2020-2021中考數(shù)學壓軸題：二次函數(shù)的綜合（附答案）

2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題專題復習一一二次函數(shù)的綜合附答案

一、二次函數(shù)

1.如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0,3）、B（1,0）,其對稱軸為直線

I：x=2,過點A作ACIIX軸交拋物線于點C,NAOB的平分線交線段AC于點E,點P是拋

物線上的一個動點，設(shè)其橫坐標為m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO,當m為何值時，四邊形AOPE

面積最大，并求出其最大值；

（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸I上的一點，在拋物線上是否存在點P使APOF成為以

點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不

存在，請說明理由.

575

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當＞71=—時，四邊形AOPE面積最大，最大值為（3）P

28

點的坐標為：P1（21,匕好），P2J-逐,11立），P3（立5,t5）,

222222

z5-A/51—A/5x

r4\----------------,---------------）.

22

【解析】

分析：（1）利用對稱性可得點D的坐標，利用交點式可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（m,m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標，表示PG的長，根據(jù)面積

和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四種情況：

如圖3,作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP空△PNF,根據(jù)OM=PN列方程可得點P

的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標.

詳解：（1）如圖1,設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D,

圖1

由對稱性得：D(3,0),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-1)(x-3),

把A(0,3)代入得：3=3a,

a=l,

拋物線的解析式；y=x2-4x+3；

(2)如圖2,設(shè)P(m,m2-4m+3),

圖2

■，-OE平分NAOB,ZAOB=90°,

二ZAOE=45°,

?△AOE是等腰直角三角形，

AE=OA=3,

.E(3,3),

易得0E的解析式為：y=x,

過P作PGIIy軸，交OE于點G,

G(m,m),

.PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,

?S四邊形AOPE=SAAOE+SAPOE,

11

=—x3x3+—PG?AE,

22

91

=—+—x3x(-m2+5m-3),

22

575

.?.當m=一時，S有最大值是?；

28

(3)如圖3,過P作MN_Ly軸，交y軸于M,交I于N,

???△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF,

易得△0Mp絲&PNF,

0M=PN,

P(m,m2-4m+3),

則-m2+4m-3=2-m,

解得：或匕叵，

22

p的坐標為(絲5,小叵)或(行一也,匕XI).

2222

如圖4,過P作MN_Lx軸于N,過F作FM_LMN于M,

同理得△0NP合△PMF,

二PN=FM,

則-m2+4m-3=m-2,

解得：x="或三叢；

22

P的坐標為（處5,匕正）或（③一也,匕立）.

2222

綜上所述，點p的坐標是：（立5,匕立）或（口叵，上二叵）或（處5,

22222

1-75、-/3-V51+75、

222

點睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，相似三角形的判定與

性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運用配方法，解第（3）問時需要運

用分類討論思想和方程的思想解決問題.

2.（10分）（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡。點處拋出，球的拋出路線可以用二次函

數(shù)丫=-x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=/x刻畫.

（1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標；

（2）小球的落點是A,求點A的坐標；

（3）連接拋物線的最高點P與點0、A得APOA,求APOA的面積；

（4）在0A上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△M0A的面積等于△POA的

面積.請直接寫出點M的坐標.

7721315

【答案】（1）（2,4）；（2）（2,4）.（3）4.（4）（2,4）.

【解析】

試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點

P的坐標；

（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點A的坐標；

（3）作PQ_Lx軸于點Q,AB_Lx軸于點B.根據(jù)SAPOA=SAPOQ+SA梯形PQBA-SABOA,代入數(shù)值

計算即可求解；

（4）過P作0A的平行線，交拋物線于點M,連結(jié)OM、AM,由于兩平行線之間的距離

相等，根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積.設(shè)直

11

線PM的解析式為y』x+b,將P（2,4）代入，求出直線PM的解析式為y/x+3.再與拋

1

'y=-%+3

'y=-x2+4x

物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點M的坐標.

試題解析：（1）由題意得，y=-x2+4x=-（X-2）2+4,

故二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標為（2,4）；

7

1>X=2

?y=jx7

/（X=0\y=--

（2）聯(lián)立兩解析式可得：7,解得：U一U,或

77

故可得點A的坐標為（24）；

1177177

=2X2X4+2X(4+4)x(2-2)-2、2、4

6949

=4+花-16

21

-T.

