初中數(shù)學同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題10全等三角形模型之平移和軸對稱模型含答案及解析

專題10全等三角形模型之平移和軸對稱模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2模型一、平移模型 2模型二、軸對稱模型 4壓軸能力測評（8題） 7模型一：平移模型【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.【常見模型】◎模型二：軸對稱模型【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】模型一、平移模型【常見模型】例．將沿方向平移，得到．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求平移的距離．【變式訓練1】．如圖（1），已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．（1）求△ABC所掃過的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關系，并說明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的長．【變式訓練2】．（12分）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是BA延長線上的一點，AF=AB，已知△ABE≌△ADF．（1）在圖中，可以通過平移、翻折、旋轉中的哪一種方法，使△ABE變到△ADF的位置；（2）線段BE與DF有什么關系？證明你的結論．【變式訓練3】．如圖，將三角形ABC沿射線BC平移后能與三角形DEF重合（點B、C分別與點E、F對應），如果BF的長為12，點E在邊BC上，且2＜EC＜4，求邊BC長的取值范圍．【變式訓練4】．如圖，沿BC方向平移到的位置．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求平移的距離．模型二、軸對稱模型【常見模型】例．嘉嘉學習了等腰三角形，知道“等邊對等角”，他想：那么邊不相等時，它們所對的角有什么樣的關系呢？于是他做了如下探索：他剪了一個如圖所示的，其中，然后把紙片折疊，使得與重合，且點B落在延長線上的處，然后利用軸對稱和外角的性質得到三角形中邊角的不等關系．

(1)請你完成證明過程：證明：由軸對稱的性質可以得到∴①（

②

）又∵是的一個外角∴（

③

）∴☆

即（等量代換）∴在中，若，則(2)請用（1）的結論解決問題：在中，若，是邊上的中線，請?zhí)剿骱偷拇笮￡P系，并寫出證明的過程．（溫馨提示：延長到點H，使，連接）

【變式訓練1】．平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，、滿足．

圖1

圖2(1)求、兩點的坐標；(2)如圖1，為上一點，連接，過點作交于，若，求點的坐標；(3)如圖2，點、關于軸對稱，為軸上點右側一點，過點作交直線于點，是否存在點，使，若存在，求點的坐標，若不存在，請說明理由．【變式訓練2】．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線AB﹣BC﹣CD向終點D運動，設點P運動的時間為x秒（x＞0），△ABP的面積為y（y＞0），回答下列問題：(1)當點P到和點B重合時，x＝_____；當點P和點C重合時，x＝_____．(2)在點P的運動過程中，△ABP為軸對稱三角形時，求x的值．(3)當4≤x≤12時，寫出y與x的函數(shù)關系式，并寫出對應的自變量的取值范圍．【變式訓練3】．教材呈現(xiàn)：如圖是某版八年級上冊數(shù)學教材第96頁的部分角平分線回憶我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖，角平分線所在的直線是角的對稱軸，如圖，是的角平分線，P是上的任意一點，作，，垂足分別為點D和點E，將沿對折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此即有角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距相等．已知：如圖，是的平分線，點P是上的任意一點，，，垂直分別為D和點E．求證：．請寫出定理的證明過程分析：圖中有兩個直角三角形和只要證明這兩個三角形全等，即可證明．請根據(jù)教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過珵．定理應用：如圖②，在四邊形中，，點E在邊上，平分，平分．（1）求證：．（2）若四邊形的周長為24，，面積為30，求的邊的高的長．【變式訓練4】．平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，、滿足．

