【高考重難點(diǎn)大題專題練】專題5之5 直線與與圓錐曲線中的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)及相關(guān)范圍問(wèn)題（解析）

專題五直線與與圓錐曲線中的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)及相關(guān)范圍問(wèn)題答案解析17、【解答】解：（1）由題意可知，c＝1，，∵a2＝b2+c2，∴，∴橢圓的方程為．（2）設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，則，∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，∴，，∴，∴為定值．18、【解答】解：（1）∵橢圓中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F（0，），∴設(shè)橢圓為，（a＞b＞0），a2＝b2+c2＝b2+50，①把y＝3x﹣2代入橢圓方程，得a2x2+b2（3x﹣2）2＝a2b2，（a2+9b2）x2﹣12b2x+4b2﹣a2b2＝0，∵橢圓被直線l：y＝3x﹣2截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∴，整理，得a2＝3b2，②由①②解得：a2＝75，b2＝25，∴橢圓為：．（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，9）的直線為l，①若斜率k不存在，直線l方程為x＝0，與橢圓交點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)（0，）和下頂點(diǎn)（0，﹣）；②若斜率k＝0，直線l方程為y＝9，與橢圓無(wú)交點(diǎn)；③若斜率k存在且不為0時(shí)，直線l的方程為：y＝kx+9，k≠0聯(lián)立，得（3+k2）x2+18kx+6＝0，△＝（18k）2﹣24（3+k2）≥0，解得或．綜上所述：直線的斜率k的取值范圍或或k不存在．19、【詳解】（1）直線l過(guò)點(diǎn)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為．設(shè)，，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是方程組的解．將①代入②并化簡(jiǎn)得，所以于是，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則消去參數(shù)k得，③當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）點(diǎn)P的軌跡方變形為，知，即．所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．20、【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率為，所以其中，解得所以橢圓方程為．（2）因?yàn)榈慕瞧椒志€與軸垂直，所以．設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，設(shè)，由得．則，所以，代入得．即，同理可得．所以．則在直線上，所以的最小值為到直線的距離．即，此時(shí)在橢圓內(nèi)，所以的最小值為．21、【詳解】（1）將代入拋物線方程得，所以拋物線方程為；（2）設(shè)，由于，由重心坐標(biāo)公式得，化簡(jiǎn)得，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）設(shè)所在直線斜率為，將代入拋物線方程得，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，解得，所以直線的方程為，即.22、【解析】（1）由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程：，設(shè)，由拋物線的方程可得，所以在處的切線的斜率為：，所以在處的切線方程為：，令，可得，即，所以，而到準(zhǔn)線的距離，由拋物線的性質(zhì)可得所以，，可證得：.（2）設(shè)直線的方程為：，，，直線與拋物線聯(lián)立，整理可得：，，即，，，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，所以線段的中垂線方程為：，由題意中垂線過(guò)，所以，即，①由拋物線的性質(zhì)可得：，所以，即，②設(shè)，，的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓與直線的相交弦長(zhǎng)的平方為：，要使以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值則可得，時(shí)相交弦長(zhǎng)的平方為定值，即所以到直線的距離為：，而