（4）過P作0A的平行線，交拋物線于點M,連結(jié)OM、AM,則△MOA的面積等于

APOA的面積.

1

設(shè)直線PM的解析式為yNx+b,

???P的坐標為（2,4）,

1

4=2x2+b,解得b=3,

1

?直線PM的解析式為y=Z<+3.

3

12

'y=-%+315

21%=2

由+曲解得ly=4,

315

考點：二次函數(shù)的綜合題

3.如圖，已知拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過A（—3,0）,B（1,0）,C（0,3）三點,

其頂點為D,對稱軸是直線I,I與X軸交于點H.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點P是該拋物線對稱軸I上的一個動點，求APBC周長的最小值；

（3）如圖（2）,若E是線段AD上的一個動點（￡與人、D不重合），過E點作平行于y

軸的直線交拋物線于點F,交x軸于點G,設(shè)點E的橫坐標為m,AADF的面積為S.

①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=-x2-2x+3.

（2）3^+710.

（3）0S=-m2-4m-3.

②當m=-2時，S最大，最大值為1,此時點E的坐標為（-2,2）.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可.

(2)根據(jù)BC是定值，得到當PB+PC最小時，APBC的周長最小，根據(jù)點的坐標求得相應

線段的長即可.

(3)設(shè)點E的橫坐標為m,表示出E(m,2m+6),F(m,-m2-2m+3)＞最后表示

出EF的長，從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可.

【詳解】

解：(1)???y=ax2+bx+cA(-3,0),B(1,0),

???可設(shè)拋物線交點式為y=a(x+3)(x—1).

又：拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過C(0,3),：.a=-l.

2

?,?拋物線的解析式為:y=-(x+3)(x-l),gpy=-x-2x+3.

(2)?■?APBC的周長為：PB+PC+BC,且BC是定值.

當PB+PC最小時，APBC的周長最小.

???點A、點B關(guān)于對稱軸I對稱，

二連接AC交I于點P,即點P為所求的點.

AP=BP,二△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

A(-3,0),B(1,0),C(0,3),二AC=30,BC=V10.

△PBC的周長最小是：372+710.

(3)①;拋物線y=—x?—2x+3頂點D的坐標為(-1,4),A(-3,0),

?直線AD的解析式為y=2x+6

?.?點E的橫坐標為m,二E(m,2m+6),F(m,-m2-2m+3)

/.EF=-m2-2m+3-(2m+6)=-m2-4m-3.

22

S=SADEF+SAAEF=1-EF-GH+|-EF-AG=1-EF-AH=1.(-m-4m-3)-2=-m-4m-3

二S與m的函數(shù)關(guān)系式為5=—n?—4m—3.

@S=-m2-4m-3=-(m+2)^+1,

.當m=-2時，S最大，最大值為1,此時點E的坐標為(-2,2).

4.(12分)如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m,寬是4

m.按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y=-4x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到

0B的水平距離為3m,到地面0A的距離為一m.

2

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂D到地面0A的距離；

（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那

么這輛貨車能否安全通過？

（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度

不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米？

17

~2

【答案】（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-,X2+2X+4,拱頂D到地面0A的距離為10m；

（2）兩排燈的水平距離最小是4括m.

【解析】

【詳解】

試題分析：根據(jù)點B和點C在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出b和c的值，從而得出函

數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出頂點坐標，得出最大值；根據(jù)題意得出車最外側(cè)與地面OA的

交點為（2,0）（或（10,0））,然后求出當x=2或x=10時y的值，與6進行比較大小，比

6大就可以通過，比6小就不能通過；將y=8代入函數(shù)，得出x的值，然后進行做差得出

最小值.

試題解析：（1）由題知點5（0,4）,。。,一］在拋物線上

c=4（■

b=212

所以1171八，解得，，所以y=—二九2+2%+4

—=——x9+3Z?+cc=46

（26I

b

所以，當天=----=6時，y皂/=1。

答：y=——/+2%+4,拱頂D到地面OA的距離為10米

（2）由題知車最外側(cè)與地面OA的交點為（2,0）（或（10,0））

(3)令y=8,即—9/+2%+4=8,可得丁―12%+24=0，解得

6

%=6+2百，9=6-2A/3

玉-x2=46

答：兩排燈的水平距離最小是4百

考點：二次函數(shù)的實際應用.

