方法技巧專題08 軌跡方程的求法（解析版）

方法技巧專題8軌跡方程問題解析版一、軌跡方程問題知識框架二、求軌跡方程的常用方法【一】定義法定義法：定義法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。1.例題【例1】已知的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C為動點(diǎn)，且滿足求點(diǎn)C的軌跡。【解析】由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點(diǎn)）?！纠?】一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。【解析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得：，，當(dāng)與相切時，有①當(dāng)與相切時，有②將①②兩式的兩邊分別相加，得，即③移項(xiàng)再兩邊分別平方得：④兩邊再平方得：，整理得，所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。【例3】已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動點(diǎn)P的軌跡方程為：2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。.∴動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為【練習(xí)2】一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是（）拋物線B.圓C.橢圓D.雙曲線一支【解析】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。【練習(xí)3】已知ΔABC中，A,B,C所對應(yīng)的邊為a,b,c,且a>c>b，a,c,b成等差數(shù)列，|AB|=2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程【解析】|BC|+|CA|=4>2,由橢圓的定義可知，點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長軸為4，焦距為2,短軸長為2,∴橢圓方程為,又a>b,∴點(diǎn)C在y軸左側(cè)，必有x<0,而C點(diǎn)在x軸上時不能構(gòu)成三角形，故x≠─2,因此點(diǎn)C的軌跡方程是：(─2<x<0)【二】直譯法直譯法：直譯法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。1.例題【例1】一條線段AB的長等于2a,兩個端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？【解析】設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【例2】雙曲線的兩焦點(diǎn)分別是、，其中是拋物線的焦點(diǎn)，兩點(diǎn)A（-3，2）、B（1，2）都在該雙曲線上．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的軌跡方程，并指出其軌跡表示的曲線．【解析】（1）由得，焦點(diǎn)（-1，0）．（2）因?yàn)锳、B在雙曲線上，所以，．①若，則，點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線，且當(dāng)y＝0時，與重合；當(dāng)y＝4時，A、B均在雙曲線的虛軸上．故此時的軌跡方程為x＝-1（y≠0，y≠4）．②若，則，此時，的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，，，中心為（-1，2）的橢圓，其方程為，（y≠0，y≠4）故的軌跡是直線x＝-1或橢圓，除去兩點(diǎn)（-1，0）、（-1，4）【例3】已知點(diǎn)、動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【解析】，.由條件，，整理得，此即點(diǎn)的軌跡方程，所以的軌跡為拋物線，選D.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】動點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（－3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點(diǎn)P的軌跡方程？【解答】∵|PA|=代入得化簡得（x－5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.【練習(xí)2】某檢驗(yàn)員通常用一個直徑為2cm和一個直徑為1cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個直徑為3cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？【解析】設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為=1①同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x－)2+y2=1②由①、②可解得，∴r=故所求圓柱的直徑為cm.【練習(xí)3】已知平面上兩定點(diǎn)、，為一動點(diǎn)，滿足．求動點(diǎn)的軌跡的方程.【解析】設(shè)．由已知，，,得，，∵，∴整理，得．即動點(diǎn)的軌跡為拋物線，其方程為．【三】參數(shù)法參數(shù)法：參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點(diǎn)P運(yùn)動的某個幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。1.例題【例1】過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程?！窘馕觥糠治?：從運(yùn)動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M的運(yùn)動是由直線l1引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動點(diǎn)M坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法1：設(shè)M（x，y），設(shè)直線l1的方程為y－4＝k（x－2），（k≠0）∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，消去k，得x＋2y－5＝0。另外，當(dāng)k＝0時，AB中點(diǎn)為M（1，2），滿足上述軌跡方程；當(dāng)k不存在時，AB中點(diǎn)為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。綜上所述，M的軌跡方程為x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用k1k2＝－1時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用△PAB為直角三角形的幾何特性：解法2：設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y），∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形化簡，得x＋2y－5＝0，此即M的軌跡方程。分析3：設(shè)M（x，y），由已知l1⊥l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點(diǎn)坐標(biāo)表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)。事實(shí)上，由M為AB的中點(diǎn)，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法3：設(shè)M（x，y），∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l1，l2過點(diǎn)P（2，4），且l1⊥l2∴PA⊥PB，從而kPA·kPB＝－1，注意到l1⊥x軸時，l2⊥y軸，此時A（2，0），B（0，4）中點(diǎn)M（1，2），經(jīng)檢驗(yàn)，它也滿足方程x＋2y－5＝0綜上可知，點(diǎn)M的軌跡方程為x＋2y－5＝0?！纠?】設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個動點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線?！