數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：向量的概念及表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2章平面向量2.1向量的概念及表示5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前）1.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具.請指出下列哪些量是向量。（1)重力;(2）速度；（3）高度;(4)位移;(5)面積;（6)體積。思路解析：既有大小又有方向的量叫向量，如位移、速度、力等.只有大小沒有方向的量叫數(shù)量，如高度、面積、體積等.答案：(1)(2)（4)2。如圖2—1—圖2思路解析:長度相等、方向相同的向量是相等向量或同一向量；相等向量用同向且等長的有向線段表示。解:在正六邊形中,|｜=｜|=|｜=｜｜。又∵AF∥EB∥DC且與、、方向相同，∴與相等的向量有、、。3.下列說法中正確的是(）A。單位向量都是相等向量B。長度相等的向量叫相等向量C.零向量長度等于0D.共線向量是在一條直線上的向量思路解析:方向相同或相反的非零向量稱為平行向量或共線向量.零向量是長度等于0的向量，零向量的方向不確定。長度相等且方向相同的向量是相等向量或同一向量，單位向量的長度都是1，但單位向量的方向未必都相同，只有方向相同的單位向量才是相等向量。答案：C10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中）1.下列命題中正確的是（)A.若|a|=0，則a=0B.若|a|=|b|，則a=bC。若｜a|=｜b|，則a、b是平行向量D。若a與b平行，則a=b思路解析:模為零的向量是零向量,A對；模相等的向量不一定相等或平行，B、C均錯(cuò)；平行向量和相等向量是不同的概念，D錯(cuò).答案:A2.下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.零向量的長度為零B。零向量與任一向量都是共線向量C。零向量沒有方向D.零向量的方向是任意的思路解析:只要是向量就有方向，零向量的方向是任意的，不能說零向量沒有方向，C錯(cuò)。答案:C3.如圖2-1-2所示，在正△ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，則與向量相等的向量是()圖2-1-2A。與B.與C。與D。與思路解析：向量相等要求模相等，方向相同，因此與都和是相等的向量.答案：B4。如圖2-1-3所示,四邊形ABCD與ABEC都是平行四邊形.圖2(1）用有向線段表示與向量相等的向量；（2)用有向線段表示與向量共線的向量。思路解析:用有向線段表示向量是數(shù)形結(jié)合思想的具體運(yùn)用，利用圖形的直觀性，向量之間的關(guān)系（共線向量、相等向量等)可通過圖形的幾何特征得到.尋找相等向量和共線向量可以從大小和方向兩個(gè)方面來考慮.解：（1）與向量相等的向量是,；(2)與向量共線的向量是,,。5。有兩個(gè)長度相等的向量，在什么情況下，這兩個(gè)向量一定是相等向量。思路解析：向量有兩個(gè)要素:一是大小，二是方向.兩個(gè)向量只有當(dāng)它們的模相等，同時(shí)方向相同時(shí)，才稱為相等的向量,即a=b就意味著|a|=|b｜，且a與b的方向相同.還要注意到零向量與零向量是相等向量。所以判斷兩個(gè)向量是否相等就是看它們的大小是否相等,方向是否相同.解:有下列兩種情況，這兩個(gè)向量一定相等.(1)兩個(gè)長度相等的向量的方向相同;（2）兩個(gè)長度相等的向量都為零向量.6。中國象棋中規(guī)定:馬走“日”字，象走“田”字。如圖2—1-4所示，在中國象棋的半個(gè)棋盤（是由4×8個(gè)大小相同的正方形組成的)中,若馬在A處，可跳到A1處，也可跳到A2處,用向量，表示馬走了“一步”,試在圖中畫出馬在B、C處走了一步的所有情況.圖2-1-4思路解析：此題中，馬在A處有兩條路可走,在B處有三條路可走，在C處有八條路可走，可謂“八面威風(fēng)”.解題時(shí),應(yīng)做到不重不漏.根據(jù)規(guī)則，作出符合要求的所有向量.解：如圖，以點(diǎn)C為起點(diǎn)作向量(共8個(gè)),以點(diǎn)B為起點(diǎn)作向量(共3個(gè)).志鴻教育樂園刀法中國、日本、俄羅斯三國武士比賽，只見俄羅斯的武士拔出刀一揮,把裁判放出的蒼蠅攔腰砍為兩段，裁判給了他80分.這時(shí)日本的武士上來，拔刀后，裁判給了他90分,他把蒼蠅的翅膀砍下來了！輪到中國的武士了，只見他拿了兩把菜刀一揮，裁判給了他100分,另兩個(gè)不服就問裁判，裁判把蒼蠅撿起來給他們看，說人家中國武士給蒼蠅割了個(gè)雙眼皮！30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1.下列結(jié)論中正確的是（）A.向量必須用有向線段來表示B。表示一個(gè)向量的有向線段是唯一的C。有向線段和是同一向量D.