廣東省大灣區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷（含答案）

廣東省大灣區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．直線x+3A．π3 B．5π6 C．?32．已知a＝(1，－2，1)，a?b＝(－1，2，－1)，則A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)3．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m4．圖1是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是（）A．66 B．91 C．107 D．1205．已知直線l1：3x?4y+7=0與直線l2：A．1 B．2 C．3 D．46．已知等差數(shù)列{an}中，a3+A．1010 B．1011 C．2021 D．20227．如圖，ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足AP=A．34 B．45 C．568．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：F1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從F2發(fā)出的光線m射在雙曲線右支上一點(diǎn)P，經(jīng)點(diǎn)P反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)F1；當(dāng)P異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分∠F1PA．射線n所在直線的斜率為k，則k∈(?B．當(dāng)m⊥n時(shí)，|PC．當(dāng)n過(guò)點(diǎn)Q(7，5)時(shí)，光由F2到P再到D．若T(1，0)，直線PT與C二、多選題9．若橢圓的焦點(diǎn)為F1(?c，0)，F(xiàn)2(c，A．(x+c)2+yC．(x?c)2+y10．從高一某班抽三名學(xué)生(抽到男女同學(xué)的可能性相同)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件A為“三名學(xué)生都是女生”，事件B為“三名學(xué)生都是男生”，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，事件D為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下正確的是（）A．P(A)=18C．P(C)≠P(D) D．事件A與事件C對(duì)立11．為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則x的值可能為（）A．58 B．59 C．62 D．6412．圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因?yàn)樗梢詮膱A錐中截取獲得.我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角θ不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線.截口曲線形狀與θ和圓錐軸截面半頂角α有如下關(guān)系(θ，α∈(0，π2))；當(dāng)現(xiàn)有一定線段AB與平面β夾角φ（如上右圖），B為斜足，β上一動(dòng)點(diǎn)P滿足∠BAP=γ，設(shè)P點(diǎn)在β的運(yùn)動(dòng)軌跡是Γ，則（）A．當(dāng)φ=π4，γ=πB．當(dāng)φ=π3，γ=πC．當(dāng)φ=π4，γ=πD．當(dāng)φ=π3，γ=π三、填空題13．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足兩個(gè)條件：①{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；②14．如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)D處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處，已知庫(kù)底與水壩斜面所成的二面角為120°，測(cè)得從D，C到庫(kù)底與水壩斜面的交線的距離分別為DA=80m，BC=60m，若AB=40m，則甲，乙兩人相距15．已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，?1)，l為平面上的動(dòng)直線，點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為1，3，則這樣的直線16．舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng)．記點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為C1，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為C2．若ON=DN=1，MN=3，過(guò)C2上的點(diǎn)P向C四、解答題17．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，（1）求證：BC⊥AB（2）求平面AB1E18．已知數(shù)列{an}的前n（1）求證：數(shù)列{a（2）若不等式2n2?n?3<(5?λ)an19．某校為加強(qiáng)黨史教育，進(jìn)行了一次黨史知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的筆試成績(jī)均在75分以上（滿分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100]共五組后，得到的頻率分布表如下所示：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[75，80）①第2組[80，85）0.300第3組[85，90）30②第4組[90，95）200.200第5組[95，100]100.100合計(jì)1001.00（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；（2）為能更好了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面答，最終從6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加市安全知識(shí)答題決賽，求抽到的2位學(xué)生不同組的概率.20．已知圓C過(guò)點(diǎn)A(4，2)，B(1，3)，它與x軸的交點(diǎn)為（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A(?3，21．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類(lèi)比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：i，j，k分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸?y軸?z軸）正方向的單位向量，若向量n=xi+y（1）若a=[1，2，（2）在平行六面體ABCD?ABC1D1中，AB=AD=2，AA1=3，①若BE=EB1，求向量ED②若AM=[2，t，0]22．已知橢圓C：x2（1）求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（2）過(guò)線段ET的中點(diǎn)G作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，直線EA與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線EB與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求證：MN//（3）請(qǐng)結(jié)合（2）的問(wèn)題解決，運(yùn)用類(lèi)比推理，猜想寫(xiě)出拋物線中與之對(duì)應(yīng)的一個(gè)相關(guān)結(jié)論(無(wú)需證明).

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)橹本€方程為x+3y?2=0，化為斜截式為：所以直線的斜率為：?3故答案為：D.

