初中數(shù)學同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題17角平分線模型的七種類型含答案及解析

專題17角平分線模型的七種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、雙內(nèi)角平分線模型 3類型二、內(nèi)外角平分線模型 5類型三、雙外角平分線模型 6類型四、翻折折痕為角平分線模型 7類型五、雙垂型 9類型六、全等型 11類型七、平行型 12壓軸能力測評 141角的平分線的性質角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.2角平分線的作法①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

③畫射線OC.即射線OC即為所求.3角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

角平分線模型1.雙垂型通過角平分線上一點作角平分線的垂線，與角的兩邊相交于兩點，從而在角平線兩側出現(xiàn)全等三角。雙垂型的幾何模型：單垂直單垂直的幾何模型圖3.全等型根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可知，角兩邊上有以角的頂點為端點的兩條相等的線段時，則連接這兩條線段的另一個端點與角平分線上的任何一點，可在角平線兩側出現(xiàn)全等三角形。全等型的幾何模型：4.平行型等腰三角形知識:等邊對等角，等角對等邊。平行型的幾何模型：類型一、雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結論】∠P=90°+∠A.例．如圖，、都是的角平分線，且，則（

）A． B． C． D．【變式訓練1】．如圖，在中，，點是、角平分線的交點，點是、角平分線的交點，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓練2】．如圖，在中，，和的平分線交于一點O，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓練3】．如圖，在中，與的角平分線交于點D，且、，則與的數(shù)量關系可表示為（

）A． B．C． D．類型二、內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結論】∠A=∠P.例．如圖，在中，是的平分線，是外角的平分線，與相交于點，若，則是（

）A． B． C． D．【變式訓練1】．如圖，是的外角的平分線，若，，則等于（

）A． B． C． D．【變式訓練2】．如圖△ABC，BD平分∠ABC且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度數(shù)為（）A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能確定【變式訓練3】．如圖，在中，，，平分，平分的外角，則（

）A． B． C． D．類型三、雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結論】∠P=90°-∠A.例．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP的度數(shù)是（

）A．30°； B．40°； C．50°； D．60°.【變式訓練1】．如圖，的外角和外角的平分線交于點，已知，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式訓練2】．如圖，，分別是的外角，的角平分線；，分別是，的角平分線；，分別是，的角平分線．當（）時，．A．45° B．50° C．60° D．120°【變式訓練3】．如圖，、是ΔABC的外角角平分線，若，則的大小為（

）A． B． C． D．類型四、翻折折痕為角平分線模型例．如圖，將沿、翻折，頂點A，B均落在點O處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓練1】．如圖1，中，點E和點F分別為上的點，把紙片沿折疊，使得點A落在的外部處，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓練2】．如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓練3】．如圖，在中，，，是線段上一個動點，連接，把沿折疊，點落在同一平面內(nèi)的點處，當平行于邊時，的大小為（

）A． B． C． D．類型五、雙垂型口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。例．如圖所示，，P是的中點，且平分，連接．(1)試說明平分；(2)線段與有怎樣的位置關系?請說明理由．【變式訓練1】．如圖，四邊形中，，點為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)猜想、與的關系，并說明理由．【變式訓練2】．如圖，是AD中點，平分．

(1)若，求證：CE平分．(2)若，求證：．【變式訓練3】．如圖，是的角平分線，于點F，點E是邊上一點，連接，．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的面積．類型六、全等型口訣：圖中有角平分線，構造全等三角形。例．如圖，在中，，，分別是邊，上一點，連接AD，DE，過點作于點F．已知，．求證：(1)點在的平分線上；(2)．【變式訓練1】．如圖，于E，于F，若，平分；(1)求證：；(2)已知，，，求四邊形的面積．【變式訓練2】．如圖，是平分線上的一點，若．試說明：．

