2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.點P（5,-5）到直線4x-3y=0的距離為（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.

【詳解】解：設(shè)點P（5,-5）到直線4x-3y=0的距離為d,

（）

a=-|5-x4—-3x-—5|=/

則V42+32

故選：D.

2.圓01：》2+_/+2%-6^-26=0與圓。2：/+/-4%+2丁+4=0的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離

【答案】A

【解析】

【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，再求出圓心距，然后與兩圓的半徑和差比較可得答案

［詳解］由x?+/+2x—6y_26=0,得（x+lp+（y—3）2=36,

所以圓G的圓心G（T，3）,半徑。=6,

由x?+~4x+2y+4=0得（》-2）2+（y+1>=1,

所以圓02的圓心G（2,T）,半徑弓=1,

所以|CC|=J（T-2）2+（3+iy=5=八-2,

所以兩圓內(nèi)切，

故選：A

3.記$〃為等差數(shù)列MJ的前〃項和.若%+%=24,S6=48,則｛%｝的公差為（）

A.1B.2

C.4D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式利用條件為+%=24,￡=48列出關(guān)于％與1的方

程組，通過解方程組求數(shù)列｛4｝的公差.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

6x5

則%+%=4+3d+%+4"=2%+7J=245=6%+—d=6q+15d=48

2%+7（/=24

聯(lián)立16%+15d=48,解得《=4

故選；C.

_----1----=1

4.“2〈加＜6”是，，方程機(jī)-26-m表示的曲線為橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合充分、必要條件的定義計算即可.

［詳解］易知2（加＜6時，加_2〉0,6_加＞0,但加=4時有加_2=6_加=2,

此時方程表示圓，所以不滿足充分性，

m—2＞0

工2J＜6-m＞0=＞m€（2,4）u（4,6）

若方程加-2+6-冽一1表示的曲線為橢圓，則2。6-加

顯然2＜加＜6成立，滿足必要性，

—+上=1

故"2＜加＜6”是“方程加-26-m表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.

故選：B

5.已知數(shù)歹一%｝滿足％=L""2%+1,則%=（）

LLL1.

A.7B.8C,9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)遞推公式一一計算可得.

【詳解】因為q=1,2%+1,

ax1出1_%_1"_&_j_

3-5

斫以出-2%+廣§02a?+1-52a3+1一12tz4+l9

故選：C

22

土+匕=1_______

6.若點O和點F分別為橢圓43的中心和左焦點，點P為橢圓上點的任意一點，則。尸?尸尸的最

大值為

A.2B.3C.6D.8

【答案】C

【解析】

【詳解】由橢圓方程得尸（一1,0）,設(shè)尸的，為），

---*--*22

X

則OPFP=（x0,為）仇+1,為）=°+沏+為

22

X。Jo

??,P為橢圓上一點，:4+3=1.

——2（1-紅）亡-

x4442

,OPFP=o+xo+3=+x0+3=（X0+2）+2.

■--2<x0<2.

，麗,麗的最大值在無。=2時取得，且最大值等于6.

7.已知尸是橢圓C的一個焦點，2是短軸的一個端點，線段8尸的延長線交橢圓C于點。，且

BF=2FD,則橢圓c的離心率為（）

由1

A.3B.6C.3D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由題意設(shè)橢圓的焦點在x軸上，尸（。，0）,8（0,6）,設(shè)。（XJ）,由麗=2的解得點力坐標(biāo),

代入橢圓方程，化簡即可求得離心率.

xv

—7=1（。>b>0）77/n\7x

【詳解】設(shè)橢圓的焦點在1軸上，方程為。b,'（。，⑺，8Dg/n,b）,

設(shè)。（X/）,由麗=2麗，且8/=（c,-b）,FD=（x-c,y）,

由點。在橢圓上,

故/b2,整理得/3,

故離心率a3,

故選：A.

【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常

見有兩種方法：

c

①求出a,c,代入公式a.