【分析】將直線的一般式轉(zhuǎn)化為斜截式，從而得出直線的斜率。2．【答案】A【解析】【解答】b=故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出向量b的坐標(biāo)。3．【答案】A【解析】【解答】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2由已知條件可得，點(diǎn)A(0.所以1.2p=1.因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意由拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)結(jié)合拋物線的定義，把數(shù)值代入計(jì)算出P的取值，結(jié)合已知條件即可得出答案。4．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)閳D1有1個(gè)小正方體，圖2有1+5=6個(gè)小正方體，圖3有1+5+9=15個(gè)小正方體，歸納可得：第n個(gè)疊放圖形中共有n層，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以4為公比的等差數(shù)列，所以第n個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是Sn第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是S8故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得出第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)。5．【答案】B【解析】【解答】∵直線l1與l2平行，∴36∵l2的方程為3x?4y?3=0，∴它們之間的距離d=故答案為：B.

【分析】?jī)芍本€斜率存在時(shí)，平行則斜率相等，求出m的值，再根據(jù)兩平行線間的距離公式，即可計(jì)算出答案。6．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a3+a設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d則a1+3d=7a1+9d=19設(shè)數(shù)列{an?cosnπ}的前n則S2022=(=1011d=2022.故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出數(shù)列{an?cosnπ}的通項(xiàng)公式，再結(jié)合并項(xiàng)求和的方法得出數(shù)列{7．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，分別以AB→，AD→，AE→所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，AB→，AD→，AE→可作為x，y，z軸方向上的單位向量，

∵AP=【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量法直接求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】在雙曲線x29?y216=1中，a=3，b=4設(shè)|PF1|=u對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線x29?當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著x0的增大，射線n慢慢接近于直線y=43同理可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，?4當(dāng)點(diǎn)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，k=0，綜上所述，k的取值范圍是(?4對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)m⊥n時(shí)，u?v=2a=6，u2+v對(duì)于C選項(xiàng)，|F故n過(guò)點(diǎn)Q(7，5)時(shí)，光由F2到P|PF對(duì)于D選項(xiàng)，若T(1，0)，由角平分線定理可得即6+|PF2|故答案為：C.

【分析】在雙曲線x29?y216=1中得出a，b的值，再結(jié)合雙曲線中a，bc三者的關(guān)系式得出c的值，進(jìn)而得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)|PF1|=u，|PF2|=v，利用雙曲線x29?y216=1的漸近線方程為y=±43x9．【答案】A,C,D【解析】【解答】由橢圓定義可知，A符合題意；由橢圓第二定義可知C符合題意；B中顯然x≠±a，即橢圓上的長(zhǎng)軸端點(diǎn)不滿足B中方程，B不符合題意；由(x?c)2+y2=a?ca故答案為：ACD

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的定義和橢圓的第二定義，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)和兩點(diǎn)距離公式，進(jìn)而得出正確的選項(xiàng)。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】由所抽學(xué)生為女生的概率均為12，則PA，C事件包含：三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生、三名學(xué)生都是男生，其對(duì)立事件為A，D符合題意；D事件包含：三名學(xué)生都是男生、三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生，與C事件含義相同，故P(故答案為：ABD

【分析】利用已知條件結(jié)合獨(dú)立事件乘法求概率公式、互斥事件的定義、對(duì)立事件的定義，進(jìn)而找出正確的選項(xiàng)。11．【答案】A,D【解析】【解答】將已知的6個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)?5，49，53，57，61，79．若x≤57，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；若x≥79，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若57<x<79，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x），則|x?61|=3，解得x=58或x=64故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結(jié)合百分位數(shù)的求解方法，進(jìn)而得出x的值。12．【答案】A,C,D【解析】【解答】∵AB為定線段，∠BAP=γ為定值，∴P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，其中圓錐的軸截面半頂角為γ，β與圓錐軸AB的夾角為φ對(duì)于A，φ>γ，∴平面β截圓錐得橢圓，A符合題意；對(duì)于B，φ>γ，Γ是橢圓，B不符合題意.對(duì)于C，φ=γ，Γ是拋物線，C符合題意.對(duì)于D，φ>γ，Γ是橢圓，D符合題意.故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義，進(jìn)而找出正確的選項(xiàng)。13．【答案】1n【解析】【解答】根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足：①{a故只需{a故{an}故答案為：1n