5.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=奴2+6x+c交x軸于點4(—4,0)、

3(2,0),交y軸于點。(0,6),在y軸上有一點E(0,—2),連接AE.

(2)若點。為拋物線在X軸負半軸上方的一個動點，求AADE面積的最大值；

(3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使AAE尸為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有

P點的坐標，若不存在請說明理由.

332

【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=—]X+6；(2)當x=—§時，AADE的

面積取得最大值日；(3)p點的坐標為(-M),(-i,±7n),(-i,-2±7i9).

【解析】

分析：(1)把己知點坐標代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可；

(2)根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點。坐標，過點。作OG^x軸，交AE于點F,表示AADE的

面積，運用二次函數(shù)分析最值即可；

(3)設(shè)出點P坐標，分■PA=PE,PA=AE,PE=AE三種情況討論分析即可.

詳解：(1)...二次函數(shù)片ox2+bx+c經(jīng)過點八(-4,0)>8(2,0),C(0,6),

16a-4/?+c=0

/.<4〃+2Z?+c=0,

c=6

3

a=—

4

,3

解得:b=——

2

c=6

33

所以二次函數(shù)的解析式為：y=—-x2—-x+6；

42

(2)由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直線解析式為y=—gx—2,

過點。作。N，x軸，交AE于點F,交X軸于點G,過點E作EHLDF,垂足為H,如圖,

DF=--m2--m+6-(--777-2)=--nr-m+S,

4224

11

SAADE=S△ADF+S^EDF--xDFxAG+—DFxEH

22

11

二一xDFxAG+一義DFxEH

22

1

=—x4xDF

2

3

=2x(——m2-m+8)

4

3/2、250

233

250

，當m=---時，△AOE的面積取得最大值為—.

33

33

(3)y=一一X2一一X+6的對稱軸為x=-1,設(shè)P(-1,n),又E(0,-2),A(-

42

4,0),可求%=的+?，PE=J1+5+2)2，AE=J16+4=2?,分三種情況討論:

當力=PE時，,9+7?=，1+（〃+2）2，解得：n=l,此時P（-1,1）；

當力=AE時，,9+/716+4=2至,解得："=±而，此時點P坐標為（-1，

±7TT）；

當PE=AE時，JI+5+2）2=J16+4=26,解得：n=-2±V19，此時點P坐標為：

（-1,-2土M）.

綜上所述：P點的坐標為：（-1,1）,（-1,±^1）,（-1,-2±V19）.

點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角

形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關(guān)鍵.

6.如圖，拋物線y=ax?+6x+c交x軸于A,B兩點，交y軸于點C.直線y=x-5經(jīng)過點B,

C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A的直線交直線BC于點M.

①當AMJ_BC時，過拋物線上一動點P（不與點B,C重合），作直線AM的平行線交直

線BC于點Q,若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；

（2）①P點的橫坐標為4或牝叵或

【答案】（1）拋物線解析式為y=f2+6x-5；

2

5；②點M的坐標為（＜,—）或-小?

2661

【解析】

分析：（1）利用一次函數(shù)解析式確定C（0,-5）,B（5,0）,然后利用待定系數(shù)法求拋

物線解析式；

（2）①先解方程卡+6"5=0得A（1,0）,再判斷△OCB為等腰直角三角形得到

NOBC=NOCB=45。，貝必AMB為等腰直角三角形，所以AM=2&,接著根據(jù)平行四邊形的

性質(zhì)得到PQ=AM=2④，PQ±BC,作PD_Lx軸交直線BC于D,如圖1,利用NPDQ=45。得

到PD=0PQ=4,設(shè)P(m,-m2+6m-5),則D(m,m-5),討論：當P點在直線BC上方

時，PD=-m2+6m-5-(m-5)=4；當P點在直線BC下方時，PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分

別解方程即可得到P點的橫坐標；

②作ANJLBC于N,NH_Lx軸于H,作AC的垂直平分線交BC于Mi,交AC于E,如圖

2,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到NAMiB=2NACB,再確定N(3,-2),

AC的解析式為y=5x-5,E點坐標為(!，-』)，利用兩直線垂直的問題可設(shè)直線EMi的

22

解析式為丫=-』*+13,把E(L,-3)代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-』x-U,則

52255

y=x-5

解方程組|112得Mi點的坐標；作直線BC上作點Mi關(guān)于N點的對稱點M2,

155

如圖2,利用對稱性得到NAMzC=NAMiB=2NACB,設(shè)M2(x,x-5),根據(jù)中點坐標公式

13

-----+1*

得到3=6，然后求出X即可得到M2的坐標，從而得到滿足條件的點M的坐標.

