2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：空間向量與立體幾何（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編

或同向量鳥(niǎo)顯體幾何

（點(diǎn)題12小考支精灌株+精送諼樞株）

5年考情?探規(guī)律

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

棱錐的體積、直線與平面所成的角

2024年秋考17題

異面直線及其所成的角，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、平面與平面

2024年春考10、14、18題

之間的位置關(guān)系、空間兩條直線的位置關(guān)系，二面角的平面角及求法、直

線與平面垂直

2023秋考12、17題棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角的平面角及求法、直線與平面平行

2023春考15、17題異面直線的判定，直線與平面所成的角、點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

圓柱的側(cè)面積，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的

2022秋考5、15、17題

體積、直線與平面所成的角

2022春考15、17題

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角

2021年秋考9、17題空間中的最值問(wèn)題，直線與平面所成的角、三棱錐的體積

2021年春考3、17題圓錐的側(cè)面積，直線與平面所成的角、棱錐的體積

2020年秋考15、17題空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角、圓柱的表面積

2020年春考6、21題幾何體的體積，空間點(diǎn)線面的距離的求法

5年真題?分點(diǎn)精準(zhǔn)練

棱錐的結(jié)構(gòu)特征（共1小題）

1.（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)/、B、C,且/8=8。=。=1,在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)D,E（不

考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與/、8、。恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有」

種.

k祥解》根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，分類討論，即可求解.

【解答】解：如圖所示，設(shè)任取2個(gè)不同的點(diǎn)為。、E,

1

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當(dāng)A4BC為正四棱錐的側(cè)面時(shí)，如圖，平面4BC的兩側(cè)分別可以做N8DE作為圓錐的底面，有2種情況,

同理以BCE。、/CE。為底面各有2種情況，所以共有6種情況；

當(dāng)A48c為正四棱錐的截面時(shí)，如圖，D、E位于48兩側(cè)，ND8E為圓錐的底面，只有一種情況，

同理以ADCE、ADCE為底面各有1種情況，所以共有3種情況；

綜上，共有6+3=9種情況.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱錐的性質(zhì)，分類討論思想，屬中檔題.

二.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共3小題）

2.（2024?上海）如圖為正四棱錐尸,。為底面4BCD的中心.

（1）若/尸=5,AD=3也,求△尸CM繞尸。旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；

（2）若=E為的中點(diǎn)，求直線與平面NEC所成角的大小.

K祥解工（1）根據(jù)已知條件，先求出尸O,再結(jié)合棱錐的體積公式，即可求解.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面/EC的法向量，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【解答】解：（1）因?yàn)槭钦睦忮F，

所以底面48CD是正方形，且。尸_1_底面4BCD,

因?yàn)镹D=30，

所以/。=00=08=。。=3,

因?yàn)?P=5,

所以尸O=尸2—/。2=4,

所以APQ4繞。尸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以3為底面半徑，4為高的圓錐，

所以“錐"x3?x4=12%；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

2

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因?yàn)?由題知尸-42。是正四棱錐，所以該四棱錐各棱長(zhǎng)相等,

設(shè)AB=V2a,

貝!，PO=-JAP2-AO2=a,

則0(0,0,0),尸(0,0,a),4(0,-a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(-a,0,0),￡(|,0,|),

故前=(-2°,0,0),AC=(0,2a,0),ZE=(|,a,|),

設(shè)萬(wàn)=(X[，M，Z])為平面AEC的法向量，

[n.AC=Q[2a?必=0

則，__.，即a，令X]=1,貝！J乂=0,Z[=—1,

M-AE=0--X]+a-7j+—-Z1=0

1122

所以力=(1,0-1),

貝1]cos<n,BD)=巴.空=”廠旦

\n\-\BD\|2a|.|V2|2

設(shè)直線BD與面AEC所成角為6,

因?yàn)閟in6=|cos(n,BD')|=,

71

咱0,早,

則”工，

4

故直線BD與平面AEC所成角的大小為-.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱錐體積的求解，以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊AA5C,。為NC邊中點(diǎn)，且尸OJ.底面48C,AP=AC=2.

