方法技巧專題17 函數(shù)不等式的證明(解析版)

方法技巧專題函數(shù)不等式的證明解析篇一、函數(shù)不等式的證明知識框架二、構(gòu)造輔助函數(shù)證函數(shù)不等式解題技巧：解題技巧：把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵.解題程序：移項（有時需要作簡單的恒等變形），使不等式的一端為0，另一端即為所構(gòu)造的輔助函數(shù)；求，并求在指定區(qū)間上的單調(diào)性；求在指定區(qū)間上的最值，作比較即得所證.1.例題【例1】已知函數(shù)，求證：當時，恒有【解析】∴當時，，即在上為增函數(shù)當時，，即在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間于是函數(shù)在上的最大值為，因此，當時，，即∴（右邊得證），現(xiàn)證邊面，令，當，即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上的最小值為，∴當時，，即∴，綜上可知，當【例2】證明當【解析】不等式兩邊取對數(shù)得，可化為令（），求導得，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，所以即所以【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式都成立.【解析】令，則在上恒正，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴時，恒有即，∴對任意正整數(shù)n，取2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數(shù)求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方；【解析】設，即，則=當時，=從而在上為增函數(shù)，∴∴當時，即，故在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方?！揪毩?】若函數(shù)在上可導且滿足不等式恒成立，且常數(shù)滿足，求證： 【解析】由已知x+>0∴構(gòu)造函數(shù)，則x+>0，從而在R上為增函數(shù)。∴即a>b【練習3】已知函數(shù)，設,證明：.【解析】證明：對求導,則.在中以b為主變元構(gòu)造函數(shù),設,則.當時，,因此在內(nèi)為減函數(shù).當時,,因此在上為增函數(shù).從而當時,有極小值.因為所以,即又設.則.當時,.因此在上為減函數(shù).因為所以,即.三、函數(shù)不等式的變形原理【一】冪函數(shù)與的積商形式對于這類函數(shù),一般來說，每次求導數(shù)，多項式的次數(shù)就降低一次，但最終的導數(shù)形式需化成不含對于這類函數(shù),一般來說，每次求導數(shù)，多項式的次數(shù)就降低一次，但最終的導數(shù)形式需化成不含的式子，如，需兩次求導才能化成不含的式子，如果把分離出來，只需一次求導就可化成不含的式子，所以，在解決這類問題時，方法是：盡可能把分離出來.1.例題【例1】已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為y=2（1）求a,b的值；（2）當且時，求證：【解析】（1）∵，由直線的斜率為0，且過點得，化簡得：，解得：，.（2）.當時，不等式，當時，不等式.令，.當時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，，故成立.當時，，故也成立.所以當且時，不等式總成立.2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（2）在（1）條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當，且時，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，所以.又曲線在點處的切線與直線平行，所以，即.（2）令，得，當變化時，，的變化情況如下表：+0-極大值由表可知：的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以在處取得極大值，的極大值為.（3）當時，.由于，要證，只需證明，令，則.因為，所以，故在上單調(diào)遞增，當時，，即成立．故當時，有，即.【二】冪函數(shù)、與的混合形式對于同時含有冪函數(shù)、對于同時含有冪函數(shù)、與的形式，一般的處理方法或思路是：把與含冪函數(shù)形式的代數(shù)式配對；把與含冪函數(shù)形式的代數(shù)式配對.1.例題【例1】設函數(shù).（1）求在區(qū)間[1，2]上的最小值；（2）證明：對任意的，都有.【解析】（1）由題，令，則，令，解得，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴.（2）證明：要證，只要證，從而只要證，令，，∴，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，，∴對任意的，都有.（等號不能同時取得），【例2】已知函數(shù).(1)若上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：當時，．【解析】（2）要證即證令，則再令，則當時，，∴在上是增函數(shù)，∴∴，∴在上是增函數(shù)∴當時，∴令，則當時，，∴即在上是減函數(shù)∴當時，所以，即2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：【解析】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，令，令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，所以單調(diào)增區(qū)間為減區(qū)間為．