【變式訓練3】．如圖1，直線，平分，過點B作交于點C；動點E、D同時從A點出發(fā)，其中動點E以的速度沿射線方向運動，動點D以的速度運動；已知，設動點D，E的運動時間為t．(1)當點D沿射線方向運動，滿足，試求運動時間t的值；（提示：過點B作，垂足為F）(2)當點D在射線或射線的反向延長線上運動時，是否存在某個時間t，使得與全等？若存在，請求出時間的值；若不存在，請說出理由．類型七、平行型口訣：圖中有角平分線，構造平行線，等腰三角形會出現(xiàn)。例．如圖，在中，，D是邊的中點，連接AD，平分交于點E．(1)若，求的度數(shù)；(2)過點E作交AB于點F，求證：是等腰三角形．【變式訓練1】．如圖，在中，平分平分，過點O作的平行線分別交于點M、N．(1)求證：；(2)若，求的周長．【變式訓練2】．如圖，在中，平分，平分，過O且平行于，已知的周長為，的長為，求的周長．【變式訓練3】．（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點，過O點作交，于點E，F(xiàn)．圖中有個等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關系，并說明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個等腰三角形；與，間的關系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點O，過點O作交于E，交于F．圖中有個等腰三角形．與，間的數(shù)量關系是．1．如圖，在中，為的角平分線，為的高，與相交于點F，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，∠AEC等于（）

A．56° B．66° C．76° D．無法確定3．如圖，在中，，分別平分，且，分別平分的外角，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，點D在上，將沿折疊，使A點落在邊上的E點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．在三角形紙片中，，現(xiàn)將紙片的一角對折，使點落在內(nèi)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，則∠E的度數(shù)為．

7．在數(shù)學學習過程中，對有些具有特殊結構，且結論又具有一般性的數(shù)學問題我們常將其作為一個數(shù)學模型加以識記，以積累和豐富自己的問題解決經(jīng)驗．【結論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結論探究】(1)如圖1，在△ABC中，點E是△ABC內(nèi)角∠ACB平分線CE與外角∠ABD的平分線BE的交點，則有∠E=∠A請給出證明過程．請直接應用上面的“結論發(fā)現(xiàn)”解決下列問題：【簡單應用】(2)如圖2，在△ABC中，∠ABC=40°．延長BA至G，延長AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長線交于E、F，求∠F的度數(shù)；【變式拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD的內(nèi)角∠BCD與外角∠ABG的平分線形成如圖所示形狀．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度數(shù)；②直接寫出∠E+∠F與∠A+∠D的關系．8．在中，已知，，現(xiàn)把沿進行不同的折疊得，對折疊后產(chǎn)生的夾角進行探究：(1)如圖（1）把沿折疊在四邊形內(nèi)，則求的和；(2)如圖（2）把沿折疊覆蓋，則求的和；(3)如圖（3）把沿斜向上折疊，探求、、的關系．9．（1）如圖①，是等邊三角形，分別是的平分線，相交于點F，則線段與之間的數(shù)量關系是自主學習事實上，在解決幾何線段相等問題中，當條件中遇到角平分線時，經(jīng)常采用下面構造全等三角形的解決思路如：在圖②中，若C是的平分線上一點，點A在上，此時，在上截取，連接，根據(jù)三角形全等判定，容易構造出全等三角形和，從而得到線段與相等學以致用參考上述學到的知識，解答下列問題：（2）如圖③，不是等邊三角形，但，分別的平分線，相交于點F，求證：．

10．（1）性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，如圖1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，則PB_______PC（填“”“”或“=”）；（2）探索：如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則，請幫小明說明原因．（3）應用：如圖3，在小區(qū)三條交叉的道路AB，BC，CA上各建一個菜鳥驛站D，P，E，工作人員每天來回的路徑為P→D→E→P，①問點P應選在BC的何處時，才能使PD+DE+PE最??？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，則PD+DE+PE的最小值是多少？