（1）求三棱錐體積VP_ABC；

（2）若M為8C中點(diǎn)，求W與面己4c所成角大小.

3

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B

K祥解R(1)直接利用體積公式求解；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，0c為y軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面R4C的法向

量，即可求解.

【解答】解:(1)在三棱錐尸-48。中，因?yàn)槭1_底面4BC,所以尸O_LNC,

又。為ZC邊中點(diǎn)，所以AP/C為等腰三角形，

又AP=AC=2.所以是邊長(zhǎng)為2的為等邊三角形，

PO=6三棱錐體積VP_ABC=?尸。=殍X2?XG=1,

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，OC為y軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

巧1

則P(0,0,百)，B(60,0),C(0,1,0),M(^-,0),

——也

PM?=J,

2

平面尸NC的法向量礪=(VL0,0),

設(shè)直線PM與平面PAC所成角為6,

___3

則直線PM與平面PAC所成角的正弦值為sin0=\|=,

\PM\-\OB\V3x24

所以9與面PAC所成角大小為arcsin—.

4

4

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【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

4.（2020?上海）已知四棱錐尸-48CD,底面4BCD為正方形，邊長(zhǎng)為3,尸。_1_平面4BCD.

（1）若尸。=5,求四棱錐尸-48。的體積；

（2）若直線ND與8P的夾角為60。，求尸D的長(zhǎng).

K祥解?（1）利用已知條件求出，棱錐的高，然后求解棱錐的體積即可.

（2）由已知中四棱錐尸-48CD的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，PD_L平面48CD.異面直線/。與P8所成

角為60。，可得AP3c為直角三角形，且NP8C=60。，BC=3,代入求出尸C后，解直角△尸。?？傻么鸢?

【解答】解：（1）?.?PD_L平面48。，.?.尸Z>_LDC.

???CD=3,PC=5,PD=4,

1,

^P-ABCD=—X3*X4=12,

所以四棱錐尸-4BCD的體積為12.

（2）?.?48。是正方形，9_1平面48。。，

BCYPD,BC1CD

又?.?尸。「|。=。

BC1平面PCD

BC_LPC

?.?異面直線4D與PB所成角為60。，BCHAD

在RtAPBC中，ZPBC=60°,BC=3

故尸。=3百

在RtAPDC中，CD=3

PD=372

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積，空間點(diǎn)線面的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計(jì)算能力，

是中檔題.

三.旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）的體積（共3小題）

5.（2022?上海）已知圓柱的高為4,底面積為9萬(wàn)，則圓柱的側(cè)面積為_(kāi)24%^.

K祥解》由底面積為9萬(wàn)解出底面半徑R=3,再代入側(cè)面積公式求解即可.

【解答】解：因?yàn)閳A柱的底面積為9萬(wàn)，即日?？=9萬(wàn)，

所以R=3,

5

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所以S州=2萬(wàn)TV?=24%.

故答案為：247r.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面積為_(kāi)4萬(wàn)_.

K祥解》根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：圓柱的底面半徑為廠=1,高為〃=2,

所以圓柱的側(cè)面積為S惻=2萬(wàn)泌=2%xlx2=4".

故答案為：4萬(wàn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

7.（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則ZU8C的面積的取值范圍為—［2,右］

k祥解》上頂面圓心記為。，下底面圓心記為O,連接OC,過(guò)點(diǎn)。作CA/L48,垂足為點(diǎn)由于ZB

為定值，則SMBC的大小隨著CM的長(zhǎng)短變化而變化，

分別求解的最大值和最小值，即可得到答案.

【解答】解：如圖1,上底面圓心記為。，下底面圓心記為。'，

圖1圖2圖3

連接。C,過(guò)點(diǎn)C作CA/_LN3,垂足為點(diǎn)

貝氏BC=^ABXCM,

根據(jù)題意，為定值2,所以的大小隨著的長(zhǎng)短變化而變化，

如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)，CM=OC=df+*=下,

此時(shí)S雙BC取得最大值為|X2XV5=V5；

如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)8重合，CM取最小值2,

此時(shí)S￡^1/1B0VC取得最小值為2-x2x2=2.