②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于。，b,C的齊次式，結(jié)合〃=02—'2轉(zhuǎn)化為q,c的齊次式，然后等式（不

等式）兩邊分別除以a或邪轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

8.已知尸為拋物線C:/=4x的焦點，過廠作兩條互相垂直的直線5直線/i與C交于/、8兩點，直線

b與C交于D、E兩點，則|48田。國的最小值為

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】

【詳解】設(shè)“（心必），8（工2，p2），°（》3，歹3），￡（》4，了4）,直線4的方程為，=%（Al）,聯(lián)立方程

/=4x-2k；-4Ik-+4

J=K（X-1）,得好》2_2好x_4x+好=0,...1k；k；,同理直線4與拋物線

_2-+4

的交點滿足34只，由拋物線定義可知陰+口?=*+々+/+》4+2夕=

2k：+42好+4,4416

4-7-I—T+8>2/--——+8=16

—4——+k；kl丫k；k,；2

k；kfk；k：,當(dāng)且僅當(dāng)公=一心=1（或一1）時，取等

號

點睛:對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上，另外，直

線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握.考查最值問題時要能想到

用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為a,則

\AB\=^—sin2(?+-)c°s'a

sm-a,則2，所以

M5|+|DE|=-^+^^=4(^^+

cosasmacosa

1112?2\Asincccoscc.__,

——--x)=44(z——-—+——--)(cosa+sma)=4(2+——-—+——--x)>4x(z2+2)x=16

sinacosasinacosasina

9.數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列.其中

二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2,4,7,ll』6從第二項起，每一項與前一項的差組成的

新數(shù)列2,3,45是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2,4,7,11,16為二階等差數(shù)列現(xiàn)有二階等差數(shù)列,其前六項分

%+1

別為1，3,6,10,15,21,則〃+1的最小值為（）

33

A.2B.4C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先得出遞推公式，疊加法求通項公式，再用基本不等式求最小值即可.

【詳解】數(shù)列｛"〃｝前六項分別為16,61015,21,

依題知-4=2,%—。2=3,%/=4,…—%_]—〃,

伍_1）（2+〃）/、

an-ax=2+3H-----\-n=--------------（n>2）

疊加可得：2,

2

得%n一-+n…,x

I2+1/+〃

a1=-----=1凡=------

當(dāng)”=1時，2，滿足2,

n2+,〃

所以2

an+\_n1_72+1111T1

所以〃+1277+12〃+12v22

〃+11

當(dāng)且僅當(dāng)2〃+1時，即〃=后一1時，等號成立，

又〃eN*,所以等號取不了，所以最小值在"=1取得，

4+1

當(dāng)”=1時，?+1,

所以最小值為1.

故選：C

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.）

10.（多選）下列說法正確的是（）

A.“。-1”是"直線/x_y+l=0與直線x—ay_2=0互相垂直，，的充要條件

B.經(jīng)過點（1/）且在無軸和歹軸上截距都相等的直線方程為％—2=°

C.已知直線歹=底，則直線的傾斜角為60°

D.若兩直線4：（）V與2（=9平行，貝產(chǎn)=-7

【答案】CD

【解析】

【分析】直接利用直線間的位置關(guān)系以及直線平行和垂直的充要條件可得A錯誤，D正確；分別討論截距

是否為零可判斷B錯誤，由直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系可得C正確.

【詳解】對于A：“直線片》一＞+1=°與直線%一少一2二°互相垂直，，的充要條件是/+。=0,

解得。=0或-1,故A錯誤；

對于B：經(jīng)過點°」）且在％軸和歹軸上截距都相等的直線方程為X+〉—2=°或＞=》，故B錯誤；

對于C：已知直線＞=則直線的傾斜角為滿足tan?=G,故傾斜角8=60。，故c正確；

對于D：若兩直線,1：（）V與2（+。）k9平行，

所以（。+3）（。+5）-8=0,解得、=一7或—1,

當(dāng)。=一1時，兩直線重合，故。=一1舍去，故D正確.

故選：CD.

_3

11.已知等差數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，且4=1,“必4,則下列結(jié)論中正確的有（

115

—an=——〃+—

的公差為2B,22

C.數(shù)列｝是公差為-1的等差數(shù)列口.%%+%=-

【答案】ABC

【解析】

3

【分析】A選項，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到%+%=2%=2,從而求出4—5,

，得到公差，A

正確；

利用等差數(shù)列求通項公式求出B正確；

由%。"=2%,得到當(dāng)〃22時，2%-2%_］=-1,結(jié)合。；=4,從而得到c正確;

_A7—2—

在C選項的基礎(chǔ)上，求出4%='-/=—2,結(jié)合22,求出答案.