窘馕觥拷夥ㄒ辉O(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x≠0)，直線AB的方程為x=my+a由OM⊥AB，得m=－，由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0所以y1y2=－4pa,x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2，所以故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故動點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法二設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得∴AB的方程為，過定點(diǎn)，由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外）故動點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)解法三設(shè)M(x,y)(x≠0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OM⊥AB，得：M既在以O(shè)A為直徑的圓：……①上，又在以O(shè)B為直徑的圓……②上（O點(diǎn)除外），①+②得x2+y2－4px=0(x≠0)故動點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)【例3】過拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)，直線的斜率為，則直線的斜率為.直線OA的方程為，由解得，即，同理可得.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，消去，得，此即點(diǎn)的軌跡方程.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】過圓O：x2+y2=4外一點(diǎn)A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡。【解析】解法一：“幾何法”設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)M是弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC,所以|OM|２＋|MA|２＝|OA|２，

即(x2+y2)+(x－4)2+y2=16化簡得：（x－2）2+y2=4................................①由方程①與方程x2+y2=4得兩圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法”設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x－4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0...........(*),由點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以x=...............(1),又OM⊥BC，所以k=.................(2)由方程（1）（2）消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2

≤,所以x＜1.所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。【練習(xí)2】過點(diǎn)A（－1，0），斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于P，Q兩點(diǎn).若曲線C的焦點(diǎn)F與P，Q，R三點(diǎn)按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR，求點(diǎn)R的軌跡方程?！窘馕觥恳簏c(diǎn)R的軌跡方程，注意到點(diǎn)R的運(yùn)動是由直線l的運(yùn)動所引起的，因此可以探求點(diǎn)R的橫、縱坐標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān)系．然而，點(diǎn)R與直線l并無直接聯(lián)系．與l有直接聯(lián)系的是點(diǎn)P、Q，通過平行四邊形將P、Q、R這三點(diǎn)聯(lián)系起來就成為解題的關(guān)鍵．由已知，代入拋物線C：y2=4x的方程，消x得：∵、Q，∴解得，設(shè)，M是PQ的中點(diǎn)，則由韋達(dá)定理可知：將其代入直線l的方程，得∵四邊形PFQR是平行四邊形，∴中點(diǎn)也是中點(diǎn).∴又∴．∴點(diǎn)R的軌跡方程為【四】代入法（相關(guān)點(diǎn)法）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程。1.例題【例1】軌跡方程。分析：題中涉及了三個點(diǎn)A、B、M，其中A為定點(diǎn)，而B、M為動點(diǎn)，且點(diǎn)B的運(yùn)動是有規(guī)律的，顯然M的運(yùn)動是由B的運(yùn)動而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點(diǎn)，故采用相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)M的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）則由M為線段AB中點(diǎn)，可得即點(diǎn)B坐標(biāo)可表為（2x－2a，2y）【例2】雙曲線有動點(diǎn)，是曲線的兩個焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程。【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，∵存在，∴由三角形重心坐標(biāo)公式有，即。∵，∴。已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有即所求重心的軌跡方程為：?！纠?】如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.yyQOxNP【解析】設(shè)，則.在直線上，①又得即.②聯(lián)解①②得.又點(diǎn)在雙曲線上，，化簡整理得：，此即動點(diǎn)的軌跡方程.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)、B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動時，求點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)，則有，∵BP∶PA=1∶2，【練習(xí)2】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程【解析】：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點(diǎn)R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程【五】交軌法交軌法：交軌法：在求動點(diǎn)軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。1.例題【例1】拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影M的軌跡?！窘馕觥奎c(diǎn)A、B在拋物線上，設(shè)A（，B（所以kOA=kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0①又OM的方程為②由①②消去得yA+yB即得，即得。所以點(diǎn)M的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓,除去點(diǎn)（0，0）?！纠?】已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，、是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，求直線和的交點(diǎn)的軌跡方程.【解析】得，即交點(diǎn)的軌跡方程為解2：(利用角作參數(shù))設(shè)，則所以,兩式相乘消去即可得所求的點(diǎn)的軌跡方程為.