圖1

圖2(1)求、兩點的坐標；(2)如圖1，為上一點，連接，過點作交于，若，求點的坐標；(3)如圖2，點、關于軸對稱，為軸上點右側一點，過點作交直線于點，是否存在點，使，若存在，求點的坐標，若不存在，請說明理由．1．已知，△ABC為等邊三角形，點D，E為直線BC上兩動點，且BD=CE．點F，點E關于直線AC成軸對稱，連接AE，順次連接AD，DF，AF．（1）如圖1，若點D、點E在邊BC上，試判斷∠BAD與∠FDC的大小關系，并說明理由；（2）若點D、點E在邊BC所在的直線上如圖（2）所示的位置，（1）中的結論是否還成立，說明理由．2．在平面直角坐標系中，有兩個點，.（1）若、關于軸對稱，則_________________，________________.（2）若、關于軸對稱，則_________________，________________.（3）若、兩點重合，將重合后的點繞原點順時針旋轉，此時點的坐標為__________.3．如圖，在平面直角坐標系中，已知兩點A（3，0），B（0，4），點C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，點P在線段OB上，OP=OA，AP的延長線與CB的延長線交于點M，AB與CP交于點N．（1）點C的坐標為：；（2）求證：BM=BN；（3）設點C關于直線AB的對稱點為D，點C關于直線AP的對稱點為G，求證：D，G關于x軸對稱．4．如圖，的邊與的邊在一條直線上，且點C為的中點，，．(1)求證：；(2)將沿射線方向平移得到，邊與邊的交點為F，連接，若將分為面積相等的兩部分，請用直尺和圓規(guī)作出點F（不寫作法，保留作圖痕跡）．5．一、知識回顧（1）三角形中線性質：三角形的中線能夠把三角形面積分成相等的兩個部分．（2）圖形的平移性質：圖形的平移不改變圖形的形狀和大?。灰粋€圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等．二、知識應用如圖1，把沿著射線方向平移到，線段與交于點．

（1）若，求的度數(shù)．（2）若點為的中點，的面積為8．①求證：點是的中點．②求的面積．三、知識拓展（3）如圖2，把沿著射線方向平移到，線段與交于點，點為的中點，與交于點，若，時，求的面積．6．綜合應用如圖1，直線與x軸交于點B，直線與x軸交于點，交于y軸上一點A．(1)特征探究；求直線的表達式；(2)坐標探究：過的中點D，作交于點E，求E點坐標；(3)規(guī)律探究：將將向左平移m個單位長度得到圖2，與y軸交于點P（點P不與A點和C點重合），在的延長線上取一點Q，使，連接交x軸于M點．請?zhí)骄肯蜃笃揭频倪^程中，線段的長度的變化情況?7．（1）如圖（1），點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，過點E，F(xiàn)分別作，，若，連接交于點G，試問與相等嗎？請說明理由．（2）將圖（1）中的沿方向平移得到圖（2），其余條件不變，則上述結論是否仍然成立？請說明理由．

8．如圖1，，，點C是BD上一點，且，．

(1)試判斷與CE的位置關系，并說明理由．(2)如圖2，若把沿直線BD向左平移，使的頂點C與點B重合，此時AC與BE互相垂直嗎？請說明理由．

專題10全等三角形模型之平移和軸對稱模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2模型一、平移模型 2模型二、軸對稱模型 6壓軸能力測評（8題） 17模型一：平移模型【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.【常見模型】◎模型二：軸對稱模型【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】模型一、平移模型【常見模型】例．將沿方向平移，得到．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求平移的距離．【答案】(1)80°(2)1cm【分析】本題考查圖形的平移：（1）根據(jù)平移的性質，得到，得到，利用三角形的內角和進行求解即可；（2）用，求解即可．【詳解】（1）解：∵平移，∴．∴．∵，∴．（2）∵，∴．∴平移的距離為1cm．【變式訓練1】．如圖（1），已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．（1）求△ABC所掃過的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關系，并說明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的長．【答案】（1）9；（2）BE⊥AF，理由見解析；（3）2．【分析】（1）根據(jù)平移的性質及平行四邊形的性質可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，從而便可得到四邊形CEFB的面積；（2）由已知可證得平行四邊形EFBA為菱形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得到AF與BE的位置關系為垂直；（3）作BD⊥AC于D，結合三角形的面積求解．【詳解】解：（1）由平移的性質得AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC∴四邊形AFBC為平行四邊形S△EFA=S△BAF=S△ABC=3∴四邊形EFBC的面積為9；（2）BE⊥AF證明：由（1）知四邊形AFBC為平行四邊形∴BF∥AC，且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四邊形EFBA為平行四邊形又已知AB=AC∴AB=AE∴平行四邊形EFBA為菱形∴BE⊥AF；（3）如上圖，作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°∴在Rt△BAD中，AB=2BD設BD=x，則AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=AC?BD=?2x?x=x2∴x2=3∵x為正數(shù)