綜上所述，的取值范圍為［2,逐］.

故答案為：［2,遙］.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的最值問(wèn)題，將三角形面積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線段CN的最值問(wèn)題進(jìn)行求

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解是解題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

四.異面直線及其所成的角（共1小題）

8.（2024?上海）已知四棱柱4BCD-44G2底面4BCD為平行四邊形，44=3，8。=4且

ZR-BC-ZD?-DC=5,求異面直線44與2。的夾角_arccosa_.

-12~

[[祥解H由題將福?數(shù)-亞?皮=5轉(zhuǎn)化為五:麗=5即可求解.

【解答】解：如圖，

因?yàn)榱P1=方+您,回=25+胸，又麗.前-也衣=5,

(AB+AAI)-AD-(AD+A^)-DC=5,

化簡(jiǎn)得莉?礪=5,

AAX-BD=3x4xcos9=5,

八5

COSu----.

12

異面直線AAX與BD的夾角為arccos』.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法求立體幾何中的線線角，屬于中檔題.

五.異面直線的判定（共1小題）

9.（2023?上海）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)尸為邊4G上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終

C.4D]D.BtC

K祥解U根據(jù)空間中的兩條直線的位置關(guān)系，判斷是否為異面直線即可.

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【解答】解：對(duì)于/,當(dāng)尸是4cl的中點(diǎn)時(shí)，AP與。A是相交直線；

對(duì)于3,根據(jù)異面直線的定義知，8P與NC是異面直線；

對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)尸與G重合時(shí)，8P與NR是平行直線；

對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)尸與G重合時(shí)，BP與8c是相交直線.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線間的位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

六.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（共3小題）

10.（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面,

則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

K祥解U3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直.

【解答】解：3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直，

二.每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），

相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證

能力，是中檔題.

11.（2022?上海）如圖正方體中，P、。、R、S分別為棱48、BC、BB1、CD的中點(diǎn),

連接4S,B{D.空間任意兩點(diǎn)“、N,若線段"N上不存在點(diǎn)在線段4S、8Q上，則稱女W兩點(diǎn)可視,

則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)口可視的為（）

7^171cl

ApB

8

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A.點(diǎn)PB.點(diǎn)8C.點(diǎn)RD.點(diǎn)。

K祥解R線段九W上不存在點(diǎn)在線段4S、BQ上,即直線"N與線段4S、8Q不相交，因此所求與A可

視的點(diǎn)，即求哪條線段不與線段4S、相交，再利用共面定理，異面直線的判定定理即可判斷.

【解答】解：線段血W上不存在點(diǎn)在線段45、上，即直線"N與線段4$、3Q不相交，

因此所求與A可視的點(diǎn)，即求哪條線段不與線段4S、相交，

對(duì)/選項(xiàng)，如圖，連接&P、PS、D.S,因?yàn)镻、S分別為43、CD的中點(diǎn)，

易證4A//PS,故同、口、P、s四點(diǎn)共面，，2尸與4s相交，，/錯(cuò)誤；

?X\R

對(duì)3、C選項(xiàng)，如圖，連接DB,易證2、B.B、。四點(diǎn)共面,

故。毋都與相交，C錯(cuò)誤;

對(duì)。選項(xiàng)，連接RQ,由/選項(xiàng)分析知4、4、P、S四點(diǎn)共面記為平面4RPS,

???￡>!e平面gPS,Q電平面ARPS,且&Su平面gPS,點(diǎn)'e4s,

2。與4s為異面直線，

同理由8,C選項(xiàng)的分析知2、B.B、。四點(diǎn)共面記為平面Q43。，

2e平面,。任平面。450,且與。u平面〃4BD,點(diǎn)ReBQ,

2。與耳。為異面直線，

故2。與4$，打。都沒(méi)有公共點(diǎn)，選項(xiàng)正確.

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，共面定理的應(yīng)用，異面直線的判定定理，屬中檔題.