專題17角平分線模型的七種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、雙內(nèi)角平分線模型 3類型二、內(nèi)外角平分線模型 6類型三、雙外角平分線模型 9類型四、翻折折痕為角平分線模型 13類型五、雙垂型 16類型六、全等型 23類型七、平行型 28壓軸能力測評 331角的平分線的性質角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.2角平分線的作法①以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

③畫射線OC.即射線OC即為所求.3角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

角平分線模型1.雙垂型通過角平分線上一點作角平分線的垂線，與角的兩邊相交于兩點，從而在角平線兩側出現(xiàn)全等三角。雙垂型的幾何模型：單垂直單垂直的幾何模型圖3.全等型根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可知，角兩邊上有以角的頂點為端點的兩條相等的線段時，則連接這兩條線段的另一個端點與角平分線上的任何一點，可在角平線兩側出現(xiàn)全等三角形。全等型的幾何模型：4.平行型等腰三角形知識:等邊對等角，等角對等邊。平行型的幾何模型：類型一、雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結論】∠P=90°+∠A.例．如圖，、都是的角平分線，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，用已知角表示出所求的角是解題的關鍵．設，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，列出算式計算即可．【詳解】解：設，，∵、都是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴．故選：B．【變式訓練1】．如圖，在中，，點是、角平分線的交點，點是、角平分線的交點，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識；設，，由，推出，推出，推出，可得，由此即可解決問題．【詳解】解：設，，，，，，平分，，，．故選：C．【變式訓練2】．如圖，在中，，和的平分線交于一點O，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線定義，三角形內(nèi)角和，解題的關鍵是熟練掌握并運用相關知識．根據(jù)，可求得的值，再根據(jù)角平分線定義，可求得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，和的平分線交于一點O，，，故選：C．【變式訓練3】．如圖，在中，與的角平分線交于點D，且、，則與的數(shù)量關系可表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線定義，三角形內(nèi)角和，掌握這兩個知識點是關鍵；由角平分線定義及三角形內(nèi)角和得．再由、及三角形內(nèi)角和即可求得與的數(shù)量關系．【詳解】解：分別是與的角平分線，，，．、，；，，，整理得：．故選：D．類型二、內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結論】∠A=∠P.例．如圖，在中，是的平分線，是外角的平分線，與相交于點，若，則是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】∠DCM=∠D+∠DBC，∠ACM=∠A+∠ABC，再結合角平分線，得到∠A=2∠D即可．【詳解】解：∵是的平分線，∴∠ABC=2∠DBC，同理，∠ACM=2∠DCM，∵∠ACM=∠A+∠ABC，∴2∠DCM=∠A+2∠DBC∵∠DCM=∠D+∠DBC，∴∠A=2∠D，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線性質和三角形外角的性質，解題關鍵是利用外角的性質和角平分線性質得到∠A與∠D的關系．【變式訓練1】．如圖，是的外角的平分線，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線得到，即可求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和計算即可；【詳解】∵是的外角的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查角的求解，準確利用角平分線和三角形內(nèi)角和是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖△ABC，BD平分∠ABC且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度數(shù)為（）A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能確定【答案】C【分析】由角平分線分別求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠D.【詳解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABC=m°∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°又∵CD平分∠ACE∴∠ACD=∠ACE=在△BCD中，∠DBC=m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=，∴∠D=故選C.【點睛】本題考查三角形中的角度計算，熟練運用三角形內(nèi)角和定理是關鍵.【變式訓練3】．如圖，在中，，，平分，平分的外角，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由角平分線的定義可得∠EBD和∠ECD的度數(shù)，利用三角形外角性質即可求出∠E的度數(shù).【詳解】∵，，平分，平分的外角，∴∠EBD=20°，∠ECD=38°，∵∠ECD=∠EBD+∠E，∴∠E=18°，故選D.【點睛】本題考查角平分線的定義及三角形外角的性質，三角形的一個外角，等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；熟練掌握相關定義和性質是解題關鍵.類型三、雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結論】∠P=90°-∠A.例．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP的度數(shù)是（

