數(shù)學(xué)高考考熱點(diǎn)- 近五年高考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)分類匯編9講之7-平面解析幾何

考點(diǎn)7平面解析幾何——五年（2020—2024）高考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)分類匯編學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．[2021年全國(guó)高考真題]若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則()A.1 B.2 C. D.41．答案：B解析：本題考查點(diǎn)到直線的距離及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).拋物線的焦點(diǎn)為.由題意，得，解得.2．[2021年全國(guó)高考真題]已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為()A.13 B.12 C.9 D.62．答案：C解析：由題意可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為9，故選C.3．[2023年全國(guó)高考真題]設(shè)橢圓，的離心率分別為，.若，則()A. B. C. D.3．答案：A解析：由橢圓的方程知離心率，由橢圓的方程知.又，即，化簡(jiǎn)得，，，.故選A.4．[2024年全國(guó)高考真題]已知曲線，從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為()A. B.C. D.4．答案：A解析：設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，所以，即，所以線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為，故選A.5．[2023年全國(guó)高考真題]過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則()A.1 B. C. D.5．答案：B解析：設(shè)圓為圓C，化簡(jiǎn)得，圓心為，半徑.如圖，設(shè)，則，，易知，則，所以.故選B.6．[2023年全國(guó)高考真題]已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,直線與C交于A,B兩點(diǎn),若面積是面積的2倍,則().A. B. C. D.6．答案：C解析：將直線與橢圓聯(lián)立,消去y可得,因?yàn)橹本€與橢圓相交于A,B點(diǎn),則,解得,設(shè)到的距離,到距離,易知,,則,,,解得或（舍去）,故選：C.二、多項(xiàng)選擇題7．[2021年全國(guó)高考真題]已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，，則()A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C.當(dāng)最小時(shí)， D.當(dāng)最大時(shí)，7．答案：ACD解析：設(shè)圓的圓心為，由題知直線AB的方程為，即，則圓心M到直線AB的距離，所以直線AB與圓M相離，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為，，故A正確.點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為，，故B不正確.過點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P與N重合，，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)P與Q重合，，故C，D正確.8．[2022年全國(guó)高考真題]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn).若，則()A.直線AB的斜率為 B.C. D.8．答案：ACD解析：由，可知.代入，得（負(fù)值已舍去）.，直線AB的方程為.聯(lián)立，得，則，得，則.故，，，.選項(xiàng)A，，故正確.選項(xiàng)B，，故錯(cuò)誤.選項(xiàng)C，，故正確.選項(xiàng)D，易得，，，.因?yàn)椋詾殁g角.因?yàn)?，所以為鈍角，所以，故正確.選ACD.9．[2024年全國(guó)高考真題]設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶，其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足：橫坐標(biāo)大于-2，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則()A.B.點(diǎn)在C上C.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，9．答案：ABD解析：因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)O在曲線C上，所以，又，所以，所以A正確.因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為，所以點(diǎn)在曲線C上，所以B正確.設(shè)（，）是曲線C在第一象限的點(diǎn)，則有，所以，令，則，因?yàn)?，且，所以函?shù)在附近單調(diào)遞減，即必定存在一小區(qū)間使得單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上均有，所以縱坐標(biāo)的最大值一定大于1，所以C錯(cuò)誤.因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以且，得，所以，所以D正確.綜上，選ABD.10．[2022年全國(guó)高考真題]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則()A.C的準(zhǔn)線為 B.直線AB與C相切C. D.10．答案：BCD解析：對(duì)于A，由點(diǎn)在拋物線C上，得，解得，則C的準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得直線AB的斜率，所以直線AB的方程為，由得，解得.將代入，得，所以切點(diǎn)為，即為A點(diǎn)，所以直線AB與C相切，故B正確.對(duì)于C，由于直線PQ的斜率一定存在，設(shè)直線PQ的方程為，由得，所以，則，所以（其中為與的夾角），又，所以，故C正確.對(duì)于D，由C知，由B選項(xiàng)知，所以.又，所以，故D正確.故選BCD.三、填空題11．[2024年全國(guó)高考真題]設(shè)雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為__________.11．答案：解析：法一：由及雙曲線的對(duì)稱性得，因?yàn)椋?，，所以，，則C的離心率.法二：因?yàn)?，所以，所以，又，所以，得，所以，得，所以C的離心率.12．[2021年全國(guó)高考真題]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且.若，則C的準(zhǔn)線方程為_____.12．答案：解析：本題考查拋物線的圖象與性質(zhì).因?yàn)檩S，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（假設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)P在x軸下方同理）.因?yàn)椋?，所以，即，所以，解得，所以C的準(zhǔn)線方程為.13．[2023年全國(guó)高考真題]已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，，則C的離心率為__________.13．答案：解析：法一：建立如圖所示的坐標(biāo)系，依題意設(shè)，，.由，得.又，且，，則，所以.又點(diǎn)A在雙曲線C上，則，整理得，將，代入，得，即，解得或（舍去），故.法二：由得，設(shè)，則，.由雙曲線的對(duì)稱性可得，由雙曲線的定義可得.設(shè)，則，所以，解得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，可得.14．[2022年全國(guó)高考真題]已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則l的方程為__________.14．答案：解析：法一：設(shè)直線l的方程為，則點(diǎn)，（，）.設(shè)，（，）.