方法技巧專題11 圓錐曲線綜合問題 (解析版)

方法技巧專題圓錐曲線的綜合問題（一、圓錐曲線的綜合問題知識框架二、知識點及例題【一】定點問題定點問題：定點問題：圓錐曲線中的定點問題往往與圓錐曲線中的“常數(shù)”有關(guān)，如橢圓的長、短軸，雙曲線的虛、實軸，拋物線的焦參數(shù)等．解答這類題要大膽設(shè)參，運算推理，到最后參數(shù)必清．·1.例題【例1】已知拋物線經(jīng)過點（2，?1）．（1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)為原點，過拋物線的焦點作斜率不為的直線交拋物線于兩點，直線分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．【解析】（1）由拋物線經(jīng)過點，得.所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.（2）拋物線的焦點為.設(shè)直線的方程為.由得.設(shè)，則.直線的方程為.令，得點A的橫坐標(biāo).同理得點B的橫坐標(biāo).設(shè)點，則，.令，即，則或.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點和.【例2】已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6.(1)求該拋物線的方程；(2)已知拋物線上一點，過點作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點，并說明理由.【解析】(2)由(1)可得點，設(shè)直線的方程為:，聯(lián)立，得，設(shè)，則，同理可得,所以直線的方程為化簡得.直線過定點.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知點A，B是拋物線上關(guān)于軸對稱的兩點，點E是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點.（1）若是面積為4的直角三角形，求拋物線C的方程；（2）若直線BE與拋物線C交于另一點D，證明：直線AD過定點.【解析】（1）由題意，是等腰直角三角形，且不妨設(shè)點A位于第一象限，則直線EA的方程為，聯(lián)立方程，，解得所以點，，，解得，故拋物線C的方程為（2）（方法一）設(shè)，，則直線EB的方程為聯(lián)立方程，，消去，得關(guān)于的方程，該方程有一個根，兩根之積為，則另一個根為，所以點D的坐標(biāo)為直線AD的斜率為所以AD的方程為化簡得，所以直線AD過定點（方法二）設(shè)，，，直線BE的方程為，聯(lián)立方程，，消去x，得關(guān)于x的方程，所以則直線AD的方程為化簡得所以直線AD過定點【練習(xí)2】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點且不垂直于軸直線與橢圓相交于、兩點。（1）求橢圓的方程；（2）若點關(guān)于軸的對稱點是點，證明：直線與軸相交于定點?！窘馕觥浚?）由題意知，離心率，所以，即又，所以，，所以橢圓的方程為．（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得：，設(shè)，，則，，①因為、兩點關(guān)于軸對稱，所以，直線的方程為，令得：，又由，，所以由將①代入得，所以直線與軸交于定點．【二】定值問題定值問題：定值問題：定值問題的求解與證明類似，在求定值之前，已經(jīng)知道定值的結(jié)果(題中未告知，可用特殊值探路求之)，解答這類題要大膽設(shè)參，運算推理，到最后參數(shù)必清，定值顯現(xiàn).（1）圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略：（2）兩種解題思路：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②引進變量法：其解題流程為：1.例題【例1】已知橢圓（）的焦距為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點，設(shè)為橢圓上位于第三象限內(nèi)一動點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值，并求出該定值．【解析】（Ⅰ）由題意，，且，求得，所以．所以橢圓的方程為；（Ⅱ）設(shè)（，），則．又，，所以直線的方程為．令，得，從而．直線的方程為．令，得，從而．所以四邊形的面積所以四邊形的面積為定值2．【例2】已知橢圓：，點、、都在橢圓上，為坐標(biāo)原點，為中點，且.（1）若點的坐標(biāo)為，求直線的方程；（2）求證：面積為定值.【解析】將A,B代入橢圓方程中，可得，作差得（2）證明：設(shè)，∴，①當(dāng)直線的斜率不存在時，，由題意可得，，或，，，此時；②當(dāng)直線的斜率存在時，，由（1），∴：，即直線：，即，，∴，，∵，，到的距離，.∴為定值.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知橢圓：的左、右焦點，，是橢圓上任意一點，若以坐標(biāo)原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的焦點，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線是圓：上動點處的切線，與橢圓交與不同的兩點，，證明：的大小為定值．【解析】（1）因為以坐標(biāo)原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，所以可得，又因為的周長為，可得，所以，可得，，所求橢圓的方程為.（2）證明：直線的方程為，且，記以，，聯(lián)立方程消去得，∴，，，從而，∴為定值.【練習(xí)2】已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．【解析】（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直線PA的方程為y–2=．令x=0，得點M的縱坐標(biāo)為．同理得點N的縱坐標(biāo)為．由，得，．所以．所以為定值．【三】定線問題定線問題：定線問題：定直線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．1.例題【例1】如圖，已知橢圓的左右焦點為，其上頂點為，已知是邊長為2的正三角形（1）求橢圓的方程（2）過點任作一動直線交橢圓于兩點，記，若在線段上取一點使得，試判斷當(dāng)直線運動時，點是否在某一定直線上運動？