2020-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)分類匯編：三角函數(shù)與解三角形（含答案）

考點(diǎn)3三角函數(shù)與解三角形-——五年(2020-2024)高考數(shù)學(xué)真題專

項(xiàng)分類匯編

學(xué)校：___________姓名：—______班級：__________考號：___________

一、選擇題

1.已知sin(a-/?)二!,cosasm/]=—,貝！Jcos(2a+2^)=()

36

_7

A.-B.-C.--D.

999~9

已知為銳角，

2.acosa=1+",貝！Jsin'=()

4

3-逐—1+V5C3一小-1+百

A.D.D.

88.44

3.下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=7sin[x-ej

單調(diào)遞增的區(qū)間是()

A-(°'CB.加4若1

4.已知cos(o+/7)=機(jī)，tanortan/?=2,貝Ucos(。-/?)=()

vn

A.-3mB.--C.—D.3m

33

口/+A0皿1sin6(1+sin2。)

5.右tan8=2,貝.八=()

sinu+cos0

6「2

A.—B.—c.2屋

5555

6?若sin(。+/?)+cos(6Z+0=2后cos1a+；｝in〃，則()

A.tan(cr-)3)=1B.tan(cr+/7)=1C.tan(a—/?)——1D.tan(a+p)——1

7.當(dāng)x￡[0,2兀]時(shí)，曲線y=sin%與y=2sin(3x-馬的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

6

A.3B.4C.6D.8

8.記函數(shù)/(%)=sin[①x+：]+/?(口＞0)的最小正周期為T.若T＜T＜兀，且丁=/(%)

的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則[3=()

A.lB-iC-lD.3

二、多項(xiàng)選擇題

9.對于函數(shù)/(x)=sin2x和g(x)=sin12x-；J,下列說法中正確的有()

A./W與g(x)有相同的零點(diǎn)B.f(x)與g(x)有相同的最大值

C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸

10.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+oXO<9(兀)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，貝4()

A"(x)在區(qū)間10,總單調(diào)遞減

B./⑴在區(qū)間,詈］有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線x=叁是曲線丫=/(x)的對稱軸

6

D.直線丁=母-》是曲線y=/(x)的切線

11.下圖是函數(shù)y=sin(s+e)的部分圖像，貝l］sin((yx+e)=()

三、填空題

12.已知函數(shù)/(x)=coss-1(口>0)在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范

圍是.

13.已知a為第一象限角，(3為第三象限角，tano+tan，=4,

tanatan0=0+1,則sin(tz+/7)=.

14.已知函數(shù)/(x)=sin(@c+0),如圖，A,5是直線y=g與曲線y=/(x)的兩個(gè)交

點(diǎn)，若|AB|=工，則/(兀)=.

6

15.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示.。為圓孔及輪廓

圓弧A3所在圓的圓心，A是圓弧A3與直線AG的切點(diǎn)，3是圓弧A3與直線5c的切

點(diǎn)，四邊形DERG為矩形，BC±DG,垂足為C,tanZODC=j,BH//DG,

￡F=12cm,DE=2cm,A到直線DE和ER的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則

四、解答題

16.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=J^cosB,

a2+b2-c2=Oab.

(1)求&

(2)若△ABC的面積為3+6，求c.

17.已知在ZVIBC中，A+B=3C,2sin(A—C)=sin5.

(1)求sinA；

(2)設(shè)AB=5,求A3邊上的高.

18.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+gcosA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,V2Z>sinC=csin2B,求△ABC的周長.

19.在①收=白，②csinA=3,③c=辰這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題

中的三角形存在，求。的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A5,C的對邊分別為，且sinA=75sin氏C=2,

6

?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知^=ac,點(diǎn)。在邊AC

上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)^AD=2DC,求cosNABC.

21.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2知8sA=sin23.

1+sinA1+cos2B

(1)若。=@,求3；

3

(2)求二I的最小值.

參考答案

1.答案：B

1

sinacos0-cosasin0

Q1

解析：依題意，得,所以sinacos/=—，所以

2

cos?sin^=-

6

112

sin(cr+/?)=sinacos/?+cosasin/?=—+—=一,所以

263

cos(2cr+2/?)=l-2sin2(a+/7)=l-2x故選B.

2.答案：D

解析：法一：由題意，5=1

=1—2sin2—,得

2

.2a3-A/56-275V5-1V

sm—又。為銳角，所以s嗚＞。，所以

28=['J

.a—1+A/544'生n

sin—=-------,故r選D.

24

得=」將選項(xiàng)逐個(gè)代入驗(yàn)證

法二：由題意，cosa-+-1-2sin2—,sin2qI,

4228

可知D選項(xiàng)滿足，故選D.