g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定義域上恒成立，所以的單調(diào)減區(qū)間為；證明：將不等式變形為，因為，即不等式等價于，由（1）有所以在上單調(diào)遞減，所以要證原不等式成立，需證當x＞0時，x＜ex-1，令，則，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上單調(diào)遞增，故h(x)>h(0)=0，即x＜ex-1，故f(x)＞f(ex-1)，即，即.【練習2】已知函數(shù).（1）當，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，.【解析】（1）函數(shù)，當且時，；當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）問題等價于.令，則，當時，取最小值.設，則.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴，∵，∴，∴，故當時，.四、函數(shù)不等式的單零點—隱零點問題對于對于隱零點問題，題目結(jié)構(gòu)特征往往呈現(xiàn)出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三者中的兩者混合形態(tài)，之所以要引入隱零點，歸根到底還是導數(shù)零點無法求出，在引入隱零點后，接下來的轉(zhuǎn)換原則概括為：“指對冪上轉(zhuǎn)”，意思是：把指數(shù)結(jié)構(gòu)、對數(shù)結(jié)構(gòu)往冪函數(shù)上轉(zhuǎn)換.1.例題【例1】已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求a，b的值；（2）求證：．【解析】(1)函數(shù)的導數(shù)為，函數(shù)在點處的切線斜率為，由切線方程，可得，，解得，；(2)證明：，導數(shù)為，，易知為增函數(shù)，且.所以存在,有,即，且時，，遞增；時，，遞減，可得處取得最小值，可得成立．【例2】設函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）證明：若，則．【解析】（1）因為在上單調(diào)遞增,所以恒成立.令,當,在上單調(diào)遞增,依題意有,得（2）由（1）可知,在上單調(diào)遞增,當時,,,存在,使得,且當時,,即,在上單調(diào)遞減當時,,即,在上單調(diào)遞增所以在上的最小值為,,,,即成立或者,,即成立【例3】已知函數(shù)．（1）若曲線在處切線與坐標軸圍成的三角形面積為，求實數(shù)的值；（2）若，求證：．【解析】（1），則為切線斜率．又，∴切點為．∴曲線在處切成方程為．當時，，當時，（易知）則切線與坐標軸圍成三角形面積為．∴得．所以或．（2）法一：時，要證的不等式為，即．令，則．易知遞增，，，∴僅有一解且，即．當時，，遞減；當時，，遞增．從而最小值為∴，故原不等式成立．法二：時，要證的不等式為．令，則．故問題化為證不等式恒成立．時，令，則，當時，，遞減；當時，，遞增．∴，從而原不等式成立．2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知，.（Ⅰ）和的導函數(shù)分別為和，令，判斷在上零點個數(shù)；（Ⅱ）當時，證明.【解析】（I），與在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，唯一的，使得在內(nèi)有且只有一個零點（II）令，則.由（I）可知：存在使得，即：當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增∴【練習2】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為：.（1）求，的值；（2）設，求函數(shù)在上的最大值.【解析】（1）由切線方程知，當時，，∴∵，∴由切線方程知，∴（2）由（1）知，∴，當時，當時，，故單調(diào)遞減∴在上的最大值為②當時∵，，∴存在，使當時，，故單調(diào)遞減當時，，故單調(diào)遞增∴在上的最大值為或又，，∴當時，在上的最大值為當時，在上的最大值為當時，當時，，故單調(diào)遞增∴在上的最大值為綜上所述，當時，在上的最大值為當時，在上的最大值為【練習3】已知函數(shù)，其中a為非零常數(shù)．討論的極值點個數(shù)，并說明理由；若，證明：在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個零點；設為【解析】解：由已知，的定義域為，，①當時，，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點；②當時，令，則由于在上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一的，使得，所以當時，，即；當時，，即，所以當時，在上有且僅有一個極值點.綜上所述，當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)只有一個極值點；證明：由知．令，由得，所以在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的唯一極值點．令，則當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當時，，所以．從而當時，，且又因為，故在內(nèi)有唯一的零點．由題意，即，從而，即．因為當時，，又，故，即，兩邊取對數(shù)，得，于是，整理得．五、函數(shù)不等式的雙零點問題【一】雙零點是二次函數(shù)的零點當研究的雙零點是二次函數(shù)的零點時，此時可認為兩零點的關系是明確的，可根據(jù)韋達定理得到兩零點之間滿足的關系，消元后進一步求解.