數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：間接證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.2。2間接證明5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類(lèi)訓(xùn)練，可用于課前）1。設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a+,b+，c+…（)A。都大于2B.至少有一個(gè)大于2C。至少有一個(gè)不小于2D。至少有一個(gè)不大于2答案:C解析：(a+）+(b+）+(c+)=(a+）+（b+)+（c+)≥2+2+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取“=”。2.下列命題錯(cuò)誤的是（)A。三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°B.四面體的三組對(duì)棱都是異面直線(xiàn)C.閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)，至多有一個(gè)零點(diǎn)D。設(shè)a、b∈Z，若a+b是奇數(shù)，則a、b中至少有一個(gè)是奇數(shù)答案：D解析：逐一用反證法判斷。3。設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=1,則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于___________.解析：假設(shè)a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于x的反命題成立。假設(shè)a、b、c都小于x，即a<x,b<x，c〈x,∴a+b+c〈3x。∵a+b+c=1，∴3x〉1.∴x〉,若取x=就會(huì)產(chǎn)生矛盾。答案：10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類(lèi)訓(xùn)練，可用于課中)1。反證法是(）A.從結(jié)論的反面出發(fā),推出矛盾的證法B.對(duì)其否命題的證明C。對(duì)其逆命題的證明D.分析法的證明方法答案：A2.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a〉b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是（）A。a<bB.a≤bC。a=bD.a≥b答案：B解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”.3.命題“關(guān)于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是()A。無(wú)解B.兩解C。至少兩解D.無(wú)解或至少兩解答案：D解析:“唯一”的意思是“有且只有一個(gè)"，其反面應(yīng)該為選項(xiàng)D。4。在空間是否存在這樣的多面體,它有奇數(shù)個(gè)面，且它的每個(gè)面又都有奇數(shù)條邊?_______________________________________________________________________________。解析：假設(shè)多面體有n個(gè)面（n為奇數(shù))，且每個(gè)面的邊數(shù)分別為S1，S2，…，Sn(Si為奇數(shù)，i=1，2,…，n),則多面體的總邊數(shù)為S，因?yàn)槊織l邊都是公用的，所以S1+S2+…+Sn=2S.這里左邊為奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和，為奇數(shù);但右邊為偶數(shù)，矛盾。答案：不存在(或不可能有）5。已知平面M內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)a、b(交點(diǎn)為P）和平面N平行。求證：平面M∥平面N。證明:假設(shè)平面M不平行于平面N,則M和N一定相交，設(shè)交線(xiàn)為c?！遖∥平面N,∴a∥c。同理b∥c。則過(guò)c外一點(diǎn)P有兩條直線(xiàn)與c平行.這與公理“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行”相矛盾。所以假設(shè)不成立。所以平面M∥平面N.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類(lèi)訓(xùn)練，可用于課后）1。命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角"的結(jié)論的否定是（）A.有兩個(gè)內(nèi)角是直角B。有三個(gè)內(nèi)角是直角C。至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角D。沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角答案：C解析：“最多只有一個(gè)”即“只有一個(gè)或沒(méi)有”，它的反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)”。2.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)（）A。一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)B。兩個(gè)都是正數(shù)C.至少有一個(gè)是正數(shù)D。兩個(gè)都是負(fù)數(shù)答案：C解析：由反證法的意義知選項(xiàng)C真。3。在數(shù)列:11，111,1111，…中（）A.有完全平方數(shù)B.沒(méi)有完全平方數(shù)C.有偶數(shù)D.沒(méi)有3的倍數(shù)答案：B解析：易見(jiàn)沒(méi)偶數(shù)，且有3的倍數(shù)，如111.知C、D假。假設(shè)有完全平方數(shù)，它必為奇數(shù)的平方.設(shè)為=(2K+1)2（K為正整數(shù)),則0=4K（K+1），兩邊除以2得=2K(K+1）,此式左邊為奇數(shù),而右邊為偶數(shù),自相矛盾。4.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪(fǎng)了四位歌手,甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)。”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了."丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)?！彼奈桓枋值脑?huà)只有兩句是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的歌手是（）A。甲B。乙C.丙D。丁答案:C解析：若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的話(huà)都是錯(cuò)的，同理,可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙。5。反證法的關(guān)鍵是推出矛盾，通?？蓪?dǎo)致哪些方面的矛盾?______________________________.答案：與已知定義、公理、定理及明顯數(shù)學(xué)事實(shí)相矛盾，與已知條件相矛盾，與假設(shè)自相矛盾等6。求證：正弦函數(shù)沒(méi)有比2π小的正周期.證明：假設(shè)T是正弦函數(shù)的周期，且0＜T＜2π,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有sin（x+T）=sinx成立，令x=0，得sinT=0，即T=kπ,k∈Z。又0〈T<2π,故T＝π，從而對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有sin(x+π）=sinx,這與sin（+π)≠sin矛盾.所以正弦函數(shù)沒(méi)有比2π小的正周期.7.如圖，AB、CD為圓的兩條相交弦,且不全為直徑,求證:AB、CD不能互相平分.證明：假設(shè)AB、CD互相平分,則四邊形ACBD為平行四邊形。所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD.因?yàn)樗倪呅蜛CBD為圓內(nèi)接四邊形,所以∠ACB+∠ADB=180°,∠CAD+∠CBD=180°。因此∠ACB=90°,∠CAD=90°。所以,對(duì)角線(xiàn)AB、CD均為直徑,與已知矛盾.因此,AB、CD不能互相平分。8.試證明抽屜原理：如果將m個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜含有［］+1個(gè)物體（其中［］表示不超過(guò)的最大整數(shù)).命題簡(jiǎn)單化就是：把5個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)2個(gè)抽屜里，則可斷言至少有一個(gè)抽屜放著不少于3個(gè)的蘋(píng)果.證明：(用反證法）小于m的n的最大倍數(shù)是由減去其小數(shù)部分所得的整數(shù)，即是［]。假設(shè)不存在有一個(gè)抽屜含有[]+1個(gè)物體，即每個(gè)抽屜含的物體最多是［］個(gè),而總共有n個(gè)抽屜，所以這n個(gè)抽屜所含的物體的總數(shù)小于等于n［］≤n·=m—1〈m，這與已知有m個(gè)物體矛盾，所以至少有一個(gè)抽屜里有［］+1個(gè)物體.9.用反證法證明:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b］上是增函數(shù)，那么方程f（x）=0在區(qū)間[a,b］上至多只有一個(gè)實(shí)根.證明：假設(shè)方程f（x)=0在區(qū)間[a,b]上至少有兩個(gè)實(shí)根,設(shè)α、β為其中的兩個(gè)實(shí)根.因?yàn)棣痢佴?不妨設(shè)α<β,又因?yàn)楹瘮?shù)f（x)在［a，b]上是增函數(shù),所以f(α）<f(β).這與假設(shè)f(α)=0=f（β）矛盾，所以方程f(x）=0在區(qū)間［a，b]上至多只有一個(gè)實(shí)根.10.已知a、b、c∈(0，1)，求證：（1—a）b、（1-b）c、（1—c)a不