廣東省汕尾市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（含答案）

廣東省汕尾市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．已知空間向量a=(2，?1A．(4，?2，4) B．(2，?12．直線l：A．30° B．45° C．3．?dāng)?shù)列2、0、2、0、?的通項(xiàng)公式可以為（）A．a(chǎn)n=(?1)C．a(chǎn)n=2cos(n?1)π 4．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，4)，且與直線x?2y+4=0垂直，則直線A．x?2y+1=0 B．x?2y?1=0 C．2x?y+2=0 D．2x+y?8=05．已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，A．?23 B．23 C．16．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(1，1，1)，A．66 B．36 C．337．如圖，在梭長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．1010 B．55 C．15158．已知橢圓C1：x2m2+y2=1（m＞1）與雙曲線C2：x2n2–y2=1（n＞0）的焦點(diǎn)重合，e1，eA．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1二、多選題9．已知公差為d的等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為SA．d=1 B．a(chǎn)n=n?2 C．a(chǎn)410．圓O1：x2+A．圓O2B．直線AB的方程為x?2y=0C．|AB|=D．線段AB的垂直平分線方程為2x+y+2=011．如圖，三棱柱ABC?A1B1CA．GF//DEB．GF⊥C．異面直線GF與AA1D．直線DE與平面A1BC12．已知雙曲線C：x23?y2=1的左?右頂點(diǎn)分別為A1A．雙曲線C的離心率為233 B．雙曲線CC．直線PA1，PA三、填空題13．已知向量a=(?2，1，5)，14．已知△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(4，0)，O(0，15．已知傾斜角為π3的直線l過(guò)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），若16．螺旋線是一類美妙的曲線，用下面的方法可畫出如圖所示的螺旋線：先作邊長(zhǎng)為1的正△ABC，分別記射線AC，BA，CB為l1，l2，l3；以C為圓心?CB為半徑作的劣弧BC1交l1于點(diǎn)C1；以A為圓心?AC1為半徑作的劣弧C1A1交l2于點(diǎn)A1；以B為圓心?BA1為半徑作的劣弧A1B1交l3四、解答題17．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且（1）求等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a（2）求證數(shù)列{Snn}是等差數(shù)列，并求出其前18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是（1）求B；（2）若b=2，a+c=4，求19．如圖，在正方體ABCD?A1B1C（1）求證：EF//平面AC（2）求證：平面ACD1⊥20．已知直線l：y=kx(k≠0)與圓C：x2+y2（1）若|AB|=14，求k（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得當(dāng)k變化時(shí)，總有直線MA、MB的斜率之和為0，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由．21．如圖，在四棱錐C?ABED中，AB=AC=2DE=2，∠BAC=60°，AD⊥平面ABC，DE∥AB，三棱錐E?BCD的體積為（1）求AD的長(zhǎng)度；（2）已知F是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)F，使得平面BED與平面EDF夾角的余弦值為41919？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)22．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)O作一條垂直于l的直線l1，l1交C于

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】2a故答案為：C

【分析】利用空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算法則得到答案.2．【答案】B【解析】【解答】由題知，直線l：設(shè)傾斜角為α，α∈[0所以tanα=1，解得α=45°所以直線l：x?y+1=0的傾斜角為故答案為：B

【分析】根據(jù)直線斜率為1，所以tanα=13．【答案】D【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，若an=(?1)n+1，則數(shù)列{an}為：0、對(duì)于B選項(xiàng)，若an=2?2×(?1)n+1，則數(shù)列{an}為：0、4對(duì)于C選項(xiàng)，若an=2cos(n?1)π，則數(shù)列{an}為：2、?2、2對(duì)于D選項(xiàng)，若an=|2cos(n?1)π2|，則數(shù)列{an}為：2、故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中通項(xiàng)公式是否滿足所給數(shù)列的前4項(xiàng)，即可得到答案.4．【答案】D【解析】【解答】設(shè)直線l的方程為2x+y+C=0，將M(2，4)代入2x+y+C=0中，4+4+C=0，故故直線l的方程為2x+y?8=0.故答案為：D