12.（2020?上海）在棱長(zhǎng)為10的正方體48。。-4與。］2中，P為左側(cè)面上一點(diǎn)，已知點(diǎn)尸到42

的距離為3,P到的距離為2,則過(guò)點(diǎn)P且與4c平行的直線交正方體于尸、0兩點(diǎn)，則0點(diǎn)所在的平

A.AA［B］BB.BB\C\CC.CCRDD.ABCD

I［祥解》由圖可知點(diǎn)P在△W4Q內(nèi)，過(guò)尸作E尸//4。，且￡尸。|44［于￡，EF^AD^F,在平面N3CZ）

中，過(guò)尸作/G//C。，交5c于G,由平面與平面平行的判定可得平面EFG//平面4。。，連接/C,交尸G

于“，連接瓦0,再由平面與平面平行的性質(zhì)得EM///。，在中，過(guò)尸作P。//瓦攸，且尸。「|歹”

于。，可得尸0///0,由此說(shuō)明過(guò)點(diǎn)尸且與4c平行的直線相交的面是NBC。，即。點(diǎn)所在的平面是平面

ABCD.

由點(diǎn)尸到42的距離為3,P到44的距離為2,

可得p在內(nèi)，過(guò)尸作跖//4。，且跖于￡，跖「|川于尸，

10

2020-2024年五年高考真題分類匯編

在平面/3C。中，過(guò)尸作/G//CD,交8C于G,則平面E尸G//平面&DC.

連接NC,交FG于M,連接

?.?平面E尸G//平面/QC,平面4NCC平面，平面//CC平面跖皈=瓦0,

EM//A.C.

在A5KW■中，過(guò)P作尸Q//EN,且于°,則尸0//4C.

?.?線段FA/在四邊形/BCD內(nèi)，0在線段W上，.1。在四邊形/3CD內(nèi).

.?.則Q點(diǎn)所在的平面是平面ABCD.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

七.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系（共1小題）

13.（2024?上海）空間中有兩個(gè)不同的平面e,6和兩條不同的直線加，〃，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若tz-L￡,mLa1〃_L￡,則MI_L〃B.若a-L￡,zw±a,mln,則”_L￡

C.若a//6，mIla,n!IP,則加〃〃D.若e//￡,m/la,m/In,則〃//￡

K祥解X根據(jù)題意，由直線與平面平行、垂直的性質(zhì)分析選項(xiàng)，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng):

對(duì)于工,若a，mLa,則加//￡或〃？u￡,又"所以加_L",故/正確；

對(duì)于3,若aJ_￡,mLa1則加//￡或加u￡,由加則”與￡斜交、垂直、平行均有可能，故5錯(cuò)

誤;

對(duì)于C,若a//￡,m/la,則///夕或〃?uo，由〃//。，則加與〃相交、平行、異面均有可能，故C錯(cuò)

誤;

對(duì)于D，若a//￡,m/la,則m//6或％u尸,又加//〃，則〃〃。或〃u￡,故。錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線與平面間的位置關(guān)系，涉及直線與平面平行、垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

A.空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示（共1小題）

14.（2024?上海）定義一個(gè)集合。，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取弓，P2,鳥(niǎo)e。，存在不全為0的實(shí)

數(shù)4，%,4,使得4西+4砒+4西=0.已知（1,o,o）eQ,則（o,0,1）任。的充分條件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-1,0,0）eQC.（0,1,0）eQD.（0,0,-l）eQ

K祥解X利用空間向量的基本定理，結(jié)合充要條件，判斷選項(xiàng)即可.

【解答】解：不全為0的實(shí)數(shù)4，4,4，使得4麗+4配+4函=6.

所以3個(gè)向量無(wú)法構(gòu)成三維空間坐標(biāo)系的一組基，

又因?yàn)椋?,0,0）eQ,所以對(duì)于/三者不能構(gòu)成一組基，

故不能推出（0,0,l）gQ,故N錯(cuò)誤；

11

2020-2024年五年高考真題分類匯編

對(duì)于3,(1,0,0)eQ,(-1,0,l)eQ,且(1,0,0),(-110,0)共線，

所以(0,0,1)可以屬于。，此時(shí)三者不共面，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,顯然三者可以構(gòu)成一組基，與條件不符合，故可以推出(0,0,l)gQ,故C正確；

對(duì)于。，三者無(wú)法構(gòu)成一組基，故不能推出(0,0,1)e。，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的基本定理的應(yīng)用，充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題.