若在，請求出該定直線；若不在請說明理由【解析】（1）由橢圓方程可得（2）設(shè)設(shè)，由可得：設(shè)，則由可得：①聯(lián)立方程組，消去整理可得：代入到①可得：在定直線上2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，原點到過點的直線距離是（1）求橢圓的方程（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，過作的垂線與直線交于點，求證：點在定直線上，并求出定直線的方程【解析】（1）拋物線的焦點坐標(biāo)為直線的方程為：橢圓方程為即即，【四】圓錐曲線中的最值與范圍問題圓錐曲線相關(guān)的最值、范圍問題：圓錐曲線相關(guān)的最值、范圍問題：一、圓錐曲線最值問題類型：（1）由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中Δ的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；（2）將要討論的幾何量如長度、面積等用參數(shù)表示出來，再對表達式進行討論，應(yīng)用不等式、三角函數(shù)等知識求最值，在解題過程中注意向量、不等式的應(yīng)用．二、處理圓錐曲線最值問題的求解方法：圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.三、解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．1.例題【例1】已知點A(?2，0)、B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【解析】（1）由題設(shè)得，化簡得，所以C為中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點．（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為．由得．記，則．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得．從而直線的斜率為．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面積．設(shè)t=k+，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號．因為在[2，+∞）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時，S取得最大值，最大值為．因此，△PQG面積的最大值為．【例2】已知橢圓的左，右焦點分別為，該橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點在橢圓左頂點的左側(cè)）且，求證：直線過定點；并求出斜率的取值范圍.【解析】（Ⅰ）解：橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的離心率為，即有，即，，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓方程為，直線與圓相切，則有，即有，則橢圓C的方程為；（Ⅱ）證明：設(shè)，由，可得直線和關(guān)于x軸對稱即有，即，即有，①設(shè)直線，代入橢圓方程，可得，判別式，即為②，③，代入①可得，，將③代入，化簡可得，則直線的方程為，即．即有直線恒過定點．將代入②，可得，解得或則直線的斜率的取值范圍是．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點，又過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線交于點.（1）證明：直線的斜率之積為定值；（2）求面積的最小值【解析】（1）證明：由題意設(shè)的方程為，聯(lián)立，得因為，所以設(shè)，則設(shè)直線的斜率分別為，對求導(dǎo)得，所以，所以，（定值）（2）解：由（1）可得直線的方程為①直線的方程為②聯(lián)立①②，得點的坐標(biāo)為，由（1）得，所以.于是，點到直線的距離，所以，當(dāng)，即時，的面積取得最小值【練習(xí)2】設(shè)圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，直線交圓于，兩點，過點作的平行線交于點.（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與圓交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）因為，，故，所以，故，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以，由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為.（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)的方程為，，，由得，則，，所以，過點且與垂直的直線，到的距離為，所以，故四邊形的面積，可得當(dāng)與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為，當(dāng)與軸垂直時，其方程為，，四邊形的面積為，綜上，四邊形面積的取值范圍為.【五】圓錐曲線中的存在性問題圓錐曲線中存在性問題的求解方法：圓錐曲線中存在性問題的求解方法：（1）通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化，其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素（點、直線、曲線或參數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于特定參數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素（點、直線、曲線或參數(shù)）存在，否則（點、直線、曲線或參數(shù)）不存在；（2）反證法與驗證法也是求解存在性問題的常用方法．1.例題【例1】在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點為，若橢圓：經(jīng)過點，拋物線和橢圓有公共點，且.（1）求拋物線和橢圓的方程；（2）是否存在正數(shù)，對于經(jīng)過點且與拋物線有兩個交點的任意一條直線，都有焦點在以為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為拋物線經(jīng)過點，且.