_3

［詳解］由題意知，4+%=2%=2.又4%~

3

%9—2xH—=0

故心，。4可看出方程4的兩根,

?.?數(shù)列｛""｝為遞減數(shù)列，

d%-421

，公差22,故A正確;

ciy—a?—d=2

115

q=2+(/—K)<—=—nH——

222,故B正確;

2a“-2%=2(4_%)=2x

由上可知"4=2%則當(dāng)〃22時，

當(dāng)〃=1時，a」=4.

???數(shù)列｛%%｝是首項為4,公差為-1的等差數(shù)列，故C正確;

由C選項知：%/=5-〃,故—=5-7=-2,

%

22

-13

QjQ,+。4=5-/+———-

故D錯誤.

故選：ABC

12.已知尸是左右焦點分別為公，鳥的橢圓4+2一上的動點，回（°,2）,下列說法正確的有（）

一明+陀=4B.附H*的最大值為20

MP

C,存在點P,使40耳=120°D.\\的最大值為2+V2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

對于選項4由橢圓的定義可得選項A正確;

對于選項尻由橢圓的性質(zhì)可知I尸耳H尸g&2亞，故選項B正確;

對于選項C,又由橢圓的性質(zhì)可知：當(dāng)點尸為橢圓的上頂點或下頂點時，/耳尸月最大，所以

4PB:60。

2,即4尸尸2<120。，故選項C錯誤；

對于選項小設(shè)尸,？。（^。,^^^。），則|MP|=J-2（sin。+上）2+12,當(dāng)$也夕=—1時，

也尸京=2+色故選項。正確，

【詳解】對于選項4由題設(shè)可得：°=2,b=6=c,

由橢圓的定義可得：10片1+10乙卜2"=4,故選項A正確；

對于選項民由橢圓的性質(zhì)可知：1=2C=2V2（當(dāng)尸為橢圓的右頂點時取”=”），故選

項8正確；

對于選項c,又由橢圓的性質(zhì)可知：當(dāng)點尸為橢圓的上頂點或下頂點時，/耳壁最大，此時

tanZF'PF2=-=V2<V3"即<60。ZFPF<120°「

2b，所以2,即〃。2<1"，故選項C錯誤；

對于選項“，設(shè)P（2cos，,sin8）,則

\MP\=7（2cos6?-0）2+（V2sin6-2）2=J-2s加?6?—4也sin。+8=J-2（sind+也f+12當(dāng)sind=—]時

囚尸京=2+色故選項。正確，

故選：ABD

【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：

（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.

（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通

過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.

（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；

（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有

三角式.

（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.

13.已知圓C：（x—=1,點尸是直線/：x+J=°上一動點，過點P作圓C的切線尸4尸8,切點

分別是A和8,下列說法正確的為（）

]_

A.圓°上恰有一個點到直線/的距離為aB.四邊形/C8尸面積的最小值為1

C.切線長4的最小值為1D.直線N8恒過定點

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A,利用圓心到直線/的距離公式,即可求解；對于B,由圓的性質(zhì)，切線長

E=JPC12_/=Jpc0—1,當(dāng)|PC|最小時，眼有最小值，即可求解；對于C,四邊形尸的

面積為1PHlc聞引尸即可求解；對于D,由題可知48在以尸C為直徑的圓上，利用兩圓方程求得直

線48的方程，即可求解.

【詳解】對于A,因為圓C：（x—2?+/=1,所以圓心C（2,0）,半徑廠=1,

則圓心C到直線/：x+>=°的距離為￡所以直線與圓相離，

所以圓上任意一點到直線的距離的取值范圍為3—1VdVa+1,

V2-l<-<V2+1，所以圓上有兩個點到直線/的距離為故錯誤;

而2C5,A

當(dāng)『q最小時，忸聞有最小值，此時即1尸。1皿=后,

則⑹小k1=1

故C正確;

S=SACP+SRCP=2X-X\AP\X\AC\=\AP^CA=\AP\

對于B,四邊形如8尸的面積為：…皿2...........................,

因為14Plmm=L故四邊形ZC8尸的面積為1,故B正確；

對于D,設(shè)尸&T),因為P4P8為過點尸作圓°的切線，

^PALAC,PBLBC則4臺在以尸C為直徑的圓上，又。(2。),

/.(x-?)(x-2)+(7+)(j-0)=0x2+y2-(t+2)x+ty+2t=0

又圓C：(X_2)2+y2=],即+y2_4x+3=0,

上述兩式相減，得直線28的方程為G—/+少—3+2/=°,即2x-3T(x-y-2)=0,

'2x-3=031(3O

vx=-y———j—

由1X—y—2=0,得2',2,即直線48恒過定點(22人故口正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項的關(guān)鍵是分析得48在以尸C為直徑的圓上，進(jìn)而兩圓方程相減得到直

線48的方程，再利用直線過定點問題的求解方法即可得解.