九.空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直(共1小題)

15.(2023?上海)已知況、OB>皮為空間中三組單位向量，且)，礪、OA±OC,礪與反夾角為

60°,點(diǎn)尸為空間任意一點(diǎn)，且|赤|=1,滿足|麗?皮I,,|麗?礪I,,|麗?方|,貝”麗?次|最大值為

而

K祥解X將問(wèn)題坐標(biāo)化，表示出次,方，區(qū)的坐標(biāo)，再設(shè)而=(x/,z),代入條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)求

解.

【解答】解：設(shè)。4=(0,0,1),<9S=(^-,-,0),0c=(0,1,0),

OP=(x,y,z),不妨設(shè)x,y,z>0,則|OP|=x2+/+z?=1,

因?yàn)閨麗?云I,,\OP-OB\?\OP-OA\,

所以yW亨x+可得z...y,

所以1=X2+j?+z?*§1/+32+/,解得y2<-Q,

____、歷

^OP-OC=y<^~.

由

故答案為：—.

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

一十.直線與平面所成的角(共4小題)

16.(2022?上海)如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為。、44為圓柱的母線，底面半徑長(zhǎng)為1.

(1)若44=4，”為訓(xùn)的中點(diǎn)，求直線MO］與上底面所成角的大??；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(2)若圓柱過(guò)。的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積.

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

K祥解R(1)轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題求解；(2)用圓柱體積和側(cè)面積公式求解.

【解答】解：(1)因?yàn)?4為圓柱的母線，所以垂直于上底面，

所以乙攸94是直線MO、與上底面所成角,tanZMOlAi=4絲=-=2,

1

所以ZMOtAt=arctan2.

(2)因?yàn)閳A柱過(guò)的截面為正方形，所以=2,

所以圓柱的體積為V=7rr2h=F?2=2萬(wàn)，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面成角問(wèn)題，考查了圓柱的體積與側(cè)面積計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題.

17.(2021?上海)四棱錐尸-/3CD,底面為正方形/3CD,邊長(zhǎng)為4,￡為中點(diǎn)，PEABCD.

(1)若AP/B為等邊三角形，求四棱錐P-48。的體積；

(2)若CD的中點(diǎn)為尸，PF與平面所成角為45。，求尸。與/。所成角的大小.

K祥解X(1)由憶=」尸￡-5正方如ye，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)，進(jìn)行運(yùn)算，即可；

3止刀形

(2)由尸E_L平面45。。，知/尸在1=45。，進(jìn)而有％=依=4,PB=2#,由4O//5C,知NPC5或其

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補(bǔ)角即為所求，可證8C_L平面P48,從而有3c_LP8,最后在RtAPBC中，由tan/PC3=—，得解.

BC

【解答】解：（1）;APN3為等邊三角形，且￡為N8中點(diǎn)，AB=4,

PE=273,

又PE_L平面48C。，

二.四棱錐P-ABCD的體積V=^PE-S正方.⑺=gx24x不=軍.

（2）平面48CD,

NPFE為PF與平面ABCD所成角為45。,即ZPFE=45°,

為等腰直角三角形，

-：E,尸分別為48,CD的中點(diǎn)，

PE=FE=4,

PB=yiPE^+BE1=2V5,

???AD/IBC,

:.NPCB或其補(bǔ)角即為尸C與AD所成角，

PE1平面ABCD,J.PE1BC,

又BCLAB,PEP\AB=E,PE、ABu平面尸AB,

BC1平面PAB,BC1PB,

在RtAPBC中，tanZPC5=—,

BC42

故尸C與ND所成角的大小為arctan—.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的體積、線面角和異面直線夾角的求法，理解線面角的定義，以及利用平移法找到

異面直線所成角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2021?上海）如圖，在長(zhǎng)方體中，已知48=8C=2,AA,=3.

C1）若尸是棱42上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐C-P4D的體積；

（2）求直線與平面/CG4的夾角大小.