∴x=∴AC=2．【點睛】本題考查全等三角形的判定、菱形的判定與性質、平移的性質等知識，是重要考點，掌握相關知識知識是解題關鍵．【變式訓練2】．（12分）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是BA延長線上的一點，AF=AB，已知△ABE≌△ADF．（1）在圖中，可以通過平移、翻折、旋轉中的哪一種方法，使△ABE變到△ADF的位置；（2）線段BE與DF有什么關系？證明你的結論．【答案】(1)見解析;

【詳解】試題分析：（1）利用正方形的性質得到∠BAD=90°，而△ABE≌△ADF，則利用旋轉的定義可將△ABE繞點A逆時針旋轉90°可得到△ADF；（2）利用全等三角形的性質可得BE=DF，ABE=∠ADF，則利用對頂角相等和三角形內角和可判斷∠DHE=∠EAB=90°，從而得到BE⊥DF．試題解析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°可得到△ADF；（2）BE=DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，而∠AEB=∠DEH，∴∠DHE=∠EAB=90°，∴BE⊥DF．點睛：本題考查旋轉的性質，旋轉變化前后對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.同時考查了正方形和直角三角形的性質.【變式訓練3】．如圖，將三角形ABC沿射線BC平移后能與三角形DEF重合（點B、C分別與點E、F對應），如果BF的長為12，點E在邊BC上，且2＜EC＜4，求邊BC長的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)平移得到兩個三角形全等，再分別求出當EC＝2或EC＝4時BC的值即可得出結論．【詳解】解：∵將ABC沿射線BC平移后與DEF重合，∴，∴BC＝EF，∴BE＝CF，當EC＝2時，BE＝CF＝（12﹣2）＝5，∴BC＝5+2＝7，當EC＝4時，BE＝CF＝（12﹣4）＝4，∴BC＝4+4＝8，∴7＜BC＜8．【點睛】本題考查平移變換，全等三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式訓練4】．如圖，沿BC方向平移到的位置．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求平移的距離．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)平移的性質，得到，再根據(jù)三角形內角和定理即可求解；（2）由平移的性質即可求解．【詳解】（1）解：由平移可知，∴，∴．（2）由平移可知，∴，∴，∴，∴平移的距離BE為3．【點睛】本題主要考查圖形的平移、三角形內角和定理，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．模型二、軸對稱模型【常見模型】例．嘉嘉學習了等腰三角形，知道“等邊對等角”，他想：那么邊不相等時，它們所對的角有什么樣的關系呢？于是他做了如下探索：他剪了一個如圖所示的，其中，然后把紙片折疊，使得與重合，且點B落在延長線上的處，然后利用軸對稱和外角的性質得到三角形中邊角的不等關系．

(1)請你完成證明過程：證明：由軸對稱的性質可以得到∴①（

②

）又∵是的一個外角∴（

③

）∴☆

即（等量代換）∴在中，若，則(2)請用（1）的結論解決問題：在中，若，是邊上的中線，請?zhí)剿骱偷拇笮￡P系，并寫出證明的過程．（溫馨提示：延長到點H，使，連接）

【答案】(1)①，②全等三角形的對應角相等，③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，☆；(2)，見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據(jù)全等三角形性質及三角形外角的性質解答即可；（2）延長到點H，使，連接，先證明，可得，再解答即可．【詳解】（1）證明：由軸對稱的性質可以得到∴（全等三角形的對應角相等）又∵是的一個外角∴（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）∴

即（等量代換）∴在中，若，則故答案為：①，②全等三角形的對應角相等，③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，☆；（2）解：，理由如下：延長到點H，使，連接∵是邊上的中線

