方法技巧專題10 圓錐曲線中的垂徑定理（解析版）

；專題技巧：圓錐曲線中的垂徑定理一、知識(shí)框架二、概念及相關(guān)典型例題(一)圓中的垂徑定理（問題背景：直線斜率存在）圖1圖2圖3（1）如圖1，在圓O中，E為弦AB中點(diǎn)，則OE⊥AB，即（2）如圖2，在圓O中，與圓O相切于E點(diǎn)，則OE⊥，即.（若切點(diǎn)坐標(biāo)為，可得切線方程：）（3）如圖3，AB為圓O直徑，E圓上異于A、B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則BE⊥AE，即.（二）圓錐曲線中的垂徑定理（問題情景假設(shè)：假設(shè)下列問題討論所涉及的直線斜率都存在情況下）1.橢圓中的垂徑定理（以焦點(diǎn)在軸的橢圓方程為例）圖1圖2圖3（1）如圖1，在橢圓C中，E為弦AB的中點(diǎn)，則;（證明：用點(diǎn)差法）（2）如圖2，在橢圓C中，與橢圓相切于E點(diǎn)，則;（證明：法一：極限思想，當(dāng)A無(wú)窮接近B點(diǎn)；法二：換元法變換為證明即可；法三：導(dǎo)數(shù)）（3）如圖3,過中心O,交橢圓于A,B兩點(diǎn),E是橢圓上異于A、B點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)則.（證明：取AE重點(diǎn)M，連接OM，即可用（1）證明）【注意：若焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程，則上面結(jié)論變?yōu)椋海础?.雙曲線中的垂徑定理（以焦點(diǎn)在軸的雙曲線方程為例）圖1圖2圖3圖4圖5（1）如圖1或圖2，E為弦AB的中點(diǎn)，則;（2）如圖3，與雙曲線相切于E點(diǎn)，則;（3）如圖4，過O點(diǎn)的交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，E是雙曲線上異于A、B點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),則.（4）如圖5，交上雙曲線兩漸近線于A,B兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，則.【注意：若焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程，則上面斜率乘積結(jié)論變?yōu)椋?，即】圓、橢圓與雙曲線中的垂徑定理可以歸結(jié)為（統(tǒng)稱為有心圓錐曲線）：圓、橢圓與雙曲線中的垂徑定理可以歸結(jié)為（統(tǒng)稱為有心圓錐曲線）：（1）若方程或）存在以上關(guān)系，則上述結(jié)論可表述為：，即，其中分別是系數(shù)的倒數(shù).（2）若方程存在以上關(guān)系，則上述結(jié)論可表述為：，即，其中分別是系數(shù).（三）例題點(diǎn)評(píng)1.例題初探【例1】過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.【解析】方法一：點(diǎn)差法方法二：由垂徑定理，，，即，因?yàn)?<e<1,所以解的【例2】已知A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，PA、PB的斜率分別為，且，則該橢圓的離心率為【解析】答案為【例3】設(shè)雙曲線C：的頂點(diǎn)為，P為雙曲線上一點(diǎn)，直線交雙曲線C的一條漸近線于M點(diǎn)，直線和的斜率分別為，若且，則雙曲線C離心率為（）A、2B、C、D、4【解析】利用雙曲線過中心弦結(jié)論，即答案：B【例4】已知A、B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線上異于A、B的另一點(diǎn)，P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，記直線AP、BQ的斜率分別為，且，則雙曲線的離心率為【解析】，由垂徑定理得答案：【例5】過雙曲線的左焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與雙曲線的兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，記線段AB的中點(diǎn)為M，且等于半焦距，則雙曲線的離心率【解析】，雙曲線的開口較小，漸近線斜率的絕對(duì)值比1小，故直線與雙曲線的交點(diǎn)都位于軸左側(cè)，當(dāng)直線豎起來時(shí)中點(diǎn)即F，而直線斜率為1，故中點(diǎn)M位于第三象限，由，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），由垂徑定理得答案：【例6】已知直線的斜率為1，且與雙曲線相切于第一象限于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【解析】法一：因?yàn)橹本€的斜率為1，所以設(shè)代入雙曲線得因?yàn)橹本€與雙曲線相切，所以，即，解得當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以點(diǎn).故答案為：.法二：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由垂徑定理得：，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，可得：解得，所以，所以點(diǎn).故答案為：.2.提高與鞏固例題【例1】已知直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，B是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，則直線的方程為【解析】設(shè)，，，由重心公式得，【三角形ABC重心的坐標(biāo)公式為，其中】線段MN的中點(diǎn)為，由垂徑定理得（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線的方程為【例2】已知橢圓，P是橢圓的上頂點(diǎn)，過P作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，求△PAB面積的最大值（2）設(shè)線段PB的中垂線與軸交于點(diǎn)N，若點(diǎn)N在橢圓內(nèi)部，求斜率的取值范圍【解析】（1），面積最大為2（2）方法一（與橢圓聯(lián)立）：，，N剛到下頂點(diǎn)時(shí)，中垂線，PB：與橢圓聯(lián)立可求得PB中點(diǎn)為在中垂線上，代入得方法二（與直線聯(lián)立）：由垂徑定理得，PB：與邊AP平行的中位線聯(lián)立得PB中點(diǎn)為，由M與構(gòu)成的中垂線斜率，解得【例3】設(shè)直線與雙曲線兩條漸近線分別交于A，B，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是【解析】方法一（垂徑定理）：記M為PM的中點(diǎn)，則PM：與直線AB聯(lián)立，容易得由垂徑定理得答案：方法二（暴力計(jì)算）直線分別與兩條漸近線聯(lián)立得，AB的中點(diǎn)為，所以線段AB的中垂線斜率為方法三（漸近線點(diǎn)差法）：設(shè)AB中點(diǎn)為，則由點(diǎn)差法知又中點(diǎn)在直線上，故①，由得②由①②得，【例4】已知某橢圓的焦點(diǎn)是，過點(diǎn)并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且．橢圓上不同的兩點(diǎn)滿足條件：成等差數(shù)列．(1)

