,直線MN與x軸的交點(diǎn)為P,直線l與MN的交點(diǎn)為Q,證明:則lMN:x=my+4,所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,0).考點(diǎn)二探索性問(wèn)題且左焦點(diǎn)F到漸近線的距離為

.過(guò)點(diǎn)F作直線l1,l2分別交雙曲線E于A,B和C,D,且線段AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l1,l2斜率的乘積為-,試探究:是否存在定圓T,使得直線MN被圓T截得的弦長(zhǎng)恒為4?若存在,請(qǐng)求出圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)如圖,由(1)知F(-3,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線l1:y=k1(x+3),l2:y=k2(x+3),則kMT=kNT,所以M,T,N三點(diǎn)共線.綜上,直線MN過(guò)定點(diǎn)T(2,0).所以存在定圓T:(x-2)2+y2=4,使得直線MN被圓T截得的弦長(zhǎng)恒為4.此時(shí)直線MN:x=2也經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0).故直線MN過(guò)定點(diǎn)T(2,0).所以存在定圓T:(x-2)2+y2=4,使得直線MN被圓T截得的弦長(zhǎng)恒為4.(1)求橢圓C的方程;(2)直線l與橢圓C交于不同的M,N兩點(diǎn),且直線OM,MN,ON的斜