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖，垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀.【解析】設(shè)及，又，可得直線的方程為①；直線的方程為②.①×②得③.又，代入③得，化簡得，此即點(diǎn)的軌跡方程.當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是橢圓.【六】點(diǎn)差法點(diǎn)差法：點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.1.例題【例1】已知橢圓，求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】①－②得．由題意知，則上式兩端同除以，有將③④代入得．⑤將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內(nèi)部分）【例2】拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線交拋物線、兩點(diǎn),再以、為鄰邊作平行四邊形，試求動點(diǎn)的軌跡方程.【解析】而為的中點(diǎn)且直線過點(diǎn)，所以代入③可得，化簡可得④由點(diǎn)在拋物線口內(nèi)，可得⑤將④式代入⑤可得故動點(diǎn)的軌跡方程為.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是.【解析】設(shè)弦為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點(diǎn)為(x，y)，則y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22)∴∴2=2·2x，將代入y=2x2得，軌跡方程是(y>)答案：【練習(xí)2】已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點(diǎn)P(-2，0)，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是.【解析】又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)P，即y2<2x，即x+2<2x，∴x>2答案：y2=x+2(x>2)阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.求證：到兩定點(diǎn)的距離的比值是不等于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.如圖，點(diǎn)為兩定點(diǎn)，動點(diǎn)如圖，點(diǎn)為兩定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則時，動點(diǎn)的軌跡為直線；當(dāng)時，動點(diǎn)的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓．證明：設(shè)．以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則．又設(shè)，則由得:， 兩邊平方并化簡整理得:，當(dāng)時，，軌跡為線段的垂直平分線；當(dāng)時，，軌跡為以點(diǎn)為圓心，以長為半徑的圓．1.例題【例1】如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（B在A的上方），且．（Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列三個結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的序號是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）【解析】（Ⅰ）易知半徑，所以圓的方程為；（Ⅱ）方法一：因?yàn)閳A心，又因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以因?yàn)樵趫A上，可設(shè)，所以：所以：,同理：，所以：，①正確；,②正確，③正確所以：①、②、③正確方法一可以改進(jìn)為：設(shè)為圓C上任意一點(diǎn)，則有：，①正確；同理，②正確；，③正確.這里的第（Ⅰ）問并不很難,只要考生有一定平面幾何基礎(chǔ)既能輕易解出.但第（Ⅱ）問有難度.這是因?yàn)楫?dāng)圓的弦MN繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時,各有關(guān)線段的長度都在變化,從而相應(yīng)線段的比值也就難于確定，方法一運(yùn)算量較大?？墒?如果你懂得阿波羅圓,且能看出圖中的圓正是一例阿波羅圓,則其解法同樣是輕而易舉的.方法二:如上圖所示,在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上易得，，，于是，，所以，，，所以，所以：圓O是以A,B為兩定點(diǎn),且比值為的阿波羅尼斯圓,故：，①正確,②正確，③正確因此：①，②，③3個結(jié)論都成立.方法三：先引進(jìn)一個概念----圓的反演點(diǎn)：己知圓的半徑為，從圓心出發(fā)任作一射線，在射線上任取兩點(diǎn)，，,且，則稱，是關(guān)于圓的反演點(diǎn)。圓的反演點(diǎn)也可由以下幾何方法獲得，若在圓外，過作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)的連線與的交點(diǎn)就是的反演點(diǎn)；若在圓內(nèi)，則連接，過點(diǎn)作的垂線與圓交點(diǎn)處的兩切線的交點(diǎn)即為的反演點(diǎn).在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上易得：，，則有，則點(diǎn)，是圓的一對反演點(diǎn)，取圓上一點(diǎn)，則有,所以圓是以，為反演點(diǎn)，比例系數(shù)為的阿波羅尼斯圓.即對圓上任一點(diǎn)，均有，故有：，①正確,②正確，③正確.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】若，則的最大值為【解析】解法一：利用余弦定理和函數(shù)的最值問題處理設(shè)，所以：，則：，所以：當(dāng)時，的最大值為.該方法從余弦定理入手，雖然入手簡單，但計(jì)算量較大，得分率不高.解法二：建立平面直角坐標(biāo)系處理最值問題以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由得，整理得：，∴，則，所以的最大值是．解法三：利用阿波羅尼斯圓顯然這是一例阿波羅尼斯圓，建立如圖的直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋玫能壽E是一個阿波羅尼斯圓，計(jì)算得方程：，設(shè)圓心為,，顯然當(dāng)軸時，面積最大，此時.評注：既然存在，說明其軌跡不包括與軸的兩個交點(diǎn)，，現(xiàn)在問：，這兩點(diǎn)究竟有什么性質(zhì)？由于，∴為的內(nèi)角平分線；同理，為的外角平分線.這就是說，，分別是線段的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，而正是阿氏圓的直徑，于是“阿波羅尼斯圓”在我國又被稱為“內(nèi)外圓”．因此該題又有如下的簡潔解法：因?yàn)閯狱c(diǎn)到定點(diǎn)距離之比為,則有，解得：或，所以為內(nèi)分點(diǎn)，為外分點(diǎn)，圓半徑，即為三角形高的最大值，即高的最大值是，故的面積的最大值是.四、課后自我檢測1．在中，B，C坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，則點(diǎn)A的軌跡方程是_______________________________.【解析】ABC為三角形，故A，B，C不能三點(diǎn)共線。軌跡方程里應(yīng)除去點(diǎn)，即軌跡方程為2．兩條直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是.【解析】直接消去參數(shù)即得(交軌法):3．已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點(diǎn)O作圓的弦0A，則弦的中點(diǎn)M的軌跡方程是.【解析】令M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,則A的坐標(biāo)為(2,代入圓的方程里面得:4．當(dāng)參數(shù)m隨意變化時，則拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方