求該橢圓的方程；(2)

求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)

設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍．【解析】(1)由題意，設(shè)橢圓方程為，則，所以，所以。（2）由（1），，所以，設(shè)焦半徑，∵成等差數(shù)列,則解得,故弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.設(shè)AC中點(diǎn)為M，由（2），則可設(shè)，AC的垂直平分線：,由橢圓垂徑定理得而，所以，即又，∴，又在上，故，即，而，所以.其實(shí)AC的垂直平分線：，橫過定點(diǎn).三、自我素養(yǎng)養(yǎng)成練習(xí)與思考1.如圖，已知橢圓，過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)P、A兩點(diǎn)（其中點(diǎn)P在第一象限），過點(diǎn)P作軸的垂線，垂線為C，連AC并延長(zhǎng)交橢圓于B，若，則橢圓的離心率為【解析】記，，延長(zhǎng)PC交橢圓于D，連AD，由初中幾何知識(shí)得，由得，由垂徑定理得答案：2.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，交雙曲線的左支于點(diǎn)Q，與漸近線交于點(diǎn)R，線段PQ的中點(diǎn)為M，若，，則雙曲線的離心率為【解析】由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得，故由垂徑定理得聯(lián)立直線PQ：與直線OM：得，由得，解得答案：23.如圖，已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A、B，P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且，連接PA交橢圓于點(diǎn)C，連BC、OP，若，則橢圓的離心率為【解析】，，由初中幾何知識(shí)得，，由垂徑定理得答案：4.如圖，，分別是雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線MN與軸交于點(diǎn)M，若，則C的離心率是?！窘馕觥糠椒ㄒ唬ù箯蕉ɡ恚号c聯(lián)立得由方法二：，，，直線PQ為：，兩條漸近線為：由得：，由得直線MN為：，令得又，解之得：，即5.過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡的方程?！窘馕觥吭O(shè)，由垂徑定理，，即，化簡(jiǎn)得，當(dāng)與軸平行時(shí)，的坐標(biāo)也滿足方程，故所求的中點(diǎn)的軌跡的方程為；6.過點(diǎn)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，是否存在這樣的直線使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.【解析】假設(shè)過點(diǎn)P(1,1)作直線與有心圓錐曲線交于兩點(diǎn)，且P為的中點(diǎn)，則，由于直線，即，代入曲線的方程得，即由得.故當(dāng)時(shí)，存在這樣的直線，其直線方程為；當(dāng)時(shí)，這樣的直線不存在.7.如圖，，橢圓C：，不過原點(diǎn)O的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分，求△ABP的面積取最大值時(shí)直線的方程【解析】由橢圓垂徑定理1得：，設(shè)直線：與橢圓聯(lián)立得由兩點(diǎn)間