K祥解』（1）直接由三棱錐的體積公式求解即可;

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(2)易知直線/4與平面NCG4所成的角為/。/耳，求出其正弦值，再由反三角表示即可.

【解答】解：(1)如圖，在長(zhǎng)方體中，VC-PAD=1S^PAD-hc_^PAD=1xQx2x3^jx2=2；

(2)連接=。，

-,?AB=BC,

四邊形481GA為正方形，則OB,±OAX,

又AAX±OB,,OA^\AAX=4,

OB、1平面ACC,A,,

直線ABX與平面ACC^所成的角為NOAB],

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐體積的求法，考查線面角的求解，考查推理能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.(2020?上海)已知4BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，正方形/BCD繞48旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱.

C1)求該圓柱的表面積；

(2)正方形4BCD繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)］至48CQ1，求線段Cj與平面4BCD所成的角.

4

K祥解》(1)該圓柱的表面由上下兩個(gè)半徑為1的圓面和一個(gè)長(zhǎng)為2萬(wàn)、寬為1的矩形組成，依次求出圓

面和矩形的面積，相加即可；

(2)先利用線面垂直的判定定理證明/2，平面/加，連接CR,則N2C4即為線段C2與平面所

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

成的角，再利用三角函數(shù)的知識(shí)求出cosN2c4即可.

【解答】解：（1）該圓柱的表面由上下兩個(gè)半徑為1的圓面和一個(gè)長(zhǎng)為2萬(wàn)、寬為1的矩形組成,

S=2x乃xF+2萬(wàn)x1=4%.

故該圓柱的表面積為4萬(wàn).

（2）?.?正方形ABCQi,ADt_LAB,

jr

又NDADi=—,AD,±AD,

■：AD[}AB=A,且/3u平面/。8,

.?./Di_L平面即Q在面AD8上的投影為/,

連接CD,,則*CA即為線段CD,與平面ABCD所成的角，

而小一AC也瓜

nrjcosND】CA——-,

CD,C3

線段CD,與平面ABCD所成的角為arccos理.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱的表面積、空間線面夾角問(wèn)題，熟練掌握線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵，考查

學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

一十一.二面角的平面角及求法（共2小題）

20.（2024?上海）如圖，PA>PB、尸C為圓錐三條母線，AB=AC.

（1）證明：PAYBC；

（2）若圓錐側(cè)面積為6萬(wàn),3C為底面直徑，BC=2,求二面角3-尸/-C的大小.

B

K祥解U（1）取8c中點(diǎn)O,連接/O,PO,證明8C_L面尸4。，即可證得結(jié)論；

（2）法⑴BDLPA交于D,連接CD,可得NCD8為兩個(gè)平面所成的二面角的平面角，由等面積法求出助

的值，求出NC798的余弦值，進(jìn)而可得二面角的平面角，

法（拓）建立空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)求得平面尸和平面P4C的法向量，利用向量夾角公式求得二面角

的大小.

【解答】（1）證明：取8c中點(diǎn)。，連接NO,PO,

因?yàn)?B=NC,PB=PC,所以/0_L8C,PO1BC,

又因?yàn)槭?。?Ou面尸NO,尸

所以8c_1面尸4。，又尸Nu面尸N。，

16

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所以尸/_L3c；

(2)解：法⑺由(1)可知，BCYOA,又尸O_L底面/8C,

作PMVAB,BDX.PA交于D,連接CD,

由題意△尸34=△PC4,可得CD_LP4,

所以NCDB為所求的二面角的平面角，連接。D,則NCDB=2乙BDO,

因?yàn)閳A錐側(cè)面積為6巴8c為底面直徑，BC=2,

所以底面半徑為1,母線長(zhǎng)為VL所以PO=1P#-AO2=也,

PA=J”+0/2==V3,

AB=42,PB=y/PO2+OB2=V3,PM"PB?一噂丫=j_g=粵,

S.=-xABxPM=-xPAxBD,

"PPBBA22

即也x?=百xB。，解得BD=叵,

23

所以sin/3Z)O=絲=}=巫，

BD叵5

亍

所以cos/CZ)3=l-2sin2NBr>O=l-2x(^)=-L

55

所以二面角8-P4-C的平面角為鈍角，

所以二面角8-尸/-C的大小為萬(wàn)-arccos」.