2

詳解：(1)當x=0時，y=x-5=-5,則C(0,-5),

當y=0時，x-5=0,解得x=5,則B(5,0),

把B(5,0),C(0,-5)代入y=ax2+6x+c得

25。+30+c=0a——1

，解得

c=—5&=-5'

拋物線解析式為y=-x2+6x-5；

(2)①解方程-x2+6x-5=0得xi=l,X2=5,則A(1,0),

B(5,0),C(0,-5),

A△OCB為等腰直角三角形，

ZOBC=ZOCB=45°,

AM±BC,

?△AMB為等腰直角三角形，

AM=—AB=—x4=2J2,

22

???以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，AMIIPQ,

二PQ=AM=20,PQ_LBC,

作PD_Lx軸交直線BC于D,如圖1,則NPDQ=45。，

PD=&PQ=V^x2正=4，

設(shè)P(m,-m2+6m-5),貝|D(m,m-5),

當P點在直線BC上方時，

PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4,解得mi=l,mz=4,

當P點在直線BC下方時，

22

PD=m-5-(-m+6m-5)=m-5m=4,解得m產(chǎn)5+^/^,m2=,

22

綜上所述，P點的橫坐標為4或絲畫或d畫；

22

②作ANJ_BC于N,NHJ_x軸于H,作AC的垂直平分線交BC于Mi,交AC于E,如圖

2,

MiA=MiC,

/.ZACMi=ZCAMi,

???ZAMiB=2ZACB,

△ANB為等腰直角三角形,

AH=BH=NH=2,

.N(3,-2),

易得AC的解析式為y=5x-5,E點坐標為（一，---，

22

設(shè)直線EMi的解析式為y=-gx+b,

12

把E(不，--)代入得—-+b=--,解得b=--

22101025

???直線EMi的解析式為y=-1x-12

y

13

解方程組＜112得＜/，則Ml(丁，..-)；

y=——---1/66

[5x5[y=--

作直線BC上作點Mi關(guān)于N點的對稱點M2,如圖2,則NAM2c=NAMiB=2ZACB,

設(shè)M2(x,x-5),

13

一———+X

3=6

2

23

??X—,

6

,23

..M2(z---,J，，

6

131793)

綜上所述，點M的坐標為（一，-一）或（一,4?

666

點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)

的性質(zhì)、等腰直角的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

理解坐標與圖形性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題.

7.如圖甲，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C,經(jīng)過B、C兩點的拋物線

y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A,頂點為P.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M,使以C,P,M為頂點的三角形為等腰三角

形？若存在，請直接寫出所符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）當0<x<3時，在拋物線上求一點E,使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探

【答案】(1)y=x2-4x+3；(2)(2,二)或(2,7)或(2,-1+2、樂)或(2,-1-

2

2、后)；(3)E點坐標為(J3時，ACBE的面積最大.

824

【解析】

試題分析：(1)由直線解析式可求得B、C坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)由拋物線解析式可求得P點坐標及對稱軸，可設(shè)出M點坐標，表示出MC、MP和PC

的長，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關(guān)于M點坐標的方程，可求得

M點的坐標；

(3)過E作EFLx軸，交直線BC于點F,交X軸于點D,可設(shè)出E點坐標，表示出F點的

坐標，表示出EF的長，進一步可表示出小CBE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得

最大值時E點的坐標.