由題意知線段AB與線段MN有相同的中點(diǎn)，所以即又因?yàn)?，所?將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得兩式相減，得，整理得，則，則①.又，所以由勾股定理，得②.聯(lián)立①②，結(jié)合，，解得所以直線l的方程為，即.法二：設(shè)E為AB的中點(diǎn)，由題意知，點(diǎn)E既是線段AB的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因?yàn)?，所?聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得.其中，，所以AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，又，所以.因?yàn)椋?，所以，又，解得，所以直線，即.15．[2023秋·高二·遼寧沈陽·月考?？糫已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為.過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是__________.15．答案：13解析：設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn).如圖，連接，，.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以橢圓C的方程為，且為等邊三角形，則直線DE的斜率.由直線DE垂直平分線段得，，，則的周長(zhǎng)等價(jià)于.設(shè)，，又直線DE的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，則，.由弦長(zhǎng)公式，得，即.所以的周長(zhǎng)為.16．[2022年全國(guó)高考真題]設(shè)點(diǎn)，，若直線AB關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是___________.16．答案：解析：方法一：由題意知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.由題意知圓的圓心為，半徑為1，又直線與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，整理得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.方法二：因?yàn)橹本€AB關(guān)于對(duì)稱的直線也與直線AB關(guān)于y軸對(duì)稱，圓關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為，由題意知該圓與直線AB有公共點(diǎn).直線AB的方程為，即.又圓的圓心為，半徑為1，所以圓心到直線AB的距離，整理得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.四、解答題17．[2024年全國(guó)高考真題]已知和為橢圓上兩點(diǎn).（1）求C的離心率；（2）若過P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求l的方程.17．答案：（1）（2）或解析：（1）由題知，解得，，的離心率.（2），設(shè)點(diǎn)B到直線PA的距離為h，則的面積為，解得.易知直線，設(shè)，則，解得或，或，故或.18．[2023年全國(guó)高考真題]已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上.18．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）因?yàn)殡p曲線C的左焦點(diǎn)為，所以.由離心率，得，所以，所以C的方程為.（2）證明：設(shè)（，），，顯然直線MN的斜率不為0，故設(shè)直線MN的方程為.因?yàn)?，，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立消去y得.聯(lián)立消去x整理得，則，，則，，所以，所以，所以，解得，所以點(diǎn)P在定直線上.19．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求C的方程：（2）點(diǎn)M，N在C上，且，，D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值.（1）答案：解析：由題意可得：，解得：，，故橢圓方程為：.（2）答案：證明見解析解析：設(shè)點(diǎn)，，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去y并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù)，代入整理可得：，所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過點(diǎn).令Q為的中點(diǎn)，即，若D與P不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若D與P重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.19．[2021年全國(guó)高考真題]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.19．答案：（1）（2）0解析：（1）由雙曲線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，且，，所以，，所以C的方程為.（2）設(shè)，，，且，由題知，直線AB與直線PQ的斜率都存在且不相等，設(shè)直線AB的方程為.聯(lián)立消去y并整理得.又直線AB與曲線C必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，，所以，.所以.設(shè)直線PQ的方程為，同理可得.因?yàn)?，即，所以，所以或（舍去），所以，即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.20．[2023年全國(guó)高考真題]在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于.20．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，依題意得，化簡(jiǎn)得，所以W的方程為.（2）證明：設(shè)矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在W上，則，矩形ABCD的周長(zhǎng)為.設(shè)，依題意知直線AB不與兩坐標(biāo)軸平行，故可設(shè)直線AB的方程為，不妨設(shè)，與聯(lián)立，得，則，所以.設(shè)，所以，所以，所以，，且，所以.因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減或是常函數(shù)（當(dāng)時(shí)是常函數(shù)），函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，又，所以.令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，又，所以.令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.綜上，矩形ABCD的周長(zhǎng)大于.21．[2022年全國(guó)高考真題]已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為.（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，在C上，且，.過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在AB上；②；③.21．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）由題意得①.雙曲線的漸近線方程為，②.又③，聯(lián)立①②③解得，，雙曲線C的方程為.（2）設(shè)直線PQ的方程為，由點(diǎn)P，Q的相對(duì)位置可知，且.將直線PQ的方程代入C的方程得，則，，.又，，，則.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則兩式相減，得.又，，解得.兩式相加，得.，，解得，因此，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中k為直線PQ的斜率.若選條件①②，則證明③：由題知直線AB的方程為，設(shè)，，不妨取點(diǎn)A在第一象限，則解得同理可