新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義專題23 圓錐曲線的綜合問題（定值 最值 范圍 ）（原卷版）

專題23圓錐曲線的綜合問題（定值最值范圍）【考點專題】1．解圓錐曲線綜合問題的一般步驟第一步：確定曲線方程(一般根據(jù)待定系數(shù)法或定義法)．第二步：設(shè)直線方程并與曲線方程聯(lián)立，得關(guān)于x或y的一元二次方程．第三步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系(或求出交點出標(biāo))．第四步：將第三步得出的關(guān)系代入題目條件，解決范圍、最值或定點、定值等問題．第五步：反思回顧，考慮方程有解條件和圖形完備性．2.求動點的軌跡方程的基本步驟【方法技巧】1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．2.處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．3.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得．(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．【核心題型】題型一：弦長問題1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0的左、右兩支分別交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知拋物線E：SKIPIF1<0（p>0），過點SKIPIF1<0的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當(dāng)l1的斜率為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．3．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為A，B．直線l與C相切，且與圓SKIPIF1<0交于M，N兩點，M在N的左側(cè)．(1)若SKIPIF1<0，求l的斜率；(2)記直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為定值．題型二：面積問題4．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為F，直線l過點F且與C交于M，N兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．105．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，A為垂足且位于第一象限，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形SKIPIF1<0（O為原點）的面積為8，動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知SKIPIF1<0是軌跡C上一點，直線l交軌跡C于P，Q兩點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和為1，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.6．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）已知橢圓SKIPIF1<0離心率為SKIPIF1<0，經(jīng)過SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0斜率為1的直線與SKIPIF1<0軸正半軸相交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)M，N是SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0的兩點，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值.題型三：中點弦問題7．（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于A，B兩點，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）如圖，已知拋物線E：SKIPIF1<0的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，SKIPIF1<0軸于點N.若四邊形SKIPIF1<0的面積等于8，則E的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知如圖，橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：范圍問題10．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┮阎cF為拋物線C：SKIPIF1<0的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與C交于A，B兩點，直線SKIPIF1<0與C交于D，E兩點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．64 B．54 C．50 D．4811．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為2，右焦點F到漸近線的距離為SKIPIF1<0，過右焦點F作斜率為正的直線l交雙曲線的右支于A，B兩點，交兩條漸近線于C，D兩點，點A，C在第一象限，O為坐標(biāo)原點．(1)求雙曲線E的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．12．（2021·北京·高三?？紡娀媱潱┤鐖D，已知拋物線SKIPIF1<0，點A在拋物線上，且在第一象限，以點A為切點作拋物線的切線l交x軸于點B，過點B作垂直于l的直線SKIPIF1<0交拋物線于C，D兩點，其中點C在第一象限，設(shè)SKIPIF1<0與y軸交于點K．(1)若點A的橫坐標(biāo)為2，求切線l的方程．(2)連結(jié)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．題型五：定點問題13．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在雙曲線上．(1)求雙曲線C的方程；(2)若A，B為雙曲線的左、右頂點，SKIPIF1<0，若MA與C的另一交點為P，MB與C的另一交點為Q（P與A，Q與B均不重合）求證：直線PQ過定點，并求出定點坐標(biāo)．14．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知點SKIPIF1<0在雙曲線C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）上，過P作x軸的平行線，分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點，SKIPIF1<0．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：SKIPIF1<0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從下面兩個條件中選一個（多選只按先做給分），證明：直線l過定點．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．15．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線SKIPIF1<0的右頂點為SKIPIF1<0，左焦點SKIPIF1<0到其漸近線SKIPIF1<0的距離為2，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交雙曲線SKIPIF1<0于A，B兩點，且SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于P，Q兩點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，試問：以線段SKIPIF1<0為直徑的圓是否過定點?若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．題型六：定值問題16．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的右焦點，且SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程.(2)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（異于點SKIPIF1<0）兩點，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點.設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，證明：點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為定值.17．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，動直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0并延長分別交拋物線SKIPIF1<0于兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0是定值，并求出該值.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知點SKIPIF1<0是焦點為F的拋物線SKIPIF1<0上一點，A，B是拋物線C上異于P的兩點，且直線PA，PB的傾斜角互補，若直線PA的斜率為SKIPIF1<0.(1)求拋物線方程；(2)證明：直線AB的斜率為定值并求出此定值；(3)令焦點F到直線AB的距離d，求SKIPIF1<0的最大值.題型七：向量問題19．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：SKIPIF1<0的短軸長為2，離心率為SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．(1)證明：直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于兩點，且每一點與SKIPIF1<0的連線都是橢圓的切線；(2)若過點SKIPIF1<0的直線與橢圓交于SKIPIF1<0兩點，與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．20．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0．(1)設(shè)M是C上任意一點，M到直線SKIPIF1<0的距離為d，證明：SKIPIF1<0為定值．(2)過點SKIPIF1<0且斜率為k的直線與C自左向右交于A，B兩點，點Q在線段AB上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O為坐標(biāo)原點，證明：SKIPIF1<0．21．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且焦距為10．(1)求C的方程；(2)已知點SKIPIF1<0，E為線段AB上一點，且直線DE交C于G，H兩點．證明：SKIPIF1<0．【高考必刷】一、單選題22．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）過拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0的直線交拋物線于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則直線的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0左支上的一點，雙曲線的左、右頂點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交雙曲線的一條漸近線于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023·云南昆明·安寧市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過坐標(biāo)原點并與雙曲線交于SKIPIF1<0兩點（SKIPIF1<0在第一象限），過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線與雙曲線交于另一個點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為點SKIPIF1<0橫坐標(biāo)的兩倍，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023·福建·統(tǒng)考一模）過拋物線SKIPIF1<0的焦點作直線l，l交C于M，N兩點，若線段SKIPIF1<0中點的縱坐標(biāo)為2，則SKIPIF1<0（

）A．10 B．9 C．8 D．7二、多選題26．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，則以下結(jié)論中，正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0軸，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0的一條漸近線方程是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0C．若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則等腰SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<027．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左右頂點，SKIPIF1<0為橢圓的上頂點.設(shè)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上一點，且不與頂點重合，若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則（

）A．若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<028．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）過拋物線C：SKIPIF1<0的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0可能為銳角三角形B．過點SKIPIF1<0且與拋物線C僅有一個公共點的直線有2條C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<029．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知F是拋物線SKIPIF1<0的焦點，點SKIPIF1<0在拋物線W上，過點F的兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與拋物線W交于B，C和D，E，過點A分別作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為M，N，則（

）A．四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為2B．四邊形SKIPIF1<0周長的最大值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0D．四邊形SKIPIF1<0面積的最小值為32三、填空題30．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線交該拋物線于SKIPIF1<0兩點，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率之和為________．31．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）設(shè)過點SKIPIF1<0的直線l與橢圓SKIPIF1<0交于M，N兩點，已知點SKIPIF1<0，若直線AM與直線AN的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．32．（2023·河北邢臺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，經(jīng)過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的對稱軸不垂直，SKIPIF1<0交SKIPIF1<