試題解析：(1)1,直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C,

.B(3,0),C(0,3),

q+3b+「0b4

把B、C坐標代入拋物線解析式可得「'',解得，_,

2=31c=3

???拋物線解析式為y=x2-4x+3；

(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

，拋物線對稱軸為x=2,P(2,-1),

設(shè)M(2,t),且C(0,3),

MC=f?3/=J?1?67+13，MP=|t+i|,PC=g：+(+3)；=26,

???△CPM為等腰三角形，

有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況,

①當MC=MP時，則有知：__l”|t+l|，解得t=；止匕時M(2,2)；

22

②當MC=PC時，則有E^=2、1，解得t=-l(與P點重合，舍去)或t=7,此時M(2,

7);

③當MP=PC時,則有|t+l|=2而,解得t=-1+2、尺或t=-1-2、而，此時M(2,-

1+2.1)或(2,-1-2^)；

綜上可知存在滿足條件的點M,其坐標為（2,二）或（2,7）或（2,-1+2.樂）或

2S

（2，-「25；

0<x<3,

EF=-x+3-（x2-4x+3）=-x2+3x,

ill]3397

（2）（）2

.SACBE=SAEFC+SAEFB=-EF?OD+_EF?BD=_EF?OB=_x3-x+3x=--x-_+_,

2222228

333

當x=二時，△CBE的面積最大，此時E點坐標為（22）,

224

33

即當E點坐標為（二，士）時，△CBE的面積最大.

24

考點：二次函數(shù)綜合題.

8.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-2x+a-3,當a=0時，拋物線與y軸交于點

4將點A向右平移4個單位長度，得到點8.

（1）求點B的坐標；

（2）將拋物線在直線y=a上方的部分沿直線y=a翻折，圖象的其他部分保持不變，得到

一個新的圖象，記為圖形M,若圖形M與線段AB恰有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求

a的取值范圍.

【答案】（1）A（0,-3）,B（4,-3）；（2）-3<a<0；

【解析】

【分析】

（1）由題意直接可求4根據(jù)平移點的特點求B；

（2）圖形M與線段48恰有兩個公共點，y=a要在AB線段的上方，當函數(shù)經(jīng)過點八時，

AB與函數(shù)兩個交點的臨界點；

【詳解】

解：⑴A（0,-3）,B（4,-3）；

（2）當函數(shù)經(jīng)過點A時，a=0,

???圖形M與線段4B恰有兩個公共點，

y=a要在AB線段的上方，

-3

/--3＜?！?；

【點睛】

本題二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象的特點，函數(shù)與線段相交的交點情況

是解題的關(guān)鍵.

9.如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0,3）、B（1,0）,其對稱軸為直線

I：x=2,過點A作ACIIX軸交拋物線于點C,NAOB的平分線交線段AC于點E,點P是拋

物線上的一個動點，設(shè)其橫坐標為m.

%l.%/.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO,當m為何值時，四邊形AOPE

面積最大，并求出其最大值；

（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸1上的一點，在拋物線上是否存在點P使APOF成為以

點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不

存在，請說明理由.

【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當m二5一時，四邊形AOPE面積最大，最大值為75?.（3）P

28

點的坐標為：P1（土5,三5）,P2（3-6,"S）,P3（立5,匕正），

222222

z5-逐1—A/5、

22

【解析】

分析：（1）利用對稱性可得點D的坐標，利用交點式可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（m,m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標，表示PG的長，根據(jù)面積

和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四種情況：

如圖3,作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明A0MP年APNF,根據(jù)OM=PN列方程可得點P

的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標.

詳解：（1）如圖1,設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D,

圖1

由對稱性得：D(3,0),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-1)(x-3),

把A(0,3)代入得：3=3a,

a=l,

拋物線的解析式；y=x2-4x+3；

(2)如圖2,設(shè)P(m,m2-4m+3),

圖2

■，-OE平分NAOB,ZAOB=90°,

二ZAOE=45°,

?△AOE是等腰直角三角形，

AE=OA=3,

.E(3,3),

易得0E的解析式為：y=x,

過P作PGIIy軸，交OE于點G,

G(m,m),

.PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,

?S四邊形AOPE=SAAOE+SAPOE,

11

=—x3x3+—PG?AE,

22

91

=—+—x3x(-m2+5m-3),

22

575

.?.當m=一時，S有最大值是?；

28

(3)如圖3,過P作MN_Ly軸，交y軸于M,交I于N,

???△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF,

易得△0Mp絲&PNF,

0M=PN,

P(m,m2-4m+3),

則-m2+4m-3=2-m,

解得：或匕叵，

22

p的坐標為(絲5,小叵)或(行一也,匕XI).

2222

如圖4,過P作MN_Lx軸于N,過F作FM_LMN于M,

同理得△0NP合△PMF,

二PN=FM,

則-m2+4m-3=m-2,

解得：x="或三叢；

22

P的坐標為(處5,匕正)或(③一也,匕立).