∴在和中∴∴∵∴∴∴【變式訓練1】．平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，、滿足．

圖1

圖2(1)求、兩點的坐標；(2)如圖1，為上一點，連接，過點作交于，若，求點的坐標；(3)如圖2，點、關于軸對稱，為軸上點右側一點，過點作交直線于點，是否存在點，使，若存在，求點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)(3)存在，【分析】（1）首先根據(jù)已知條件和非負數(shù)的性質得到a的值，進而得到b的值，也就能寫出A，B的坐標；（2）作出的平分線，通過證得到其對應角相等，再證明解決問題；（3）過N作軸，垂足為P，連接．先證明，得到，由得到，證明即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，；（2）如圖，作的角平分線，交于G，

∴，，∴，∴，∴．∵，，，∴．∴．∴（3）過N作軸，垂足為P，連接．

∵，，∴，由對稱性可得，∴，∴，當，則∴，∵，∴，∵，∴，∴∴∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、非負數(shù)的性質：算術平方根和絕對值，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線AB﹣BC﹣CD向終點D運動，設點P運動的時間為x秒（x＞0），△ABP的面積為y（y＞0），回答下列問題：(1)當點P到和點B重合時，x＝_____；當點P和點C重合時，x＝_____．(2)在點P的運動過程中，△ABP為軸對稱三角形時，求x的值．(3)當4≤x≤12時，寫出y與x的函數(shù)關系式，并寫出對應的自變量的取值范圍．【答案】(1)4；12(2)8或14(3)【分析】（1）當點P與B重合時，P點運動路程為線段AB的長4，速度為每秒1個單位長度，利用時間=路程速度，得到答案；當點P與C重合時，P點運動路程為線段AB+BC的長12，再次利用上述關系式，即得到答案；（2）分類討論：①當P在BC上時，AB=BP，P點運動的路程為AB+BP=8，進而求出時間x的值；②當P在CD上時，AP=BP，P點運動的路程為AB+BC+CP=14，進而求出時間x的值；（3）當x=4時，點P與B重合，A、B、P三點不能組成三角形，不符合題意；當時，A、B、P三點組成的為直角三角形，AB、BP分別為兩條直角邊，故的面積為=2x-8，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式．【詳解】（1）解：當點P與B重合時，P點運動路程為線段AB的長4，所以x=41=4；當點P與C重合時，P點運動路程為線段AB+BC的長12，所以x=121=12，故答案為：4，12；（2）解：分兩種情況：①當P在BC上時，為軸對稱三角形AB=BP=4P點運動的路程為AB+BP=4+4=8x=81=8；②當P在CD上時，為軸對稱三角形AP=BP四邊形ABCD是矩形，AD=BC在Rt和Rt中，=CP==2AB+BC+CP=4+8+2=14x=141=14綜上所述：當x為8或14時，為軸對稱三角形．（3）解：當x=4時，點P與B重合，A、B、P三點不能組成三角形，不符合題意；當時，的面積為=2x-8，y=2x-8()【點睛】本題考查了軸對稱圖形、三角形全等的判定、一次函數(shù)等知識，運用了分類討論思想和動點思想，其中會用代數(shù)式表示線段長度是解題的關鍵．【變式訓練3】．教材呈現(xiàn)：如圖是某版八年級上冊數(shù)學教材第96頁的部分角平分線回憶我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖，角平分線所在的直線是角的對稱軸，如圖，是的角平分線，P是上的任意一點，作，，垂足分別為點D和點E，將沿對折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此即有角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距相等．已知：如圖，是的平分線，點P是上的任意一點，，，垂直分別為D和點E．求證：．請寫出定理的證明過程分析：圖中有兩個直角三角形和只要證明這兩個三角形全等，即可證明．請根據(jù)教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過珵．定理應用：如圖②，在四邊形中，，點E在邊上，平分，平分．（1）求證：．（2）若四邊形的周長為24，，面積為30，求的邊的高的長．【答案】教材呈現(xiàn)：定理證明見解析；定理應用：（1）證明見解析；（2）的邊的高的長為3．【分析】教材呈現(xiàn)：證明△POD≌△POE（AAS），即可得出PD=PE；（1）由角平分線的性質定理，通過作輔助線構造全等三角形，通過證明三角形全等，得出BE=EC；（2）證明Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），得出AF=AG，同理DG=DH，由（1）得出△BEF≌△CEH，得出BF=CH，設BF=CH=x，AF=AG=y，DG=DH=z，由四邊形ABCD的周長得出x+y+z=10，由四邊形ABCD的面積得出(x+y+z)?EF=30，求出EF=3即可．【詳解】教材呈現(xiàn)：角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；已知：是的平分線，點P是上的任意一點，，，垂足分別是點D和E；求證：；證明：∵是的平分線，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；定理應用：（1）證明：過E作于F，于G，于H，∵平分，平分，∴，在與中，，∴，∴；（2）解：由（1）得：，在和中，，∴，∴，同理：，由（1）得：，∴，設，，，∵四邊形的周長為24，，∴，∴，∵四邊形的面積為30，∴，整理得：，即，∴，即的邊的高的長為3．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理，全等三角形的判定與性質等知識；構造全等三角形是解題的關鍵，【變式訓練4】．平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，、滿足．