三、填空題：本大題共5小題，共20分.

14.直線//—左+1過定點為.

(U)

【答案】

【解析】

【分析】先把直線化為點斜式，從而可確定定點.

【詳解】直線/可化為點斜式=

所以直線""一上+i過定點°』）.

故答案為：

15.與雙曲線169共漸近線且過點的雙曲線方程是

￡

9_x2

【答案】44

【解析】

1

【分析】據(jù)題意可設(shè)所求方程為169，代入點坐標(biāo)可得到4,進(jìn)而求得雙曲線方程.

二-片-2/r\2--1

【詳解】據(jù)題意可設(shè)所求方程為169，把C3，一3力代入易得Z,故所求雙曲線方程為

2

------2

2—匕=1

44.

2_二=1

答案：44

【點睛】求雙曲線方程的方法一般就是根據(jù)條件建立見8,的方程，求出"I'2即可，注意

c2=/+a2,e=g￡._Zl=/l

。的應(yīng)用；離心率相同的方程可設(shè)為。2/.

16.在數(shù)列也｝中,%=4,%=3%-2,則%=.

【答案】3"+1

【解析】

【分析】利用構(gòu)造法構(gòu)造數(shù)列｛%—",即可求解.

【詳解】解：因為％=3a「2（〃eN）

所以％T=34_l),

生匚=3

所以％T,

所以數(shù)列「I｝是一個等比數(shù)列,

所以%-1=(4-1>3y,

=3"+1

所以

故答案為：3+1.

2

x5=1(4>6>0)

~+

17.已知,I為橢圓ab上的左右頂點，設(shè)點尸為橢圓上異于48的任意一點，直線

的斜率分別為左，左2,若橢圓離心率為2,則占,k2為

【答案】4##-0.25

【解析】

【分析】由題意可得3°),設(shè)POWo),由題意可得°力的關(guān)系式，結(jié)合橢圓系數(shù)的關(guān)系和

離心率的定義可得.

【詳解】解：由題意可得3(%°),設(shè)PRoM,"±。,

.I2_J。2..

則由P在橢圓上可得。，

二.直線4P與8P的斜率之積為/—ax0+ax^-a'",

V3cV3Lb2V3

1

:橢圓離心率為——2,可得—a=——2,即AY(2T~2,

b^_]_

故片4.

人.左2=一;

即

故答案為：4.

22

C:二+匕=1_

18.已知橢圓4b和直線/：V=MX+1,若對任意的加eR,直線/與橢圓C恒有公共點，則

實數(shù)b的取值范圍是.

［答案］［1，4）U（4,+CO）.

【解析】

【分析】由已知直線過定點（°，1），可得（°」）在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，然后分類討論得答案.

【詳解】???直線/：歹=E+1恒過定點（0,1）,

要使直線1與橢圓c恒有公共點，

則（°，1）在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，

22

C:土+2=1

若橢圓4b是焦點在X軸上的橢圓，貝口46<4；

22

C:二+匕=1

若橢圓4b是焦點在》軸上的橢圓，則b〉4.

:?實數(shù)6的取值范圍是：Du"+"）.

故答案為：［1'4）"4，+女）.

四、解答題：本題共8小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

19.已知數(shù)列｛恁｝是一個等差數(shù)列，且。2=1，〃5=-5.

⑴求⑷｝的通項an\

⑵求｛見｝前n項和Sn的最大值.

【答案】（1）?！?-271+5.（2）4

【解析】

【詳解】（I）設(shè)｛an｝的公差為d,由已知條件,，解出ai=3,d=—2.

所以an=ai+（n—l）d=—2n+5.

（II）S〃=nai+d=—n2+4n=—（n—2）2+4,所以n=2時，S〃取到最大值4.

20.如圖，己知等腰直角三角形48c的斜邊48所在直線方程為>=2x-5，其中A點在3點上方，直角

頂點C的坐標(biāo)為（1'2）.

（1）求N3邊上的高線CH所在直線的方程；

（2）求三角形48c的面積.

