數(shù)學優(yōu)化訓練：模擬方法-概率的應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§3模擬方法-—概率的應用5分鐘訓練（預習類訓練，可用于課前）1.下列說法中不正確的為（)A.拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率,是古典概型B.模擬方法所提供的解決方案僅限于隨機數(shù)表法和圓盤方法C。我們常常借助模擬方法來估計某些隨機事件發(fā)生的概率D。用模擬方法可以在短時間內完成大量的重復試驗答案：B解析:A項,古典概型具有有限性和等可能性.拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結果有6×6=36種,且它們都是等可能的,因此屬于古典概型.人工進行試驗費時、費力，并且有時是不可能實現(xiàn)的.因此，我們常常借助模擬方法來估計某些隨機事件發(fā)生的概率。對于某些無法確切知道概率的問題,模擬方法能幫助我們得到此概率的近似值.模擬方法在實際中有很多應用。模擬方法有很多，除了隨機數(shù)表和圓盤法,任何簡單的試驗活動都可以,如甲、乙兩人抓鬮決定一件獎品的歸屬,只有甲中獎和乙中獎這兩個等可能的結果,因此可以用拋擲一枚硬幣來模擬.2。課間休息為10分鐘.學校規(guī)定,任課教師必須遵守鈴聲響進教室,則某老師在教室門前等待鈴響不超過2分鐘的概率為()A.0。8B.0。2C.0.6答案：B解析：所求概率為兩時間之比，即P==0.2。3.如下圖所示，有兩個轉盤，甲、乙兩人玩轉盤游戲時規(guī)定：當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝,在兩種情形下甲獲勝的概率為（）A。，B。，C。，D。，答案：B解析:屬幾何概型，甲獲勝的概率P=。4.在邊長為2的正方體內任取一點,則該點在正方體的內切球內的概率為(）A。B。C。D.答案:D解析：記“該點落入內切球內”的事件為A，則P（A）=。5。在區(qū)間(0，3）內隨機地取1個數(shù),則這個數(shù)大于的概率為______________.答案：解析：所求概率等于“大于2的區(qū)間長度與總區(qū)間長度之比"，即P=。10分鐘訓練(強化類訓練，可用于課中）1。某乘客在一車站等車,班車每15分鐘發(fā)一次，此人不用等車的概率為80%，則此人等車的最長時間為（）A.12分鐘B.3分鐘C。5分鐘D。不能確定答案：B解析：依題意,此人等車的概率為20％。設其等車的時間為t，由=20%,得t=3分鐘。2。在長為4米的繩子上任取一點剪開，要使兩段繩子的長度一段大于3米，一段小于1米的概率是（）A.B。C.D。答案：A解析：顯然當剪斷點到AB或CD上時滿足條件“一段大于3米,一段小于1米"，∴P（“一段大于3米,一段小于1米"）=.3。一只螞蟻在如下圖所示的地板磚上(除顏色不同外，其余全部相同)爬動，它最后隨意停留在黑色地板磚上的概率是（）A.B。C.D.答案:A解析:記“小螞蟻停留在黑色地板磚上”為事件A，則P（A）=.4。人造地球衛(wèi)星在太空中對地球進行隨機拍攝，若地球周長為4萬千米，我國國境長2800千米，則從拍攝的照片中取出一張是我國的照片的概率是(）A。56％B。28％C.14％D。7%答案:D解析：設A=“拍到的照片是我國”，則P(A）=。5。向面積為S的△ABC內任投一點P，則△PBC的面積小于的概率為______________。答案：解析：根據題意知,若△PBC的面積小于,則點P可分布在如下圖所示的過△ABC的高的中點與底邊BC平行的梯形BCFE內。故滿足條件的概率為梯形BCFE的面積與△ABC面積的比，即P=.6。一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m、寬20m的長方形。求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率.解：如下圖所示,區(qū)域Q是長30m、寬20m的長方形.圖中陰影部分表示事件A:“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”.問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率，于是SQ=30×20=600(m2）,SA=30×20—26×16=184（m2).P(A）=≈0.31.30分鐘訓練（鞏固類訓練，可用于課后)1。如下圖所示,在直角坐標系內，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA,則射線OA落在∠xOT內的概率是（）A。B.C。D.答案：D解析:記“射線OA落在∠xOT內”為事件A.事件A的幾何度量是60°，而所有區(qū)域的幾何度量是360°,故P(A)=。2.有四個游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎。小明希望中獎，他應選擇的游戲盤為（）答案：C解析：設備選答案A、B、C、D所表示的事件分別為A、B、C、D。則P（A）=,P（B)=，P(C)=,P(D)=，顯然P（C)最大。3。在長只有1000米的公路上均勻地栽種了10棵樹,一汽車在路邊隨機地停靠了下來,則汽車離樹不超過10米的概率是（)A.0。2B.0.09C。0。08答案：D解析：如下圖，在中間8棵樹兩側每側找出10米，兩頭兩棵樹只能在其一側找出10米,故滿足事件A:“汽車離樹不超過10米”的概率為P(A)==0.18。4。如下圖所示，在一個邊長為a、b(a>b>0)的矩形內畫一個梯形,梯形上、下底分別為與,高為b.向該矩形內隨機投一點,則所投的點落在梯形內部的概率是()A。B。C。D.答案：C解析：記“投的點落在梯形內部”的事件為A，則P(A）=.5。向面積為9的△ABC中任意拋擲一點P，則△PBC的面積小于3的概率是（)A.B。C。D。答案：DS△PBC=PE·BC,S△ABC=AD·BC.∵，∴點P應落在如下圖所示的陰影中.其中AF=，從而S△AGH=。∴S梯形BCHG=.∴所求概率為。6。隨機地向半圓0〈y〈（a為正常數(shù))內拋擲一點,點落在半圓內的任意區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點與該點的連線與x軸夾角小于的概率為____________。答案:解析：如下圖可知,設基本事件表示半圓的面積，事件A為圖中陰影部分的面積，則所求概率等于陰影部分面積與半圓面積之比,即P(A）=。7.兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，則這兩人能會面的概率為____________.答案：解析：在平面上建立直角坐標系，以x，y分別表示兩人的到達時刻,則兩人會面必須滿足|x—y|≤20，其中0≤x≤60，0≤y≤60，則（x，y)的所有可能結果是邊長為60的正方形，而可能會面的時間由圖中陰影部分所表示，這是一個幾何概率問題,由等可能性知：P=。8。平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r〈a的硬幣任意擲在這個平面上,求硬幣不與任一條平行線相碰的概率。解：設事件A:“硬幣不與任一條平行線相碰"。為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線，這樣垂線段長度的取值范圍是［0,a］，其長度就是幾何概型定義中試驗的全部結果的幾何度量。只有當r<垂線段長度≤a時硬幣不與平行線相碰，其長度就是子區(qū)域A的幾何度量.所