當研究的雙零點是二次函數(shù)的零點時，此時可認為兩零點的關系是明確的，可根據(jù)韋達定理得到兩零點之間滿足的關系，消元后進一步求解.1.例題【例1】已知函數(shù)若在處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若是函數(shù)的兩個極值點,且,求證：【解析】(1)的定義域為,,在處取得極值,.時,；時,的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,有兩個極值點,,故得證【例2】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）若有兩個極值點，證明：.【解析】（1）.①當時，.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減.即函數(shù)只有一個極大值點，無極小值點.②當時，，令，得.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減.即函數(shù)有一個極大值點，有一個極小值點.③當時，，此時恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極值點.綜上所述，當時，有且僅有一個極大值點，即只有1個極值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點，即有2個極值點；當時，沒有極值點.（2）由（1）可知，當且僅當時，有兩個極值點，且為方程的兩根，即，所以.令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.【例3】已知函數(shù)的導函數(shù)為.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（2）若的兩個零點從小到大依次為，，證明：.【解析】（1）因為，所以.因為直線的斜率為，曲線在處的切線與直線垂直，所以，即，所以.（2）因為，且的兩個零點從小到大依次為，，所以，是方程的兩個根，所以，，又，，，所以且，欲證，只需證，而，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以成立.2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知函數(shù)（1）若在點處的切線與直線平行，求在點的切線方程；（2）若函數(shù)在定義城內(nèi)有兩個極值點，，求證：．【解析】（1）因為在點處的切線與直線平行，，即故切點坐標為切線方程為（2）由題知方程在上有兩個不等實根.又令則在上單調(diào)遞減.即【練習2】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若為的兩個極值點，證明：.【解析】（1）的定義域為，，對于函數(shù)，①當時，即時，在恒成立．在恒成立，在為增函數(shù)；②當，即或時，當時，由，得或，，在為增函數(shù)，減函數(shù)，為增函數(shù)，當時，由在恒成立，在為增函數(shù)．綜上，當時，在為增函數(shù)，減函數(shù)，為增函數(shù)；當時，在為增函數(shù)．（2）由（1）知，且，故故只需證明，令，故，原不等式等價于對成立，令，所以單調(diào)遞減，有得證.【二】極值點偏移問題當兩零點關系不明確時，要利用降元思想，將雙元不等式轉(zhuǎn)化為單元不等式，具體方法如下：當兩零點關系不明確時，要利用降元思想，將雙元不等式轉(zhuǎn)化為單元不等式，具體方法如下：設函數(shù)零點（），一般選取為主元，將，，，，建立關于的函數(shù)，用函數(shù)思想建立數(shù)量關系，借助導數(shù)證明不等式；利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性求解，即含有的形式化歸到同一單調(diào)區(qū)間上，由建立橋梁，轉(zhuǎn)化為單元不等式證明.1.例題【例1】已知，．若有兩個極值點，，且，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．解法一：齊次構(gòu)造證法1：欲證，需證．若有兩個極值點，，即函數(shù)有兩個零點．又，所以，，是方程的兩個不同實根．于是，有，解得．另一方面，由，得，從而可得，．于是，．又，設，則．因此，，．要證，即證：，．即：當時，有．設函數(shù)，，則，所以，為上的增函數(shù)．注意到，，因此，．于是，當時，有．所以，有成立，．解法二變換函數(shù)證法2：欲證，需證．若有兩個極值點，，即函數(shù)有兩個零點．又，所以，，是方程的兩個不同實根．顯然，否則，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意．由，即只需證明即可．即只需證明．設，，故在，即，故．由于，故在，．設，令，則，又因為，，在，故有，即．原命題得證．解法三構(gòu)造函數(shù)證法3：由，是方程的兩個不同實根得，令，，由于，因此，在，．設，需證明，只需證明，只需證明，即，即．即，，故在，故，即．令，則，因為，，在，所以，即．解法四巧引變量（一）證法4：設，，則由得，設，則，．欲證，需證．即只需證明，即．設，，，故在，故，故在，因此，命題得證．解法五巧引變量（二）證法5：設，，則由得，設，則，．欲證，需證，即只需證明，即，設，，故在，因此，命題得證．2.鞏固提升綜合練習【練習1】【2016年全國Ⅰ】已知函數(shù)QUOTE有兩個零點．（I）求a的取值范圍；（II）設，是QUOTE的兩個零點，證明：．【解析】（Ⅰ）．（i）設，則，只有一個零點．（ii）設，則當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個零點．（iii）設，由得或．