3.答案：A

解析：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，熟記三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是解決此類問題的關(guān)鍵.因?yàn)?/p>

JTJT

f(x)=7sin[%—弓)，所以兀一弓￡——+2析,一+2也(左eZ),解得

22

XG--+2kji,—+2kji(kGZ)F只有A項(xiàng)符合.

L33J

4.答案：A

解析：由cos(a+(J)=相得cosacos/-sinasin/=加①.由tanatan/7=2得

sinasin4=2②,由①②得"=一相，所以

cosacos(3[sinasm/3--2m

cos(cr-P)=cosacos/?+sinasin[3=-3m,故選A.

5.答案：C

解析：本題考查三角函數(shù)的化簡與計(jì)算.因?yàn)閠ane=-2,所以

sin6(l+sin2。)sin6>(sin2Q+cos29+2sin6>cos(9)sin6*(sin+cos6>)2.八..八八、

------------=------------------------------=----------------=sin6(sin0+cosff)=

sin6+cos6sin8+cos0sin8+cos0

sin20+sin9cos0_tan2e+tan6_4-2_2

sin20+cos20tan20+14+15

6.答案：C

解析：當(dāng)a二。時(shí)，由題設(shè)可得sin/?=cos/?,故可取/=：.于是，tan(a-/?)=-1,

tan(a+0=l,因此可以排除選項(xiàng)A,D.同理，當(dāng)尸=0時(shí)，可取于是有

tang+月)=-1,因此可以排除選項(xiàng)B.故正確選項(xiàng)為C.

7.答案：C

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin［3x-t1的最小正周期T=g，所以函數(shù)V=2sin［3x-t］在

［0,2K］上的圖象恰好是三個(gè)周期的圖象，所以作出函數(shù)y=2sin(3x-四］與y=sinx在

由圖可知，這兩個(gè)圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，故選C.

8.答案：A

解析：因?yàn)锧＜?。钾?，所以@＜生＜兀，解得2＜。＜3.因?yàn)閥=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

33co

［與,2］中心對稱，所以6=2,且sin［go+；］+5=2,即sin［，0+；］=0,所以

變0+巴=也(左eZ),又2＜。＜3,所以西〈羽0+二〈也，所以電◎+工=4兀，

24424424

解得。=3,所以/(x)=sin《x+；］+2,所以

ff—=sinf—x—+—+2=sin—+2=1.故選A.

^2)(222

9.答案：BC

解析：對于A,令/(x)=0,則％=弓，keZ,XgfyLo,故A錯(cuò)誤;

對于B,/(x)與g(x)的最大值都為1,故B正確；

對于C,/(X)與g(x)的最小正周期都為71,故C正確；

對于D,/(x)圖象的對稱軸方程為2%=巴+也，左GZ,即尤=烏+如，左eZ,g(x)

242

圖象的對稱軸方程為2X-2=2+E,左eZ,即％=型+如，ZeZ,故/(x)與g(x)

4282

的圖象的對稱軸不相同，故D錯(cuò)誤.故選BC.

10.答案：AD

解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)［學(xué),0)中心對稱，所以sin12xg+9)=0,可得

W+(P=kn(keZ),結(jié)合0<0<兀，得/=7，所以/(%)=sin12%+§

對于A,當(dāng)x［o,總時(shí)，2%+/仔,引，所以函數(shù)/⑴在區(qū)間［。,||］單調(diào)遞

減，故A正確；

對于B,當(dāng)臼-全5］時(shí)，2x+ye^|,y^所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［若，皆］只

有一個(gè)極值點(diǎn)，故B不正確；

對于C,因?yàn)?e］=sin［2x*+4］=sin3兀=0,所以x=*不是曲線y=/(x)的

對稱軸，故C不正確；

對于D,因?yàn)閞(x)=2cos［2x+g］,若直線y=9—x為曲線y=/(x)的切線，則由

2cos12%+空］=-1,得2x+竺=2左兀+竺或2%&=2左兀+如(左wZ),所以x=左兀

(3J3333

或%=歷1+](左€2).當(dāng)》=左兀(左eZ)時(shí)，/(x)=孚，則由#=孝—左為(左eZ),解得

左=0；當(dāng)工=左兀+](左eZ)時(shí)，于(x)一號,方程一咚=孝一左兀一/(左eZ)無解.綜上

所述，直線y=#-x為曲線y=/(x)的切線，故D正確.綜上所述，選AD.