有向線段和的大小相等思路解析：向量可以用有向線段表示，但是向量的表示方法是多種多樣的，A錯(cuò);表示一個(gè)向量的有向線段有無數(shù)個(gè)，B錯(cuò);有向線段和方向不同，它們不是同一個(gè)向量,C錯(cuò)；有向線段和的大小相等方向相反，D對.答案:D2。下列物理量:①質(zhì)量；②速度；③位移；④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度；⑧功，其中不是向量的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C。3個(gè)D.4個(gè)思路解析:本題關(guān)鍵是看所給的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小沒有方向，不是向量，是數(shù)量.故選D。答案：D3。下列說法中正確的是(）A。只有方向相同或相反的向量是平行向量B。零向量的長度為零C.長度相等的兩個(gè)向量是相等向量D.共線向量是在一條直線上的向量思路解析：零向量和任意向量平行，A錯(cuò);長度為零的向量叫做零向量,B對；相等的向量是長度相等且方向相同的向量,C錯(cuò);共線向量都可以移動(dòng)到一條直線上，但是它們不一定在一條直線上，D錯(cuò)。答案：B4。下列說法中不正確的是(）A。向量的長度與向量的長度相等B。任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng)C。長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量D。兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量其中點(diǎn)必相同思路解析:兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，它們的方向可能相反,而且它們的長度也有可能不同,所以D不正確.答案:D5.下列說法:①兩個(gè)有公共起點(diǎn)且長度相等的向量,其終點(diǎn)可能不同；②若非零向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；③若a∥b且b∥c，則a∥c；④當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.0B。1C。2D。3思路解析：①正確；②不正確，這是由于向量的共線與表示向量的有向線段共線是兩個(gè)不同的概念；③不正確,假設(shè)向量b為零向量,因?yàn)榱阆蛄颗c任何一個(gè)向量都平行，符合a∥b且b∥c的條件，但結(jié)論a∥c卻不能成立；④正確，這是因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形AB∥DC且AB=DC，即和相等。答案：C6。下列命題：①若向量a的模小于向量b的模，則a〈b；②質(zhì)量、動(dòng)量、功、加速度都是向量；③a與b平行，則a與b方向相同或相反；④零向量與任何向量都平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)為_____________________。思路解析：向量不能比較大小，①錯(cuò);質(zhì)量、功是標(biāo)量,不屬于向量，②錯(cuò)；③沒有考慮零向量，不正確;零向量的方向是任意的,所以它與任意向量平行,C對。答案：17。下列命題:①單位向量都相等；②單位向量都共線；③共線的單位向量必相等；④與一非零向量共線的單位向量有且只有一個(gè)。其中正確命題的個(gè)數(shù)為_________________.思路解析:單位向量的模相等，但是它們的方向不一定相同,①錯(cuò)；同理②錯(cuò);共線的單位向量有可能方向相反,③錯(cuò)；與一非零向量共線的單位向量有兩個(gè)，它們與這個(gè)向量方向相同或相反，④錯(cuò)。答案：08.如圖2—1-5所示,D、E、F分別是等腰Rt△ABC的各邊中點(diǎn)，∠BAC=90圖2-1(1)分別寫出圖中與向量、長度相等的向量;（2）分別寫出圖中與向量、相等的向量；（3)分別寫出圖中與向量、共線的向量.思路解析:長度相等的向量,方向可以是不同的，因此它們不一定是相等向量，而相等向量必須是長度相等且方向相同,即通過平移可以重合的向量.共線向量也是平行向量，這與幾何中線段的共線不同.解：（1）｜｜=｜|=｜|=||=｜|=｜|；||=｜|=｜｜。(2)==;==。（3)∥∥∥；∥∥∥.9。已知飛機(jī)從甲地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)乙地，再從乙地按南偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)丙地，再從丙地按西偏南45°或南偏西45°方向飛行1000km到達(dá)丁地，問丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多