【答案】（1）%+2歹-5=0

（2）5

【解析】

【分析】（1）利用兩條直線垂直的條件可得C"的斜率，再利用點斜式寫出直線C"的方程；

（2）利用點到直線的距離公式求得再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與面積公式，求解即可.

【小問1詳解】

左=_J_

設(shè)C〃的斜率為左S,因為斜邊所在直線方程為V=2X-5,所以C"2,

又加經(jīng)過點CM）,所以3：一=」（一），

即C”的直線方程為3：x+2y-5=0.

【小問2詳解】

出-2-5|一指

\CH\-I--------------------------—ZJ

松+「1)2

由題意知，

因為△45C是等腰直角三角形，

所以|陽=2|陽=26,

-\CH\-\AB\=-x45x245=5

所以△4gC的面積為2

21.已知橢圓的焦點為「（￡0），片（6,0）,該橢圓經(jīng)過點p（5,2）

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓上的點M（x。，打）滿足孫,他，求y0的值.

-----1=1K—±—

【答案】(1)459(2)2

【解析】

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)橢圓定義得a,再根據(jù)c求b(2)由"Gl耐得/―36+了；=°,再與

橢圓方程聯(lián)立解得y0的值.

22

二+與=1(?！礲>0),

試題解析：(1)依題意，設(shè)所求橢圓方程為ab-

其半焦距c=6.

因為點P(5,2)在橢圓上，

所以2。=附|+|尸聞=&5+6)2+22+a5-6)2+22=6石

所以a=3行,從而〃-a2-c2=9

22

工+匕=1

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是459.

⑵由的，叫得

MF,-MF,=(-6-x0,-y0)-(6-x0,-y0^=x1-36+.v；=0

222=2

即4=36-常代入橢圓方程得：-04

22.如圖，一拋物線型拱橋的拱頂。離水面高4米，水面寬度N5=10米.現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱

碼成的長方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持

平.

1U

(1)問船只能否順利通過該橋？

(2)已知每加一層貨箱，船只吃水深度增加1cm；每減一層貨箱，船只吃水深度減少1cm.若每層小貨

箱高3cm,且貨物與橋壁需上下留2cm間隙方可通過，問船只需增加或減少幾層貨箱可恰好能從橋下中央

通過？

【答案】(1)貨箱能順利通過該橋；

(2)需要增加26層可恰好能從橋下中央通過.

【解析】

【分析】(1)以。為原點，過。垂直于N2的直線為了軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程

為9=叼，根據(jù)題意知點8(5,-4)在拋物線上，求解拋物線方程，設(shè)C(3,-4),過C作的垂線,

交拋物線于。(3,%)，求出CD,即可判斷貨箱是否能順利通過該橋.

(2)根據(jù)題意，結(jié)合(1)的結(jié)論進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

以。為原點，過O垂直于N8的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：

設(shè)拋物線方程為9=叼，根據(jù)題意知點3(5,-4)在拋物線上;

25225

m=-----x=------------y

.\25=-4m；；.4.4.

可設(shè)C(3,-4),過C作48的垂線，交拋物線于。(3,為)，

c2536

9------%y()-------

則4一?.25；

|CZ)|=---(-4)=—>1.5

V2525；.?.貨箱能順利通過該橋.

【小問2詳解】

64

(-——1.5)x100=106(°掰)

由題(1)知，貨物超出高度為25,

每增加一層，則船體連貨物高度整體上升3+1=4(°加)，

106-2“

=26

由貨物與橋壁需留下2c〃,間隙.則需要增加層數(shù)為4層，

答：船只能順利通過該橋，可以增加26層可恰好能從中央通過.

23.某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預(yù)計以

后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).

設(shè)第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為4萬元.

(1)用x表示為,“2,并寫出%+i與4的關(guān)系式；.

(2)若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值(精

確到萬元).

a

［較安］(1)\~1500-x,6/2=2250-2.5%tzw+1=1.5an-x

(2)x=348

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意直接得％MOO-x,出=%0+50%)-x,進(jìn)而歸納出

%+i=L5%-x；

(2)由⑴可得""=L5"%「X(1+L5+L52+…+1.5"-2),利用等比數(shù)列的求和公式可得

%(1500-3x)+2》,結(jié)合4=3000即可計算出.的值.