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而得出滿足要求的數(shù)列的通項(xiàng)公式。14．【答案】20【解析】【解答】作BE//AD，且BE=AD，連結(jié)DE，EC，∵BE⊥AB，BC⊥AB，∴AB⊥平面EBC且∠CBE=120四邊形ADEB時(shí)平行四邊形，∴DE//AB，∴DE⊥平面EBC，EC?平面CEB，∴DE⊥EC△CEB中，EC=60△CDE中，DC=D故答案為：20

【分析】作BE//AD，且BE=AD，連結(jié)DE，EC，證得DE⊥平面EBC，得到DE⊥EC，分別在△CEB和△CDE中，利用余弦定理，即可求解.15．【答案】4【解析】【解答】到點(diǎn)A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切；到點(diǎn)B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切；由于|AB|=5>3+1，即兩圓相離，如圖所示，故公切線的條數(shù)為4條，即點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為1，3的直線有4條，故答案為：4.

【分析】利用已知條件結(jié)合直線與圓相切位置關(guān)系判斷方法得出到點(diǎn)A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切，到點(diǎn)B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切，由于|AB|=5>3+1結(jié)合兩圓位置關(guān)系判斷方法判斷出兩圓相離，進(jìn)而得出公切線的條數(shù)，從而得出點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為1，3的直線有4條。16．【答案】15【解析】【解答】以滑槽AB所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)閨ON|=1，所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡C1其方程為x2設(shè)點(diǎn)D(t，0)(|t|≤2)，N(x依題意，MD=2DN，且所以(t?x，?y)=2(x即t?x=2x0?2t由于t不恒等于0，于是t=2x0，故x0代入x02+故曲線C2的方程為x216+y則|OP|2則切線長(zhǎng)為|OP|2?1故答案為：15

【分析】以滑槽AB所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用|ON|=1結(jié)合圓的定義，所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡C1是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，從而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)點(diǎn)D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依題意，MD=2DN，且|DN|=|ON|=117．【答案】（1）證明：在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1又BA∩BB1=B，BA?平面BAA1所以BC⊥平面BAA又AB1?平面BA（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，則由AB=AD=1，AA1=2又E是棱DD1的中點(diǎn)，所以E(0，1，設(shè)平面AB1E則有n?AE=0取z=1，得n=(?2易知平面ABCD的一個(gè)法向量為m=(0設(shè)平面AB1E與平面ABCD則cosθ=所以平面AB1E與平面ABCD【解析】【分析】(1)在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，BC⊥BA，BC⊥BB1，再利用線線垂直證出線面垂直，所以BC⊥平面BAA1B1，再結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，從而證出BC⊥AB1。

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，A18．【答案】（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a當(dāng)n≥2時(shí)，an所以an=2a即an又a1故數(shù)列{a（2）解：由（1）知，an2n所以2n2?n?3=(n+1)(2n?3)<(5?λ)(n+1)即5?λ>2n?32n記bn=2n?3所以n≥2時(shí)，bn+1bn=2n?1n≥3時(shí)，bn+1bn<1，即隨著所以bn的最大值為b所以5?λ>38，即【解析】【分析】(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=2an?2an?1?2n，可得19．【答案】（1）解：第2組的頻數(shù)為100×0.300=30人，所以①處應(yīng)填的數(shù)為10人，②處應(yīng)填的數(shù)為0.300，頻率分布直方圖如圖所示，（2）解：因?yàn)榈?、4、5組共有60名選手，所以利用分層抽樣在60名選手中抽取6名選手進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：3060×6=3人，第4組：2060所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面答.設(shè)第3組的3位學(xué)生為A1，A2，則從這6位學(xué)生中抽取2位學(xué)生有：(A1(A抽到的2位學(xué)生不同組的有：((A所以抽到的2位學(xué)生不同組的概率為1115【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合頻率分布表和頻率分布直方圖各小組的頻率等于各小組的矩形的面積，進(jìn)而畫(huà)出頻率分布直方圖。

（2）利用已知條件結(jié)合分層抽樣的方法得出第3、4、5組分別抽取的人數(shù)，再結(jié)合古典概型求概率公式得出抽到的2位學(xué)生不同組的概率。20．【答案】（1）解：設(shè)圓C的一般式方程為：x2令y=0，得x2+Dx+F=0，所以令x=0，得y2+Ey+F=0，所以所以有x1所以D+E=?6，①又圓C過(guò)點(diǎn)A(4，2)，B(1由①②③得D=?4，E=?2，F(xiàn)=0，所以圓C的一般式方程為x2+y（2）解：設(shè)A(?3，?9)所以有y1+9x1+