方法技巧專題10 圓錐曲線中的垂徑定理（解析版）

；專題技巧：圓錐曲線中的垂徑定理一、知識框架二、概念及相關典型例題(一)圓中的垂徑定理（問題背景：直線斜率存在）圖1圖2圖3（1）如圖1，在圓O中，E為弦AB中點，則OE⊥AB，即（2）如圖2，在圓O中，與圓O相切于E點，則OE⊥，即.（若切點坐標為，可得切線方程：）（3）如圖3，AB為圓O直徑，E圓上異于A、B兩點的動點，則BE⊥AE，即.（二）圓錐曲線中的垂徑定理（問題情景假設：假設下列問題討論所涉及的直線斜率都存在情況下）1.橢圓中的垂徑定理（以焦點在軸的橢圓方程為例）圖1圖2圖3（1）如圖1，在橢圓C中，E為弦AB的中點，則;（證明：用點差法）（2）如圖2，在橢圓C中，與橢圓相切于E點，則;（證明：法一：極限思想，當A無窮接近B點；法二：換元法變換為證明即可；法三：導數(shù)）（3）如圖3,過中心O,交橢圓于A,B兩點,E是橢圓上異于A、B點的動點則.（證明：取AE重點M，連接OM，即可用（1）證明）【注意：若焦點在軸上的橢圓方程，則上面結論變?yōu)椋?，即?.雙曲線中的垂徑定理（以焦點在軸的雙曲線方程為例）圖1圖2圖3圖4圖5（1）如圖1或圖2，E為弦AB的中點，則;（2）如圖3，與雙曲線相切于E點，則;（3）如圖4，過O點的交雙曲線于A,B兩點，E是雙曲線上異于A、B點的動點,則.（4）如圖5，交上雙曲線兩漸近線于A,B兩點，E為線段AB的中點，則.【注意：若焦點在軸上的雙曲線方程，則上面斜率乘積結論變?yōu)椋?，即】圓、橢圓與雙曲線中的垂徑定理可以歸結為（統(tǒng)稱為有心圓錐曲線）：圓、橢圓與雙曲線中的垂徑定理可以歸結為（統(tǒng)稱為有心圓錐曲線）：（1）若方程或）存在以上關系，則上述結論可表述為：，即，其中分別是系數(shù)的倒數(shù).（2）若方程存在以上關系，則上述結論可表述為：，即，其中分別是系數(shù).（三）例題點評1.例題初探【例1】過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓相交于A,B兩點，若M是線段AB的中點，則該橢圓的離心率為.【解析】方法一：點差法方法二：由垂徑定理，，，即，因為0<e<1,所以解的【例2】已知A、B為橢圓的左右頂點，P為橢圓上異于A、B的點，PA、PB的斜率分別為，且，則該橢圓的離心率為【解析】答案為【例3】設雙曲線C：的頂點為，P為雙曲線上一點，直線交雙曲線C的一條漸近線于M點，直線和的斜率分別為，若且，則雙曲線C離心率為（）A、2B、C、D、4【解析】利用雙曲線過中心弦結論，即答案：B【例4】已知A、B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上異于A、B的另一點，P關于軸的對稱點為，記直線AP、BQ的斜率分別為，且，則雙曲線的離心率為【解析】，由垂徑定理得答案：【例5】過雙曲線的左焦點F且斜率為1的直線與雙曲線的兩條漸近線交于A、B兩點，記線段AB的中點為M，且等于半焦距，則雙曲線的離心率【解析】，雙曲線的開口較小，漸近線斜率的絕對值比1小，故直線與雙曲線的交點都位于軸左側，當直線豎起來時中點即F，而直線斜率為1，故中點M位于第三象限，由，（O為坐標原點），由垂徑定理得答案：【例6】已知直線的斜率為1，且與雙曲線相切于第一象限于點，則點的坐標為______.【解析】法一：因為直線的斜率為1，所以設代入雙曲線得因為直線與雙曲線相切，所以，即，解得當時，，解得，當時，，解得因為切點在第一象限，所以點.故答案為：.法二：設切點坐標為，由垂徑定理得：，又因為點在雙曲線上，可得：解得，所以，所以點.故答案為：.2.提高與鞏固例題【例1】已知直線交橢圓于M、N兩點，B是橢圓與軸正半軸的交點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點，則直線的方程為【解析】設，，，由重心公式得，【三角形ABC重心的坐標公式為，其中】線段MN的中點為，由垂徑定理得（O為坐標原點），直線的方程為【例2】已知橢圓，P是橢圓的上頂點，過P作斜率為的直線交橢圓于另一點A，設點A關于原點的對稱點為B，求△PAB面積的最大值（2）設線段PB的中垂線與軸交于點N，若點N在橢圓內部，求斜率的取值范圍【解析】（1），面積最大為2（2）方法一（與橢圓聯(lián)立）：，，N剛到下頂點時，中垂線，PB：與橢圓聯(lián)立可求得PB中點為在中垂線上，代入得方法二（與直線聯(lián)立）：由垂徑定理得，PB：與邊AP平行的中位線聯(lián)立得PB中點為，由M與構成的中垂線斜率，解得【例3】設直線與雙曲線兩條漸近線分別交于A，B，若點滿足，則該雙曲線的離心率是【解析】方法一（垂徑定理）：記M為PM的中點，則PM：與直線AB聯(lián)立，容易得由垂徑定理得答案：方法二（暴力計算）直線分別與兩條漸近線聯(lián)立得，AB的中點為，所以線段AB的中垂線斜率為方法三（漸近線點差法）：設AB中點為，則由點差法知又中點在直線上，故①，由得②由①②得，【例4】已知某橢圓的焦點是，過點并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且．橢圓上不同的兩點滿足條件：成等差數(shù)列．(1)