）A．30°； B．40°； C．50°； D．60°.【答案】C【詳解】過點P作PE⊥BD于點E，PF⊥BA于點F，PH⊥AC于點H，∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴PE=PH，PE=PF，∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，∴PH=PF，∴點P在∠CAF的角平分線上，∴AP平分∠FAC，∴∠CAP=∠CAF.∵∠PCD=∠BPC+∠PBC，∴∠ACD=2∠BPC+2∠PBC，又∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=2∠PBC，∠BPC=40°，∴∠ABC+∠BAC=∠ABC+80°，∴∠BAC=80°，∴∠CAF=180°-80°=100°，∴∠CAP=100°×=50°.故選C.點睛：過點P向△ABC三邊所在直線作出垂線段，這樣綜合應用“角平分線的性質與判定”及“三角形外角的性質”即可結合已知條件求得∠CAP的度數(shù).【變式訓練1】．如圖，的外角和外角的平分線交于點，已知，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分別是的外角和外角的平分線，得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)∠，，得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和，得出．【詳解】∵，∴，∵和的平分線交于點，∴，，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，鄰補角的有關計算，解題的關鍵是根據(jù)角平分線和鄰補角的定義求出．【變式訓練2】．如圖，，分別是的外角，的角平分線；，分別是，的角平分線；，分別是，的角平分線．當（）時，．A．45° B．50° C．60° D．120°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平角為可得，從而得出，同理可得，然后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補得出，代入整理得出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】，分別是的外角，的角平分線，，分別是，的角平分線，同理，由于、分別是、的角平分線，假設，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得即整理得，故選C．【點睛】本題考查了角平分線的有關計算、平行線的性質、三角形內(nèi)角和，根據(jù)給出的角平分線得出和的關系是解題的關鍵．【變式訓練3】．如圖，、是ΔABC的外角角平分線，若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和與∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根據(jù)角平分線的性質得出∠ABC和∠ACB的外角和，進而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.【詳解】∵∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°∵、是ΔABC的外角角平分線∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°故選：B.【點睛】此題主要考查角平分線以及三角形內(nèi)角和的運用，熟練掌握，即可解題.類型四、翻折折痕為角平分線模型例．如圖，將沿、翻折，頂點A，B均落在點O處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理；由折疊的性質可得，，可得，由三角形內(nèi)角和定理可得，即可求的度數(shù)．【詳解】解：將沿，翻折，頂點，均落在點處，，，，，，，，，故選：A．【變式訓練1】．如圖1，中，點E和點F分別為上的點，把紙片沿折疊，使得點A落在的外部處，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查折疊，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊的性質，結合角的和差關系求出，，再利用三角形的內(nèi)角和定理，進行求解即可．【詳解】解：由折疊得，∵，且∠1=100°，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，故選：B．【變式訓練2】．如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，圖形的折疊問題．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得的度數(shù)，從而得到，再由折疊的性質，可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，由折疊的性質得：，∴．故選：C【變式訓練3】．如圖，在中，，，是線段上一個動點，連接，把沿折疊，點落在同一平面內(nèi)的點處，當平行于邊時，的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），平行線的性質，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)平行線的性質，折疊的性質計算求解即可．【詳解】解：如圖，∵，，，由折疊的性質可得，；，故選：D．類型五、雙垂型口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。例．如圖所示，，P是的中點，且平分，連接．(1)試說明平分；(2)線段與有怎樣的位置關系?請說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】本題主要考查角平分線的性質定理和它的逆定理．根據(jù)題意正確作出輔助線是解答本題的關鍵．（1）由題意過點作，垂足為E，先求出，再求出，從而證明平分；（2）根據(jù)題意利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得，從而求證兩直線垂直．【詳解】（1）證明：過點作，垂足為E，如圖所示：∵平分，∴，∵，，∴（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），又∵是中點，∴，∴，∵，，∴平分；（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．（2）解：，理由如下：∵，∴，，∴（垂直于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），又∵，（角平分線定義），∴，∴，∴，即．【變式訓練1】．如圖，四邊形中，，點為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)猜想、與的關系，并說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)，理由見解析【分析】本題考查了角平分線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、垂線的定義，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．（1）過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可；（2）利用，證明，根據(jù)全等三角形對應角相等，可得，同理可得，然后求出，再根據(jù)垂直的定義即可證明；（3）根據(jù)全等三角形對應邊相等，可得，，然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關系，即可得出結論．【詳解】（1）證明：如圖，過點作于，又∵，平分，∴，∵點為的中點，∴，∴，又∵，∴平分；（2）證明：在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴．【變式訓練2】．如圖，是AD中點，平分．