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出直線l的方程為2x+y+C=0，將M(2，5．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)镻M=2所以NM=?1故x=23，故答案為：B

【分析】根據(jù)空間向量基本定理求出x=26．【答案】D【解析】【解答】∵A(1，0，1)，B(0∴AB=(?1，AP在AB上的投影為AP?則點(diǎn)P到直線AB的距離為|AP故答案為：D．

【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.7．【答案】C【解析】【解答】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD則E(0，所以EF=(設(shè)EF與CG所成的角的大小為θ，則cosθ=|故答案為：C

【分析】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，8．【答案】A【解析】【解答】由題意知m2?1=n又(e1e2)

【分析】利用橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出各自的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式以及雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，從而利用橢圓和雙曲線離心率公式求出各自的離心率，再利用橢圓C1：x2m2+y2=1（m＞1）與雙曲線C2：x2n2–y9．【答案】A,B,C【解析】【解答】公差為d的等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為S則S7=a4+12=7ana4a1=?1，故答案為：ABC

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的性質(zhì)，列方程求出公差，即可得數(shù)列通項(xiàng)，驗(yàn)證各選項(xiàng)是否正確.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：圓O1：x2+y2?2x=0，即(x?1)2+y2=1由于圓O1：x2+y2?2x=0和圓O2所以圓心O1(1，0)到直線AB的距離由圓與圓相交于A，B可知直線O1O2即線段AB的垂直平分線，所以kO1故答案為：BC.

【分析】根據(jù)圓的方程分別求解兩圓圓心與半徑，即可判斷A；根據(jù)圓與圓相交的相交弦所在直線方程及相交弦長(zhǎng)公式，即可判斷B，C；利用圓與圓相交的對(duì)稱關(guān)系即可求線段AB的垂直平分線方程，從而判斷D.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】連接BC因?yàn)镕，G分別為A1因?yàn)镈，E分別為CC所以GF//DE，A符合題意；因?yàn)锽C1⊥B1因?yàn)镚F//DE，AA1//CC1，所以直線GF與A因?yàn)镃C1⊥平面ABC，CE?平面ABC，所以C因?yàn)槿庵鵄BC?A所以CE=CD，所以∠CDE=π4，即異面直線GF與AA以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA1為z軸，過(guò)A作平面ACC則A1所以A1設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為則n?令y=3，可得x=3，z=3設(shè)直線DE與平面A1BC所成角為則sinθ=|故答案為：ABD.

【分析】連接BC1，可得FG//BC1，又DE//BC1，從而可判斷A；由BC1⊥B1C，F(xiàn)G//BC1，可判斷B；由GF//DE，AA1//CC1，所以直線GF與AA1所成角即為DE與CC1所成角，根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征可判斷C；以A為原點(diǎn)，AC為y12．【答案】A,C,D【解析】【解答】在雙曲線C：x23?y2對(duì)于A選項(xiàng)，雙曲線C的離心率為e=c對(duì)于B選項(xiàng)，雙曲線C的漸近線方程為y=±b對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)P(x，y)，A1則kP即直線PA1，對(duì)于D選項(xiàng)：不妨點(diǎn)P在第一象限，聯(lián)立x23?y2=1y=66x，消y得所以|PF1|?|P由余弦定理得cos∠故答案為：ACD

【分析】求出a=3，b=1，c=13．【答案】11【解析】【解答】因?yàn)閍⊥b，所以?2×1?3×1+5m=0，解得：故|b故答案為：11

【分析】根據(jù)空間向量垂直得到方程，求出m=1，進(jìn)而求出模長(zhǎng).14．【答案】(【解析】【解答】設(shè)△AOB的外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a將A(4，0)，解得：a=2b=2r=22故答案為：(

【分析】設(shè)△AOB的外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a15．【答案】4【解析】【解答】易知點(diǎn)F(p2，0)，設(shè)點(diǎn)因?yàn)橹本€l的傾斜角為π3，且點(diǎn)P在第一象限，則x聯(lián)立y=3(x?p2)y2由拋物線的定義可得|PF|=3p2+因此，|QF|=p故答案為：43