求該橢圓的方程；(2)

求弦AC中點的橫坐標；(3)

設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍．【解析】(1)由題意，設橢圓方程為，則，所以，所以。（2）由（1），，所以，設焦半徑，∵成等差數(shù)列,則解得,故弦AC中點的橫坐標為4.設AC中點為M，由（2），則可設，AC的垂直平分線：,由橢圓垂徑定理得而，所以，即又，∴，又在上，故，即，而，所以.其實AC的垂直平分線：，橫過定點.三、自我素養(yǎng)養(yǎng)成練習與思考1.如圖，已知橢圓，過原點的直線交橢圓于點P、A兩點（其中點P在第一象限），過點P作軸的垂線，垂線為C，連AC并延長交橢圓于B，若，則橢圓的離心率為【解析】記，，延長PC交橢圓于D，連AD，由初中幾何知識得，由得，由垂徑定理得答案：2.已知雙曲線的左右焦點為，右頂點為A，P為雙曲線右支上一點，交雙曲線的左支于點Q，與漸近線交于點R，線段PQ的中點為M，若，，則雙曲線的離心率為【解析】由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得，故由垂徑定理得聯(lián)立直線PQ：與直線OM：得，由得，解得答案：23.如圖，已知橢圓的左右頂點分別為A、B，P為第一象限內一點，且，連接PA交橢圓于點C，連BC、OP，若，則橢圓的離心率為【解析】，，由初中幾何知識得，，由垂徑定理得答案：4.如圖，，分別是雙曲線C：的左右焦點，B是虛軸的端點，直線與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線MN與軸交于點M，若，則C的離心率是。【解析】方法一（垂徑定理）：與聯(lián)立得由方法二：，，，直線PQ為：，兩條漸近線為：由得：，由得直線MN為：，令得又，解之得：，即5.過點作直線與橢圓交于兩點，求的中點的軌跡的方程?！窘馕觥吭O，由垂徑定理，，即，化簡得，當與軸平行時，的坐標也滿足方程，故所求的中點的軌跡的方程為；6.過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點，是否存在這樣的直線使點為線段的中點？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.【解析】假設過點P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點，且P為的中點，則，由于直線，即，代入曲線的方程得，即由得.故當時，存在這樣的直線，其直線方程為；當時，這樣的直線不存在.7.如圖，，橢圓C：，不過原點O的直線與C相交于A、B兩點，且線段AB被直線OP平分，求△ABP的面積取最大值時直線的方程【解析】由橢圓垂徑定理1得：，設直線：與橢圓聯(lián)立得由兩點間