(1)若，求證：CE平分．(2)若，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質，靈活做輔助線是解題的關鍵．（1）過點E作，垂足為H，根據(jù)角平分線性質可得，再由角平分線判定即可得出結論；（2）在上截取，連接．先證明可得，再證可得即可證明結論．【詳解】（1）證明：過點E作，垂足為H，

∵平分，，∴，又∵是AB中點，即，∴，∵，，∴：CE平分．（2）解：如圖：在上截取，連接．

平分，．在和中，，，．是的中點，．又，，，，在和中．，，，∴【變式訓練3】．如圖，是的角平分線，于點F，點E是邊上一點，連接，．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)3【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質：（1）由三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)角平分線的性質可得，由三角形外角的性質即可求得的度數(shù)；（2）過點D作于點G，由角平分線的性質可得，進而根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：，，，是的角平分線，，；（2）解：如圖，過點D作于點G，

是的角平分線，，，的面積為．類型六、全等型口訣：圖中有角平分線，構造全等三角形。例．如圖，在中，，，分別是邊，上一點，連接AD，DE，過點作于點F．已知，．求證：(1)點在的平分線上；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質和角平分線的性質，關鍵是根據(jù)證明直角三角形的全等解答．（1）利用證明，可得，根據(jù)，，即可得結論；（2）根據(jù)證明，可得，然后利用線段的和差即可解決問題．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，，，，點在的平分線上；（2）證明：在和中，，，，，，．【變式訓練1】．如圖，于E，于F，若，平分；(1)求證：；(2)已知，，，求四邊形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)128【分析】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的性質與判定：（1）根據(jù)角平分線的性質得出，再由直角三角形全等的判定和性質即可證明；（2）先求出，，再由全等三角形的性質得到，證明，得到，則，即可得到．【詳解】（1）證明：∵于E，于F，平分，∴，，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，，∵，∴∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴∴，∴．．【變式訓練2】．如圖，是平分線上的一點，若．試說明：．

【答案】證明見解析【分析】本題考查了角平分線的性質，補角性質，全等三角形的判定和性質，過點分別作于點，于點，由角平分線的性質可得，由補角性質可得，進而可證明，即可求證，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．【詳解】證明：如圖，過點分別作于點，于點，