11.答案：BC

2兀712兀,,

解析：由題圖可知，函數(shù)的最小正周期丁=2=兀，-=兀，①二±2.當(dāng)〃＞=2時(shí)，

T-6㈤

71JI

y=sin(2x+0),將點(diǎn)《可代入得，sin(2x/0=0,/.2x——b°=2而+兀，左￡Z,即

66

9=2E+日2兀，左wZ,故y=sin(2%+g).由于

3

y=sin(2x+等2x+等

=sin7i-=sin故選項(xiàng)B正確;

y=sin[三一2xJ=cos2xJ|=cos[2x+.J,選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)A,當(dāng)元=看時(shí),

sinB+f=1x0,錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D,當(dāng)”_%+7_5兀時(shí)，cos蘭-2x|j=1?1,錯(cuò)誤.當(dāng)

\63%=----:------1612

o=-2時(shí)，y=sin(-2x+°),將代入，得$"-2*弓+可=0,結(jié)合函數(shù)圖象，知

兀4兀.(47r)

—2x—F夕=兀+2kK,左￡Z,(p-......F2kit,kwZ,?e.y—sin—2xH--,彳旦當(dāng)x=0日寸，

63\37

y=sin,2x+])=-*0,與圖象不符合，舍去.綜上，選BC.

12.答案：[2,3)

解析：函數(shù)/(x)=cos(9x-l在區(qū)間[0,2兀]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，即cosa)x=l在區(qū)間

[0,2和有且僅有3個(gè)根，因?yàn)?。?,xe[0,271],所以。xe[0,25],則由余弦函數(shù)的

圖象可知，4兀42師＜6兀，解得24。＜3,即m的取值范圍是[2,3).

13.答案：-謔

3

解析：由題知tan(a+0=tana+tan夕=_匚=—2立,即

1-tanor-tan/?1-^2-1

sin(a+(3)--2A/2COS(6Z+0),又sin?(a+/?)+cos2(^z+/?)=1,可得sin(a+，)=±.

兀37r

由2kli<a<2hi+—，eZ,2mji+TI<B<2加兀H----,meZ,得

22

2(k+rri)7t+it<a+/3<2(左+加)兀+2兀，左+Z.又tan(a+/?)<0,所以a+1是第四

象限角，故sin(tz+夕)=一樣2.

14.答案：-立

2

解析：對比正弦函數(shù)y=sinx的圖象易知，點(diǎn)［學(xué),0)為“五點(diǎn)(畫圖)法”中的第五

n

點(diǎn)，所以一口+夕=2兀①.由題知|ABU%-4=—，\，兩式相減，得

365兀

coxB(p-

^(xB-xA)=—,即烏0=如，解得。=4.代入①，得9=—生,所以

6663

,/、-(A2兀).2兀6

/(7U)=sin4兀---=-sin——=--------.

I3)32

15.答案：—+4

2

解析：如圖，連接。4,作AQLDE,交ED的延長線于。，AM_L￡F于M,交DG

于E',交BH于F,記過。且垂直于DG的直線與DG的交點(diǎn)為P,

設(shè)OP=3〃z,則OP=5m,不難得出AQ=7,40=7,于是AE'=5,EG=5,

ZAGE'=ZAHF'=-,4H為等腰直角三角形，又AF'=5-3"，OF'=7—5m,

4

AFf=OF',:.5—3m=Q—5m,得加=1,AFr—5—3m=2,OF'=7—5m=2,

：.OA=2?,則陰影部分的面積

S=；x?x(20)2+；x20x2后后=卷+41城

16.答案：(1)B=-

3

(2)c=2立

2人2_26

解析：(1)由余弦定理得cosC="=上,

2ab2

7T

又0<C<7i,：.c=-.

4

.,.后cosB=sinC=——，cosB=—)

22

jr

又0<5<兀，:.B=~.

3

(2)由(1)得A=TI—3—。=——，

由正弦定理信=荒，得VTT君一苫

42

：.Z\ABC的面積S=-acsinB=x—=3+,得c=20.

242

17.答案：(1)sinA=^^

10

(2)A3邊上的高為6

解析：(1)在△ABC中，A+B^TI-C,

因?yàn)锳+B=3C,所以3。=?！狢,所以。=二.

4

因?yàn)?sin(A—C)=sin3,

所以2sin[A-?[=sin]+-A],

LJ2

展開并整理得V2(sinA-cosA)=(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

又sin2A+cos2A=l,且sinA>0,

.3710

所以smA4=J。.