所以，解得，所以拋物線，焦點，由題意知解得所以橢圓：故拋物線的方程為，橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在正數(shù)適合題意，由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為由消去，整理得因為直線與拋物線有兩個交點且，所以設(shè)，則所以因為，所以由題意知恒成立，所以恒成立因為，所以，解得又因為，所以故存在正數(shù)適合題意，此時取值范圍為. 【例2】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上．（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（）是否存在斜率為的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個不同交點，時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．【解析】（）設(shè)橢圓的焦距為，則，∵在橢圓上，∴，∴，，故橢圓的方程為．（）假設(shè)這樣的直線存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，的中點為，由，消去，得，∴，且，故且，由，知四邊形為平行四邊形，而為線段的中點，因此為線段的中點，∴，得，又，可得，∴點不在橢圓上，故不存在滿足題意的直線．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點．（1）求圓方程；（2）是否存在過點的直線與圓交于兩點，且的面積為（為坐標(biāo)原點），若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為：，又與相切，則有，解得：，，所以圓的方程為：；（2）由題意得：當(dāng)存在時，設(shè)直線，設(shè)圓心到直線的距離為，則有，化簡得：，無解；當(dāng)不存在時，，則圓心到直線的距離，那么，，滿足題意，所以直線的方程為：.【練習(xí)2】如圖，兩條相交線段、的四個端點都在橢圓上，其中直線的方程為，直線的方程為.（1）若，，求的值；（2）探究：是否存在常數(shù)，當(dāng)變化時，恒有？【解析】（1）由題意，當(dāng)時，聯(lián)立方程組，解得，因為，所以，設(shè)，則，化簡得，又由，聯(lián)立方程組，解得或.因為平分，所以（不適合題意），所以.（2）設(shè)，由，整理得，其中，若存在常數(shù)，當(dāng)變化時，恒有，則由（1）可知只可能是，①當(dāng)時，取，等價于，即，即，即，此式子恒成立，所以存在常數(shù)，當(dāng)變化時，恒有；②當(dāng)時，取，由橢圓的對稱性，同理可知結(jié)論也成立，綜上可得，存在常數(shù)，當(dāng)變化時，恒有.三、課后自我檢測三、課后自我檢測1.已知拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點.（1）求實數(shù)的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）過點任作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于、和、點，求兩條弦的弦長之和的最小值．【解析】（1）由已知橢圓C整理得,所以焦點F的坐標(biāo)為,所以所以拋物線E的準(zhǔn)線方程為：（2）由題意知兩條直線的斜率存在且不為零設(shè)直線的斜率為,方程為,則的斜率為,方程為設(shè)、,由得因為,所以,,所以同理得,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取“等號”,所以兩條弦的弦長之和的最小值為2.已知左焦點為F(-1,0)的橢圓過點E（1,）.過點P(1,1)分別作斜率為k1,k2的橢圓的動弦AB,CD,設(shè)M,N分別為線段AB,CD的中點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若P為線段AB的中點,求k1;(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過定點,并求出定點坐標(biāo).【解析】(1)依題設(shè)c=1,且右焦點F′(1,0).所以2a=|EF|+|EF′|=+=2,b2=a2-c2=2,故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,①+=1.②②-①,得+=0.所以k1==-=-=-.(3)依題設(shè),k1≠k2.設(shè)M(xM,yM),又直線AB的方程為y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,代入橢圓方程并化簡得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.于是,xM=,yM=,同理,xN=,yN=.當(dāng)k1k2≠0時,直線MN的斜率k===.直線MN的方程為y-=(x-),即y=x+(·+),亦即y=x-.此時直線過定點（0,-）.當(dāng)k1k2=0時,直線MN即為y軸,此時亦過點（0,-）.綜上,直線MN恒過定點,且坐標(biāo)為（0,-）.3.已知橢圓：的焦距為，且，圓：與軸交于點，，為橢圓上的動點，，面積最大值為.（1）求圓與橢圓的方程；（2）設(shè)圓的切線交橢圓于點，，求的取值范圍.【解析】(1)因為，所以.①因為，所以點為橢圓的焦點，所以.設(shè)，則，所以.當(dāng)時，，②由①，②解得，所以，.所以圓的方程為，橢圓的方程為.(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨取直線的方程為，解得.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.因為直線與圓相切，所以，即，聯(lián)立，消去可得，.==.令，則，所以=，所以=，所以.綜上，的取值范圍是.4.已知橢圓的左，右焦點分別為，該橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點在橢圓左頂點的左側(cè)）且，求證：直線過定點；并求出斜率的取值范圍.【解析】（Ⅰ）解：橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的離心率為，即有，即，，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓方程為，直線與圓相切，則有，即有，則橢圓C的方程為；（Ⅱ）證明：設(shè)，由，可得直線和關(guān)于x軸對稱即有，即，即有，①設(shè)直線，代入橢圓方程，可得，判別式，即為②，③，代入①可得，，將③代入，化簡可得，則直線的方程為，即．即有直線恒過定點．將代入②，可得，解得或則直線的斜率的取值范圍是．