【小問1詳解】

由題意知，

4=1000(1+50%)—x=1500—x

%=%(1+50%)-%=1.5^-x=1.5(1500-x)-x=2250-2.5%

，

an+l=an(1+50%)-x=1.5%-x

【小問2詳解】

由⑴可得,%+i=L5%-x

2

ppjan=1.5an_1_x=1.5(1.5a“-2-x)-x=1.5aB_2-1.5x-x

n122

??-=1.5-a1-x(l+1.5+1.5+---+1.5"-)

a=1.5"T(1500-x)-2x(1.5"T-1)=1.5”T(1500-3x)+2x

所以n

,1

即“"=1.5-(1500-3x)+2%

當(dāng)%=3000時1.5"-1(1500-3x)+2%=3000

1500(2"-S"-1)

x=-------------------(n>3)

解得2"-3"I

1500(25-35-1)

x=------2―-~?348

當(dāng)〃=5時，2—3萬元.

故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元.

22

-=l(cz>0,6>0)

24.已知直線y=2與雙曲線cab交于4,8兩點，尸是c的左焦點，且

AFLAB,\BF\=2\AF\

(1)求雙曲線C的方程;

_2

(2)若P,。是雙曲線C上的兩點，〃是C的右頂點，且直線M尸與M0的斜率之積為3,證明直線

尸0恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

X------=1

【答案】(1)2

(2)證明見解析，直線P0恒過定點(-2,0)

【解析】

【分析】(1)利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出b、c,即可求出雙曲線C的方程;

(2)設(shè)直線〃尸與的斜率分別為左，右，分類討論：①當(dāng)直線尸。不垂直于x軸時，利用“設(shè)而不

求法”求出加=2左，判斷出直線PQ過定點(-2,0).

②當(dāng)直線尸0垂直于x軸時，設(shè)尸&"),解得’=—2,判斷出直線尸0過定點(-2,0)

【小問1詳解】

因為/尸，肛所以M=2,忸/=4,2|=26

設(shè)雙曲線C的焦距為2c,由雙曲線的對稱性知?AB=2c=2A/3

設(shè)雙曲線C的右焦點為―則忸同一)同=忸同一忸尸|=2"=2,得0=1,

,F6工2_9=]

則6=A/C-a=72,故雙曲線C的方程為2.

【小問2詳解】

由已知得"O'°),設(shè)直線MP與MQ的斜率分別為％1,右，

①當(dāng)直線PQ不垂直于x軸時：

設(shè)直線尸0的斜率為比P。的方程為〉=履+〃'，(1，(2，丁2),

y-kx+m,

<2

2y_

由'2—1'彳曰(左之—2卜之+2加工+機(jī)2+2=0當(dāng)△=8??？一左2+2)>0時

-2kmm2+2

X+x=-xx=—；------

127左2—2,129k2-2,

(he[+m^(kx+m)k1xx+km(x1+x)+m2

必弘2x22

左]左2=

(國T)(%2T)(占T)(12T)中2-G1+%2)+1

那么

F(m2+2)2后7?_2

k?-2—kF""=2(k+m)(k-m)=2(k-m)=_2

加2+2+2km+](左+加yk+m3

左2—2左2—2，得m=2k,符合題意.

所以直線尸0的方程為"M"+2),恒過定點(一2,0).

②當(dāng)直線PQ垂直于x軸時：

設(shè)P6"),因為P是C上的點，所以肥=2/-2,

,,-『2-2/2(1+。2

則(F(-)j3,解得，二一2,

故直線PQ過點(-2,0).

綜上，直線P0恒過定點(-2,0).

25.已知正項數(shù)列制｝前"項和為S",且滿足4S"=(%+1).

(1)求％;

b+1

(2)令記數(shù)列｛〃｝前〃項和為北，若對任意的“eN*,均有

(3〃+4)能2(2〃—5)($—北＞2"

9恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

a=2/7-16?eN*)

【答案】(1)"I)

-1)

⑵1——12,+°0J

【解析】

【分析】(1)根據(jù)%與*的關(guān)系即可求解；

(2)利用錯位相減法求解得北，參變分離即可求機(jī)的范圍.

【小問1詳解】

因為4s.=(%+以，

當(dāng)〃22,〃eN*時，有4s“_[=(4_]+1)2,

兩式相減得

4%=%2-aj+2an-2an_^移項合并同類項因式分解得

4+%.12)=0

因為

所以有4—%-1-2=0,

在4s“=(4+1)中，當(dāng)〃=1得％=1,

所以數(shù)列W是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列,

故有％=2〃—l(〃eN*)

【小