若，則，故當時，，因此在上單調(diào)遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．若，則，故當時，；當時，．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．綜上，的取值范圍為．（Ⅱ）不妨設，由（Ⅰ）知，，又在上單調(diào)遞減，所以等價于，即．由于，而，所以．設，則．所以當時，，而，故當時，．從而，故．【練習2】已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：（為函數(shù)的導函數(shù)）【解析】∵，∴，當時，在上單調(diào)遞增，與直線不可能有兩個交點，故．令，則；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．不妨設，且，要證，需證，即證，又，所以只需證，即證：當時，．設，則，∴在上單調(diào)遞減，又，故，原不等式成立．【練習3】已知函數(shù)有兩個不同的零點，，其極值點為．（1）求的取值范圍； （2）求證：；（3）求證：．【解析】：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，舍去；則必有，得在上遞減，在上遞增，要使有兩個不同的零點，則須有．（嚴格來講，還需補充兩處變化趨勢的說明：當時，；當時，）．（3）構(gòu)造函數(shù)，則當時，，但因式的符號不容易看出，引進輔助函數(shù)，則，當時，，得在上遞增，有，則，得在上遞增，有，即；（iii）將代入（ii）中不等式得，又，，在上遞增，故，．六、課后自我檢測1.已知函數(shù)，若曲線與曲線的一個公共點是，且在點處的切線互相垂直．（1）求的值；（2）證明：當時，．【解析】（1）；（2），，令，則，，因為，所以，所以在單調(diào)遞增，，即，所以當時，．2.已知定義在上的函數(shù)滿足，且恒成立，則不等式的解集為()A．B．C．D．【答案】D3、設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，設，其導數(shù)，又由當時，，則有，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又由，則在區(qū)間上，，又由，則，在區(qū)間上，，又由，則，則在和上，，又由為奇函數(shù)，則在區(qū)間和上，都有，或，解可得或，則的取值范圍是，故選D.4.已知函數(shù),.（1）若曲線在點處的切線斜率為，求實數(shù)的值；（2）若在有兩個零點，求的取值范圍；（3）當時，證明：.【解析】（1）解：因為，所以.因為曲線在點處的切線斜率為，所以，解得（2）解：原題等價于方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個不同根.轉(zhuǎn)化為，函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)的圖像在SKIPIF1<0上有兩個不同交點.又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)增，在SKIPIF1<0上單調(diào)減.從而SKIPIF1<0又SKIPIF1<0有且只有一個零點是，且在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，在在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可見，要想函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖像在SKIPIF1<0上有兩個不同交點，所以SKIPIF1<0（3）證明：因為,，當時，要證，只需證明設，則在上單調(diào)遞增，，，在上有唯一零點，因為，所以即.當時，；當時，，所以當時，取得最小值.所以.綜上可知，當時，5.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若都有，求證：.【解析】（1）∵，∴，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴.（2）證明：∵，都有，∴即，設，，∴，令，，∴，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴存在唯一使得，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∵，，∴即，∴，令，，∵，∴在上單調(diào)遞增，∴，∵，，∴.6.已知函數(shù).（1）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若有兩個極值點，，證明：.【解析】（1）因為為單調(diào)增函數(shù)，所以，即恒成立，，當且僅當時取等號，即．（2）證明：由（1）得，依題意可得的兩個零點為，，所以，且，．所以令，．則，單調(diào)遞減，因為，所以，故．7.已知函數(shù)．討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；若函數(shù)有兩個極值點，，證明：．【解析】，，，當時，，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，有極小值；當時，，故，在上單調(diào)遞減，故此時無極值；當時，，方程有兩個不等的正根，．可得，．則當及時，，單調(diào)遞減；當時，；單調(diào)遞增；在處有極小值，在處有極大值．綜上所述：當時，有1個極值點；當時，沒有極值點；當時，有2個極值點．由可知當且僅當時有極小值點和極大值點，且，是方程的兩個正根，則，．；令，；，在上單調(diào)遞減，故，．8.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍.（2）設的兩個極值點為，證明.【解析】：（1）依題意