杭州高級(jí)中學(xué)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

杭州高級(jí)中學(xué)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，則（）A． B． C．3 D．42．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則（）A． B． C． D．4．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．5．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．6．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種7．已知集合，，則（）A． B．C． D．8．若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．11．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則A． B．C． D．12．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程的最小實(shí)根的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是______.14．已知，，是平面向量，是單位向量.若，，且，則的取值范圍是________.15．甲，乙兩隊(duì)參加關(guān)于“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，甲隊(duì)有編號(hào)為1，2，3的三名運(yùn)動(dòng)員，乙隊(duì)有編號(hào)為1，2，3，4的四名運(yùn)動(dòng)員，若兩隊(duì)各出一名隊(duì)員進(jìn)行比賽，則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為______.16．點(diǎn)在雙曲線的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，線段的垂直平分線恰好過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線的斜率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求取最大值時(shí)的值18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線：.（1）當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求的值.19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，、分別為線段、的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長(zhǎng).22．（10分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征，求出和，再利用復(fù)數(shù)的模公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

可設(shè)，將化簡(jiǎn)，得到，由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】

求得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，求得的值.【詳解】易知，則.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.5、A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

求出集合，計(jì)算出和，即可得出結(jié)論.【詳解】，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

因?yàn)椋?，所以且在上單調(diào)遞減，且所以，所以，又因?yàn)?，，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對(duì)數(shù)的大小，難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小，還可以根據(jù)中間值“”比較大小.10、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義得到，故，再利用和差公式得到答案.【詳解】∵角的終邊過(guò)點(diǎn)，∴，.∴.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,則,即.故選D．12、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的，通過(guò)計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以，又當(dāng)時(shí)，的極大值為1，所以當(dāng)時(shí)，的極大值為，設(shè)方程的最小實(shí)根為，，則，即，此時(shí)令，得，所以最小實(shí)根為411.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問(wèn)題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí)，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面平面，從而點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，作于，由，能求出線段長(zhǎng)度的取值范圍．【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，，，，，平面平面，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，在等腰△中，，，作于，由等面積法解得：，，線段長(zhǎng)度的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14、【解析】

先由題意設(shè)向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解．【詳解】由是單位向量．若，，設(shè)，則，，又，則，則，則，又，所以，（當(dāng)或時(shí)取等）即的取值范圍是，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．15、【解析】

出場(chǎng)運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件顯然有3種，計(jì)算出總的基本事件數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式求得答案.【詳解】甲隊(duì)有編號(hào)為1，2，3的三名運(yùn)動(dòng)員，乙隊(duì)有編號(hào)為1，2，3，4的四名運(yùn)動(dòng)員，出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件數(shù)為3，出現(xiàn)的基本事件總數(shù)，則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求古典概率的概率問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)椋裕?，所以，，又，根?jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以，因此.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)的極坐標(biāo)方程為.曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)【解析】

(1)先得到的一般方程，再由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式得到一般方程，將代入得，得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為，，將分別代入曲線、極坐標(biāo)方程得：，，，之后進(jìn)行化一，可得到最值，此時(shí)，可求解.【詳解】（1）由得，將代入得：，故曲線的極坐標(biāo)方程為.由得，將代入得，故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為，，將分別代入曲線、極坐標(biāo)方程得：，，則，其中為銳角，且滿足，，當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，以及極坐標(biāo)中極徑的幾何意義，極徑代表的是曲線上的點(diǎn)到極點(diǎn)的距離，在參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程中，能表示距離的量一個(gè)是極徑，一個(gè)是t的幾何意義，其中極徑多數(shù)用于過(guò)極點(diǎn)的曲線，而t的應(yīng)用更廣泛一些.18、（1），；（2）【解析】

（1）依題意可知，直線的極坐標(biāo)方程為（），再對(duì)分三種情況考慮；（2）利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，求弦長(zhǎng)即可得到答案.【詳解】（1）依題意可知，直線的極坐標(biāo)方程為（），當(dāng)時(shí)，聯(lián)立解得交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足兩方程，（易漏解之處忽略的情況）當(dāng)時(shí)，無(wú)交點(diǎn)；綜上，曲線與直線的點(diǎn)極坐標(biāo)為，，（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線，得，可知，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長(zhǎng)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由橢圓的離心率求出、的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，由題意得出，可得出，【詳解】（1）由題意得，，.又因?yàn)?，，所以橢圓的方程為；（2）由，得.設(shè)、，所以，，依題意，，易知，四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)?，，所?即，將其整理為.因?yàn)?，所以?所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因?yàn)?，利用線面平行的判定定理可證出平面，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質(zhì)，得出，且，最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以可設(shè)平面平面，又因?yàn)槠矫妫?因?yàn)槠矫?，平面，所以，從而?因?yàn)榈酌?，所?因?yàn)椋?因?yàn)?，所以平?綜上，平面.（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，則，，，，所以，，，.設(shè)是平面的法向量，由取取，得.設(shè)是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計(jì)算，還運(yùn)用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點(diǎn)線面的位置關(guān)系、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等，同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結(jié)合即可求得周長(zhǎng).【詳解】（1）由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴，所以或.當(dāng)，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應(yīng)用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎(chǔ)題.22、(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對(duì)a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)存在極值．【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，于是，.又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，且.故當(dāng)時(shí)，，即.所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對(duì)，；(2)方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實(shí)數(shù)，使得成立.于是，當(dāng)時(shí)，，為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)；所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，在上成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上沒(méi)有極值；③當(dāng)時(shí)