圖1

圖2(1)求、兩點的坐標；(2)如圖1，為上一點，連接，過點作交于，若，求點的坐標；(3)如圖2，點、關于軸對稱，為軸上點右側一點，過點作交直線于點，是否存在點，使，若存在，求點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)(3)存在，【分析】本題考查了坐標與圖形的性質，全等三角形的判定與性質、非負數(shù)的性質：算術平方根．（1）首先根據(jù)已知條件和非負數(shù)的性質得到a的值，進而得到b的值，也就能寫出A，B的坐標；（2）作出的平分線，通過證得到其對應角相等，再證明解決問題；（3）過N作軸，垂足為P，連接．先證明，得到，由得到，證明即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，；（2）如圖，作的角平分線，交于G，

∴，，∴，∴，∴．∵，，，∴．∴．∴（3）過N作軸，垂足為P，連接．

∵，，∴，由對稱性可得，∴，∴，當，則∴，∵，∴，∵，∴，∴∴∴．1．已知，△ABC為等邊三角形，點D，E為直線BC上兩動點，且BD=CE．點F，點E關于直線AC成軸對稱，連接AE，順次連接AD，DF，AF．（1）如圖1，若點D、點E在邊BC上，試判斷∠BAD與∠FDC的大小關系，并說明理由；（2）若點D、點E在邊BC所在的直線上如圖（2）所示的位置，（1）中的結論是否還成立，說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）成立，，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質與判定和全等三角形的判定和性質解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質以及等邊三角形的判定解答即可．【詳解】（1），理由如下：∵為等邊三角形，∴，∵，∴∴，，∵點，點關于直線成軸對稱，∴，，∴，，∵，∴，，∴為等邊三角形；∴∵又∵∴（2）∵理由：為等邊三角形，∴，，∴∵∴∴，，∵點，點關于直線成軸對稱，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了等邊三角形、全等三角形的判定和性質，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定得出△ABD≌△ACE．2．在平面直角坐標系中，有兩個點，.（1）若、關于軸對稱，則_________________，________________.（2）若、關于軸對稱，則_________________，________________.（3）若、兩點重合，將重合后的點繞原點順時針旋轉，此時點的坐標為__________.【答案】（1）；；（2）；；（3）【分析】（1）根據(jù)關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得答案；（2）根據(jù)關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變可得答案；（3）根據(jù)旋轉的性質，構造全等三角形求出邊長可得答案.【詳解】解：（1）∵點A、B關于x軸對稱，縱坐標互為相反數(shù)∴x1=2，y2=5；（2）∵點A、B關于y軸對稱，橫坐標互為相反數(shù)∴x1=-2，y2=5；（3）∵、兩點重合，∴坐標合并為（2，-5），如圖，將點A繞原點順時針旋轉得到點A′，分別作點A和A′到x軸的垂線于點E、F，由旋轉的性質可知A′O=AO，由同角的余角相等可知：∠A′OF=∠A，在△AEO和△OFA′中，，∴△AEO≌△OFA′，∴OE=A′F，AE=OF，∴點A′的坐標為.【點睛】此題主要考查了關于x、y軸對稱，關于原點對稱的點的坐標，全等三角形的判定和性質，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律，構造輔助線求出點的坐標.3．如圖，在平面直角坐標系中，已知兩點A（3，0），B（0，4），點C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，點P在線段OB上，OP=OA，AP的延長線與CB的延長線交于點M，AB與CP交于點N．