5

法(拓)由(1)可知，BC1OA,又尸。J.底面/3C,因?yàn)閳A錐側(cè)面積為幾巴3c為底面直徑，BC=2,

所以底面半徑為1,母線長(zhǎng)為6,所以PO7P#-AO2=亞,

建立以08為x軸，。/為y軸，以。尸為z軸的坐標(biāo)系，

則可得P(0,0,A/2),A(0,1,0),B(l,0,0),C(-1,0,0),

故沙=(0,1,-偽，麗=(1,0,-^2),PC=蜴，

設(shè)點(diǎn)=(項(xiàng),%,zj為平面P43的一個(gè)法向量，

由4_LPA,nx±PB,

—rzgn-PA=0必-V2Z]=0

可得x一=><

n,PB=0X]-41zl=0

令x、=?,則必=0/]=1,可得名=(0,0,1),

設(shè)后=(%,%,Z?)為平面P4C的一個(gè)法向量，

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由%J_PA,n2_LPC,

n-PA=0y-V2Z=0

可得222

%?PC=0-%2-—0

令%2=_拒，則%=3/2=1,可得〃2=（-亞，亞,1）,

n?%-2+2+1_

則COS<〃],%>=x

||%|75x75"5

設(shè)二面角5-尸4-c的平面角為e,由圖可知。為鈍角,

所以二面角B-PA-C的大小為〃-arccos1.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直及線線垂直的判定，考查二面角的求法，屬中檔題.

21.(2023?上海)已知直四棱柱，ABLAD,AB//CD,AB=2,AD=3,CD=4.

(1)證明：直線45//平面。CCQ1；

(2)若該四棱柱的體積為36,求二面角4--4的大小.

K祥解1(1)先證明平面4/54//平面。CGA，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)，即可證明；

(2)先根據(jù)體積建立方程求出4/=4,再利用三垂線定理作出所求二面角的平面角，最后再解三角形，即

可求解.

【解答】解：(1)證明：根據(jù)題意可知45//。。，AA./!DDX,且

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

可得平面A.ABBJ/平面DCCQ],又直線AXBu平面A.ABB,,

直線AXB//平面DCCR;

(2)設(shè)44]=力，則根據(jù)題意可得該四棱柱的體積為g*(2+4)x3x/?=36,

:.h=4,:4N_L底面48cD,在底面48CD內(nèi)過(guò)/作NE_LAD,垂足點(diǎn)為E,

則AXE在底面ABCD內(nèi)的射影為AE,

根據(jù)三垂線定理可得AD14E,

故N4"即為所求，

在RtAABD中，AB=2,AD=3,BD=J4+9=V13,

.ABxAD2x36

/.AE=--------=—==—1=，又4/=〃=4,

BDV13713

4442VB

/.tan=---=---

1AE3

V13

n/io

/.二面角A1-BD-A的大小為arctan---

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，面面平行的判定定理與性質(zhì)，二面角的求解，三垂線定理作二面角，

化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

一十二.點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算(共1小題)

22.(2023?上海)已知三棱錐尸-48C中，尸/_1_平面/8C,AB1AC,PA=AB=3,AC=4,M為BC

中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃分別作平行于平面尸/B的直線交/C、PC于點(diǎn)、E,F.

(1)求直線尸M與平面48c所成角的大小；

(2)證明：平面MEF//平面PAB,并求直線及打到平面PAB的距離.

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

P

K祥解U(1)連接PM,/尸及〃為直線尸”與平面48c所成的角，在AP4W中，求解即可;

(2)先證明NCJ.平面尸48,可得/E為直線腔到平面尸4S的距離.進(jìn)則求NE的長(zhǎng)即可.