【分析】設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則16．【答案】π【解析】【解答】由題意得：a1=2π故an+1故{an}所以Sn故答案為：π

【分析】根據(jù)題意得到{an}17．【答案】（1）解：由題意可得S7=7a（2）證明：由（1）可知a1=d=1，所以Sn當(dāng)n=1時(shí)，S11=1；當(dāng)n≥2因此數(shù)列{Snn}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為所以等差數(shù)列{Snn}的前【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得7a1+7×62d=2815a1+15×142d=120，即可解得a1=d=1；

18．【答案】（1）解：在△ABC中，因?yàn)閍=2cosB(bcosC+ccosB)，由正弦定理asinsinA=2cosB(sinBcosC+sinCcosB)=2cos∵sinA≠0，又∵B∈(0，（2）解：由（1）可知B=π3，在△ABC中，根據(jù)余弦定理12=a又a+c=4，聯(lián)立可得16=3ac+4，因此△ABC的面積S△ABC【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將a=2cosB(bcosC+ccosB)化為sinA=2cosBsinA，結(jié)合角度關(guān)系即可得角B=π3；

（2）在△ABC中，結(jié)合余弦定理與平方公式可求得19．【答案】（1）證明：在正方體ABCD?A1B因?yàn)镋為A1B的中點(diǎn)，則E是AB1的中點(diǎn)，而則有EF//AD1，又EF?平面所以EF//平面AC（2）證明：在正方體ABCD?A1B1C1D因此AC⊥BD，AC⊥DD1，又BD∩DD1=D，于是AC⊥所以平面ACD1⊥【解析】【分析】（1）連接AB1，證明E是AB1中點(diǎn)，再利用三角形中位線定理及線面平行的判定推理作答；

（2）利用線面垂直的性質(zhì)及判定證明20．【答案】（1）解：因?yàn)閳AC：(x?1)2+因?yàn)閨AB|=14，所以C到AB的距離為2由點(diǎn)到直線的距離公式可得：|k|k解得k=±1（2）解：設(shè)A(x1，則y=kx，x2+y2所以x1+x設(shè)存在點(diǎn)M(m，0)滿足題意，即kAM所以kAM因?yàn)閗≠0，所以x1所以?61+k所以存在點(diǎn)M(?3，0)符合題意．【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，再利用直線與圓相交結(jié)合弦長(zhǎng)公式，再結(jié)合勾股定理得出圓心C到AB的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，從而求出直線的斜率。

（2）利用直線與圓相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合判別式法和韋達(dá)定理，得出Δ>0，x1+x2=21+k2，x21．【答案】（1）解：取AB的中點(diǎn)O，連接OE，∵AB=AC=2，∴OC⊥AB.又∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥OC.又∵AD∩AB=A，AD，AB?平面ABD，∴OC⊥平面ABED.又∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥ED，于是VE?BCD∴AD=2.（2）解：∵DE∥OA，∴四邊形DEOA為平行四邊形∴DA//又∵DA⊥平面ABC，∴OE⊥平面ABC，∴以O(shè)B，OC，OE為∴E(0，0，由題意設(shè)BF=λBC(0≤λ≤1)因此ED=(?1設(shè)平面EDF的一個(gè)法向量為n1則由ED?n1令y=2，則n1=(0，∵OC⊥平面ABED，∴n2=設(shè)平面BED與平面EDF的夾角為θ，則cosθ=|∴λ2=14因此點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，平面BED與平面EDF夾角的余弦值為419【解析】【分析】（1）取AB的中點(diǎn)O，連接OE，OC，根據(jù)已知得出OC⊥AB，AD⊥OC，得出OC⊥平面ABED，則AD⊥ED，即可根據(jù)等體積法列式得出答案；

（2）根據(jù)已知得出OE⊥平面ABC，以O(shè)B，OC，OE為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)BF=λ22．【答案】（1）解：由|F1F又△ABF1的周長(zhǎng)為82∴a=22∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：設(shè)A(x當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，得|AB|=42當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB：x=ty+2，直線聯(lián)立