（1）點C的坐標為：；（2）求證：BM=BN；（3）設點C關于直線AB的對稱點為D，點C關于直線AP的對稱點為G，求證：D，G關于x軸對稱．【答案】（1）（4,7）（2）見解析（3）見解析【分析】（1）過點C作CE⊥y軸于點E，根據(jù)AAS證明△AOB≌△BEC，根據(jù)全等三角形的性質即可得到點C的坐標；（2）根據(jù)全等三角形的性質和等量替換可得∠1=∠2，根據(jù)ASA證明△ABM≌△CBN，即可證得BM=BN；（3）根據(jù)SAS證明△DAH≌△GAH，根據(jù)全等三角形的性質即可求解.【詳解】（1）過點C作CE⊥y軸于點E，故∠BEC=90°，∴∠BEC=∠AOB，∴∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBE=∠BAO∴△AOB≌△BEC（AAS）∴CE=OB=4，BE=OA=3，∴OE=OB+BE=7，∴C點坐標為（4,7）（2）∵△AOB≌△BEC∴BE=OA=OP,CE=BO，∴PE=OB=CE，∴∠EPC=45°，∠APC=90°，∴∠1=∠2，∴△ABM≌△CBN（ASA）∴BM=BN,（3）點C關于直線AB的對稱點為D，點C關于直線AP的對稱點為G，∴AD=AC,AG=AC,∴AD=AG,∵∠1=∠5，∠1=∠6，∴∠5=∠6，在△DAH與△GAH中∴△DAH≌△GAH（SAS）∴D，G關于x軸對稱．【點睛】此題主要考查幾何的綜合變換，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質.4．如圖，的邊與的邊在一條直線上，且點C為的中點，，．(1)求證：；(2)將沿射線方向平移得到，邊與邊的交點為F，連接，若將分為面積相等的兩部分，請用直尺和圓規(guī)作出點F（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查尺規(guī)作圖，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）作的垂直平分線交于點，連接即為所求(方法不唯一)．【詳解】（1）證明：∵點為的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：作的垂直平分線交于點，點即為所求．故點是中點，∴是中線，∴．5．一、知識回顧（1）三角形中線性質：三角形的中線能夠把三角形面積分成相等的兩個部分．（2）圖形的平移性質：圖形的平移不改變圖形的形狀和大??；一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等．二、知識應用如圖1，把沿著射線方向平移到，線段與交于點．

（1）若，求的度數(shù)．（2）若點為的中點，的面積為8．①求證：點是的中點．②求的面積．三、知識拓展（3）如圖2，把沿著射線方向平移到，線段與交于點，點為的中點，與交于點，若，時，求的面積．【答案】（1）；（2）①見解析；②2；（3）28【分析】（1）根據(jù)平移的性質可得，，再根據(jù)三角形內角和定理即可求解；（2）①由平移可知，根據(jù)題意可證，可得，由此即可求證；②是中點，是中點，根據(jù)中線的性質可得，，由此即可求解；（3）連結，根據(jù)為中點，結合中位線的性質可得，，根據(jù)，可得，由即可求解．【詳解】解：（1）由平移可得，，，；（2）①證明：連結，由平移可知，，

，，，，，，即點是中點；②連結，

是中點，，是中點，，；（3）連結，

∵為中點，，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查圖形平移的性質，三角形中線的性質，平行線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理等知識的綜合，掌握圖形平移的性質，中線的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．6．綜合應用如圖1，直線與x軸交于點B，直線與x軸交于點，