【解答】解：(1)連接4W,PM,

■：PA1平面ABC,

ZPMA為直線PM與平面ABC所成的角，

在AP/M中，ABLAC,:.BC』?+4。=5,

???〃為8c中點(diǎn)，AAM=-BC=-,

22

tanZPMA=—,即直線PAf與平面/8C所成角為arctan^；

55

(2)由〃￡//平面尸48,旅//平面「48,ME[\MF=M,

平面MEF//平面PAB,

尸/_1_平面48C,/Cu平面48C,

PA1AC,■：AB1AC,尸AB=A,PA,ABu平面PAB,

.-.AC1平面PAB,AE為直線ME到平面PAB的距離，

?.?ME//平面PAS,Affiu平面48C,平面NBCC平面P48=48,

ME//AB,為8C中點(diǎn),為4C中點(diǎn),AE=2,

直線ME到平面PAB的距離為2.

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角，考查直線與平面的距離的求法，屬中檔題.

1年模擬?精選?？碱}

選擇題（共16小題）

1.（2024?普陀區(qū)模擬）若一個(gè)圓錐的體積為漢互，用通過(guò)該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角

3

形的頂角為則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.B.2"C.2后lD.46兀

（祥解X求出圓錐的底面圓半徑和高，母線長(zhǎng)，即可計(jì)算圓錐的側(cè)面積.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為尸，高為防,由軸截面三角形的頂角為工，得〃=〃，

2

所以圓錐的體積為憶=工/=拽巴，解得仁代,

333

所以圓錐的母線長(zhǎng)為/=V2r=2,

所以圓錐的側(cè)面積為$=Q/=TTX近乂2=2夜%.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

2.（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）在空間中，“。、6為異面直線”是“a、b不相交”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

K祥解》根據(jù)題意，由異面直線的定義和充分必要條件的判斷方法分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，若a、6為異面直線，則a、b一定不相交，

反之，若a、6不相交，則a、b為異面直線或a//6,

故”。、b為異面直線”是“。、6不相交”的充分非必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的定義，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2024?寶山區(qū)二模）已知直線/、加、〃與平面a、。,下列命題正確的是（）

A.若Zea,nu/},則///力B.若a_L￡,Iua,貝!J/_L〃

C.若/_L",加_L〃貝U////D.若/_La,111/3,則aJ■乃

K祥解》根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于N,/與"可能平行，也可能異面，/錯(cuò)誤；

對(duì)于3,/與月可能平行、也能相交，8錯(cuò)誤；

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

對(duì)于C,/與加可以平行、也可以相交或異面，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若/_La,111/3,必有a_L￡,正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線、平面的位置關(guān)系，涉及線面平行的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四面體O4BC中，OA=a,OB=b,云=3.點(diǎn)M在OC上，且

OM=^MC,N為N3的中點(diǎn)，則癡=（）

1-111—111—1II-

A.——a—b+—cB.——a—b——cC.—a+—b+—cD.—a+—b——c

223223223223

K祥解》根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：OM=!〃C,N為的中點(diǎn)，OA=a,OB=b,OC=c,

2

貝ij疝=汨+05+前

=--OC+OA+-AB

32

=-^OC+OA+^（OB-OA）

1_1r1一

=——a+—b——c.

223

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

5.（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)N為正方形48c。的中心，為正三角形，平面ECD_L平面48CD,

M是線段EB的中點(diǎn)，則（）

E

A.DM手EN,且直線DM、EN是異面直線

B.DM=EN,且直線OM、硒是異面直線

C.DM*EN,且直線DM、EN是相交直線

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

D.DM=EN,且直線EN是相交直線

K祥解』取CD的中點(diǎn)。，連接。8、OE,連接3D、BO,設(shè)CD=2a,證明BE=AD,即可得結(jié)論.

【解答】解：取的中點(diǎn)。，連接08、OE,連接B。、BO,

設(shè)CD=2a,貝!IOE=6a,OB=^4a2+a2=氐，

???平面ECD_L平面ABCD,且平面ECDC平面ABCD=CD,

OELCD,則OE_L平面ABCD,可得OE_L08,

BE=+5a2=,

在正方形48C。中，BD=141a,

在等腰三角形BED中，BD=BE,

又是線段EB的中點(diǎn)，N是8。的中點(diǎn)，

AEBN=ADBM,可得DM=EN,即。/=EN,且直線DM、EN是相交