2222

綜上所述，點p的坐標是：(立5,匕立)或(口叵，上二叵)或(處5,

22222

1-75、-/3-V51+75、

222

點睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，相似三角形的判定與

性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第(2)問時需要運用配方法，解第(3)問時需要運

用分類討論思想和方程的思想解決問題.

10.如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A(1,0)和點B與y軸交于

點C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.

(2)在y軸上是否存在一點P,使APBC為等腰三角形？若存在.請求出點P的坐標；

(3)有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N

從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達

點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最

大面積.

【答案】(1)二次函數(shù)的表達式為：y=x2-4x+3；(2)點P的坐標為：(0,3+3&)或

(0,3-3&)或(0,-3)或(0,0)；(3)當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面

積最大，最大面積是L此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸

下方2個單位處.

【解析】

【分析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表

達式；

(2)先求出點B的坐標，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當△PBC為等腰三角形時分三種

情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點P的坐標；

(3)設(shè)AM=t貝1]DN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解

2

析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點M在D點，點N

在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上X軸下方2個單位處.

【詳解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,

l+Z?+c=0

。=3

解得：b=-4,c=3,

，二次函數(shù)的表達式為：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,則x2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

B(3,0),

BC=3，

點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1,

①當CP=CB時，PC=30,OP=OC+PC=3+30或OP=PC-OC=3逝-3

夜),；

?Pi(0,3+3P2(0,3-372)

②當PB=PC時，OP=OB=3,

；

P3(0,-3)

③當BP=BC時，

OC=OB=3

?此時P與O重合，

；

.P4(0,0)

綜上所述，點P的坐標為：(0,3+3力)或(0,3-372)或(-3,0)或(0,0)；

當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1.此時點N在對稱軸上X

軸上方2個單位處或點N在對稱軸上X軸下方2個單位處.

S2

11.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-3（axO）與x軸交于點A（-2,

0）、B（4,0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式;

（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從

B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，

另一個點也停止運動，當APBQ存在時，求運動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是

多少？

（3）當APBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K,使SACBK:SAPBQ=5：2,求

K點坐標.

【答案】（l）y=3'x2-3-x-3

84

一一一一,9

（2）運動1秒使△PBQ的面積最大，取大面積是—

10

2715

（3）Ki（1,----）,4（3,--）

88

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析

式，通過解方程組求得它們的值；

（2）設(shè)運動時間為t秒.利用三角形的面積公式列出SAPBQ與t的函數(shù)關(guān)系式SAPBQ=-

9

（t-l）2+—.利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行解答；

10

3

（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為尸一X-3.由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征

33

可設(shè)點K的坐標為（m,-m2-----m-3）.

如圖2,過點K作KEIIy軸，交BC于點E.結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得

9t,

SACBK=-?則根據(jù)圖形得到:SACBK=SACEK+SABEK=—EK*m+—eEK*(4-m)，把相關(guān)線段的

3Q2715

長度代入推知：--m2+3m=—.易求得Ki(1,—-)，K2(3,—-).

4488

解：(1)把點A(-2,0)、B(4,0)分別代入y=ax2+bx-3(arO),得

4a-2b-3=Q

16tz+4Z?-3=0，

解得

33

所以該拋物線的解析式為：y堂一廠3；

（2）設(shè)運動時間為t秒，則AP=3t,BQ=t.

PB=6-3t.

由題意得，點C的坐標為（0,-3）.

在RtABOC中，BC=后+42=5.

如圖1,過點Q作QH_LAB于點H.

圖1

QHIICO,

△BHCH△BOC,

HBBGHbt

——=——，即nn一=-

OCBC35

9、9

SAPBQ=—PB?HQ=—(6-3t),—1=—-t2n34-1="—(t-1)2H-----.

2251051010

當APBQ存在時，0ct<2

.當t=l時,

9

SAPBQ最大=丁.

9

答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是一；

(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c(k*0).

把B(4,0),C(0,-3)代入，得

4左+c=0

《，

c=—3

解得彳4,

c=-3

3

?.?直線BC的解析式為y=-x-3.

.??點K在拋物線上.

一33

」?設(shè)點K的坐標為(m,-m2-----m-3).