則，∵是的平分線，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【變式訓練3】．如圖1，直線，平分，過點B作交于點C；動點E、D同時從A點出發(fā)，其中動點E以的速度沿射線方向運動，動點D以的速度運動；已知，設動點D，E的運動時間為t．(1)當點D沿射線方向運動，滿足，試求運動時間t的值；（提示：過點B作，垂足為F）(2)當點D在射線或射線的反向延長線上運動時，是否存在某個時間t，使得與全等？若存在，請求出時間的值；若不存在，請說出理由．【答案】(1)的值為或．(2)存在，的值為或．【分析】（1）過點B作交于點，交于點，由角平分線的性質定理可知，再利用三角形面積公式，得出，由題意可知，，，分兩種情況討論：①當點在線段上時；②當點在的延長線上時，分別表示出的長，求解即可；（2）證明是等腰直角三角形，得出，，分兩種情況討論：①當點D在射線上運動時，點在線段；②當點D在射線的反向延長線上運動時，點在的延長線上，根據(jù)全等三角形的判定定理，得出時滿足全等，分別求出的值即可．【詳解】（1）解：如圖，過點B作交于點，交于點，平分，，，，，由題意可知，，，①當點在線段上時，此時，；②當點在的延長線上時，此時，，，綜上可知，當?shù)闹禐榛驎r，滿足；（2）解：存在，理由如下：，平分，，，是等腰直角三角形，，，由題意可知，，，①當點D在射線上運動時，若點在的延長線上時，則中沒有的角，不存在全等，點在線段，此時，，，當時，，，；②當點D在射線的反向延長線上運動時，，，若點在線段上時，則中沒有的角，不存在全等，點在的延長線上，此時，，，當時，，，，即存在某個時間t，使得與全等，的值為或．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理，等腰直角三角形的判定和性質，一元一次方程的應用，全等三角形的判定等知識，利用數(shù)形結合和分類討論的思想解決問題是解題關鍵．類型七、平行型口訣：圖中有角平分線，構造平行線，等腰三角形會出現(xiàn)。例．如圖，在中，，D是邊的中點，連接AD，平分交于點E．(1)若，求的度數(shù)；(2)過點E作交AB于點F，求證：是等腰三角形．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質、平行線的性質以及角平分的性質，根據(jù)等腰三角形的性質得，，則有；根據(jù)角平分的性質得．由平行線的性質得．則，有，即可說明是等腰三角形．【詳解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∵，D為的中點，∴，∴．∴；（2）證明：∵平分，∴．又∵，∴．∴．∴，∴是等腰三角形．【變式訓練1】．如圖，在中，平分平分，過點O作的平行線分別交于點M、N．(1)求證：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)18【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義，平行線的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵，用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角更形象直觀．（1）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，然后求出，再根據(jù)等角對等邊可得；（2）同理可得，從而確定出等腰三角形，再求出的周長，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【詳解】（1）證明：平分，，，，，；（2）解：由（1）知，，平分，，，，，，的周長，，，，，，的周長．【變式訓練2】．如圖，在中，平分，平分，過O且平行于，已知的周長為，的長為，求的周長．【答案】的周長是．【分析】此題考查了等腰三角形的性質與判定．由平分，平分，過點O作，易得與是等腰三角形，又由的周長為，可得，又由長為，即可求得的周長．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∵的周長為，∴，∵長為，∴（），∴的周長是．【變式訓練3】．（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點，過O點作交，于點E，F(xiàn)．圖中有個等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關系，并說明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個等腰三角形；與，間的關系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點O，過點O作交于E，交于F．圖中有個等腰三角形．與，間的數(shù)量關系是．【答案】（1）2，，理由見解析．（2）5，（3）2，【分析】（1）本題考查平行線性質、角平分線性質、等腰三角形的性質和判定，根據(jù)角平分線性質和平行線性質得到角相等，再進行等量代換得到，，再利用等角對等邊，得到，，即可解題．（2）本題考查平行線性質、角平分線性質、等腰三角形的性質和判定，根據(jù)角平分線性質和平行線性質，再進行等量代換得到、、、，再利用等角對等邊，得到對應線段相等，即可解題．（3）本題解法與（1）類似．【詳解】（1）解：，理由如下：，的平分線交于O點，，，

，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個等腰三角形．．故答案為：2．（2）解：，即為等腰三角形，，，的平分線交于O點，，，即為等腰三角形，，，，，，，，即為等腰三角形，，，和為等腰三角形，．綜上所述，共有5個等腰三角形，故答案為：5，．（3）解：的角平分線與外角的角平分線交于點O，，，，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個等腰三角形．．故答案為：2，．1．如圖，在中，為的角平分線，為的高，與相交于點F，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的高等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．由三角形的內(nèi)角和可求得，再由角平分線求得，再結合是高，從而可求的度數(shù)，由對頂角相等可得，即得解．【詳解】解：，，，平分，，，，，，故選：D2．如圖，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，∠AEC等于（）