（2）由正弦定理得匹=皿,

sinAsinC

zAB.-53y/io_./-

BBC-------xsinA-—^=~x--------3V5,

sinC&10

22

由余弦定理得=AC+BC-2AC-BCcosC,

則52=AC?+(3q2AC36cos/,

4

整理得AC2-3s/WAC+20=0,

解得AC=VT5或AC=2M,

由（1）得，tanA=3〉百，所以二<A（巴，

32

又A+3=羽，所以3〉巴，

44

即C<8,所以AB<AC,所以AC=2jid,

設(shè)A3邊上的高為力，貝uLxABx/zuLxACxBCsinC,

22

即5h=2Mx3指x昱,解得〃=6,

2

所以A3邊上的高為6.

18.答案：（1）A=-

6

（2）2+76+372

解析：（1）法一：由sinA+百cosA=2,得，sinA+/^cosA=1,

22

所以sin[A+g1=l.

因?yàn)?<4<兀，所以烏<A+C〈生，

333

所以A+^=巴，故4=工.

326

法二：由sinA+gcosA=2,得百cosA=2-sinA,

兩邊同時(shí)平方，得3cos2A=4-4sinA+sin2A,

則3(1—sin?A)=4-4sinA+sin2A,

整理，得l-4sinA+4sin2A=0,

所以(1—ZsinAf=0,則sinA='.

2

因?yàn)?<4<兀，所以A=P或A=2.

66

當(dāng)4=工時(shí)，sinA+6cosA=2成立，符合條件；

6

當(dāng)A=2時(shí)，sinA+gcosA=2不成立，不符合條件.

6

故A

6

法三：由sinA+J^cosA=2,得sinA=2-6cosA,

兩邊同時(shí)平方，得sin2A=4-4GcosA+3cos之A,

則l-cos?A=4-4y/3cosA+3cos2A,

整理，得3—4百cosA+4cos2A=0,

所以(6一2COSA)2=0,則cosA=-^-.

因?yàn)镺vAv兀，所以A=2.

6

(2)由y/2bsinC=csin2B,VitsinC=2csinBcosB,

B

由正弦定理，得Cbc=2cbcosB,所以cosB=——，

2

JT

因?yàn)?<5<兀，所以3=—.

4

771

C=7i-(A+B)=—,

匚匚［、］.〃.77C.，兀兀、.兀7C71.7C

所以sinC=sin——=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—

12U4)3434

V3V21V2A/6+A/2

=----x------F—x----=-----------

22224

2sm71

法一：由正弦定理^=―竺=^,得)=竺見0=、4=2后,

sinAsinBsinCsinA?工

Sm6

c.7兀

?k2sin——

c=竺蟲

sinAsi.n?！?/p>

6

所以的周長為。+。+。=2+痛+30.

法二：由正弦定理二^=’^=」一

sinAsinBsinC

4日aa+b+c2.

pj------=---------------------------------4,

sinAsinA+sinB+sinCs.in?！?/p>

6

所以a+b+c=4(sinA+sinB+sinC)=4x—+^-++=2+^/6+3A/2,

1224J

所以△ABC的周長為2+n+30.

19.答案：方案一：選條件①.

由C=巴和余弦定理得"Fj=且.

62ab2

由511124=石51116及正弦定理得〃=血7.

工曰3b之+A?—C?A/3.1.—p〃曰

于是----7=-：-=—,由此可得Z?=c.

2屏22

由①=上,角牟得a-^3,b=c=l.

因此，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)。=1.

方案二：選條件②.

由C=色和余弦定理得"f=叵.

62ab2

由sinA=JJsinB及正弦定理得。=瘋?.

十日3b2+b2—c2且,_z,「一兀42兀

于是----『一=—,由此Ll可r得H〃=c,B=C=—,A=—.

2y/3b2263

由②csinA=3,所以。=匕=26,〃=6.

因此，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c=2百.

方案三：選條件③.

由C=二和余弦定理得二+廿一"=旦

62ab2

由sinA=如sinB及正弦定理得a=y/3b.

工H3b~+b~—c~y/3,,,—?

于是----『一=—,由此可r得z6=c.

2島22

由③c=J拓，與6=c矛盾.

因此，選條件③時(shí)問題中的三角形不存在.

解析：

20.答案：（1）證明見解析

⑵—

12

解析：（1）證明：在△ABC中，BDsinZABC=asinC.

由正弦定理得3。?/?二呢.又人2=〃°,所以皮）=/?.

(2)因?yàn)锳D=2DC,AC=b,

c2+4b2-b2

+.%AB2+AD2-BD29c2一5片

在Z\ABD中，由余弦JE理得cosA=----------------------9

12bc

2ABAD2c--b

3

2

在wc中，由余弦定理得3人%日等C+匕2―Q2