A．56° B．66° C．76° D．無法確定【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=114°；最后在△AEC中利用三角形內(nèi)角和定理可以求得∠AEC的度數(shù)．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B=48°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠DAC+∠ACF=114°∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66°．故選B．

3．如圖，在中，，分別平分，且，分別平分的外角，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，分別平分，分別平分的外角，可求出，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，∵，分別平分，分別平分的外角，∴，，，，∴，同理，，在四邊形中，，，∴，故選：．【點睛】本題主要考查角平分線，四邊形內(nèi)角和定理的綜合，理解并掌握角平分線的性質，四邊形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．4．如圖，在中，，點D在上，將沿折疊，使A點落在邊上的E點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查與折疊有關的三角形的內(nèi)角問題，先求出的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質，結合三角形的內(nèi)角和定理進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵折疊，∴，∴；故選B．5．在三角形紙片中，，現(xiàn)將紙片的一角對折，使點落在內(nèi)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要是考查了三角形、四邊形內(nèi)角和的運用．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是”這一隱含的條件．首先根據(jù)已知求得：，則可求得的度數(shù)，在中利用內(nèi)角和定理，即可求得與的和，又由四邊形的內(nèi)角和為，求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，，，三角形內(nèi)角和定理，在中，則，，，，在四邊形中，，即，，故．故選B．6．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，則∠E的度數(shù)為．

【答案】25°【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根據(jù)三角形外角性質得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【詳解】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案為：25°．【點睛】本題考查的是三角形外角的性質，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關鍵．7．在數(shù)學學習過程中，對有些具有特殊結構，且結論又具有一般性的數(shù)學問題我們常將其作為一個數(shù)學模型加以識記，以積累和豐富自己的問題解決經(jīng)驗．【結論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結論探究】(1)如圖1，在△ABC中，點E是△ABC內(nèi)角∠ACB平分線CE與外角∠ABD的平分線BE的交點，則有∠E=∠A請給出證明過程．請直接應用上面的“結論發(fā)現(xiàn)”解決下列問題：【簡單應用】(2)如圖2，在△ABC中，∠ABC=40°．延長BA至G，延長AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長線交于E、F，求∠F的度數(shù)；【變式拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD的內(nèi)角∠BCD與外角∠ABG的平分線形成如圖所示形狀．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度數(shù)；②直接寫出∠E+∠F與∠A+∠D的關系．【答案】(1)見解析(2)70°(3)①205°

②【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質及角平分線的定義，即可得到答案（2）先推導出,再推導出，進而可以求解（3）①延長BA，CD交于點M，延長CE、BF交于點N，可得，進而即可求解；②根據(jù)，結合角平分線的意義及三角形內(nèi)角和定理，即可得到結論【詳解】（1）解：又因為在中，同理可得：又因為BE和CE分別是和的角平分線即（2）解：∵∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長線交于E、F，（3）解：①延長BA，CD交于點M，延長CE、BF交于點N，如下圖所示，∵BF、CE平分②又即：【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質，是解題關鍵．8．在中，已知，，現(xiàn)把沿進行不同的折疊得，對折疊后產(chǎn)生的夾角進行探究：(1)如圖（1）把沿折疊在四邊形內(nèi)，則求的和；(2)如圖（2）把沿折疊覆蓋，則求的和；(3)如圖（3）把沿斜向上折疊，探求、、的關系．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查折疊性質，三角形內(nèi)角和定理，解答此題時要充分利用折疊部分折疊前后形成的圖形為全等形的性質，并且解答該題時要充分利用三角形的性質．（1）根據(jù)折疊前后的圖象全等可知，，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；（2）連接，將作為一個整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求；（3）將看作，看作，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解，即可解題．【詳解】（1）解：由折疊性質可知：，，，；（2）解：連接，由折疊性質可知：，，；（3）解：，所以：．9．（1）如圖①，是等