初中數(shù)學(xué)同步八年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題17角平分線模型的七種類型含答案及解析

專題17角平分線模型的七種類型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類型一、雙內(nèi)角平分線模型 3類型二、內(nèi)外角平分線模型 5類型三、雙外角平分線模型 6類型四、翻折折痕為角平分線模型 7類型五、雙垂型 9類型六、全等型 11類型七、平行型 12壓軸能力測(cè)評(píng) 141角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.2角平分線的作法①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

③畫(huà)射線OC.即射線OC即為所求.3角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

角平分線模型1.雙垂型通過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角平分線的垂線，與角的兩邊相交于兩點(diǎn)，從而在角平線兩側(cè)出現(xiàn)全等三角。雙垂型的幾何模型：?jiǎn)未怪眴未怪钡膸缀文Ｐ蛨D3.全等型根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可知，角兩邊上有以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的兩條相等的線段時(shí)，則連接這兩條線段的另一個(gè)端點(diǎn)與角平分線上的任何一點(diǎn)，可在角平線兩側(cè)出現(xiàn)全等三角形。全等型的幾何模型：4.平行型等腰三角形知識(shí):等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊。平行型的幾何模型：類型一、雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.例．如圖，、都是的角平分線，且，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，點(diǎn)是、角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)是、角平分線的交點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，和的平分線交于一點(diǎn)O，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，與的角平分線交于點(diǎn)D，且、，則與的數(shù)量關(guān)系可表示為（

）A． B．C． D．類型二、內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結(jié)論】∠A=∠P.例．如圖，在中，是的平分線，是外角的平分線，與相交于點(diǎn)，若，則是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，是的外角的平分線，若，，則等于（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】．如圖△ABC，BD平分∠ABC且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點(diǎn)D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度數(shù)為（）A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能確定【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，，平分，平分的外角，則（

）A． B． C． D．類型三、雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.例．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP的度數(shù)是（

）A．30°； B．40°； C．50°； D．60°.【變式訓(xùn)練1】．如圖，的外角和外角的平分線交于點(diǎn)，已知，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，，分別是的外角，的角平分線；，分別是，的角平分線；，分別是，的角平分線．當(dāng)（）時(shí)，．A．45° B．50° C．60° D．120°【變式訓(xùn)練3】．如圖，、是ΔABC的外角角平分線，若，則的大小為（

）A． B． C． D．類型四、翻折折痕為角平分線模型例．如圖，將沿、翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為上的點(diǎn)，把紙片沿折疊，使得點(diǎn)A落在的外部處，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，把沿折疊，點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，當(dāng)平行于邊時(shí)，的大小為（

）A． B． C． D．類型五、雙垂型口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。例．如圖所示，，P是的中點(diǎn)，且平分，連接．(1)試說(shuō)明平分；(2)線段與有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)猜想、與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是AD中點(diǎn)，平分．

(1)若，求證：CE平分．(2)若，求證：．【變式訓(xùn)練3】．如圖，是的角平分線，于點(diǎn)F，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的面積．類型六、全等型口訣：圖中有角平分線，構(gòu)造全等三角形。例．如圖，在中，，，分別是邊，上一點(diǎn)，連接AD，DE，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F．已知，．求證：(1)點(diǎn)在的平分線上；(2)．【變式訓(xùn)練1】．如圖，于E，于F，若，平分；(1)求證：；(2)已知，，，求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是平分線上的一點(diǎn)，若．試說(shuō)明：．

【變式訓(xùn)練3】．如圖1，直線，平分，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)E、D同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中動(dòng)點(diǎn)E以的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D以的速度運(yùn)動(dòng)；已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)當(dāng)點(diǎn)D沿射線方向運(yùn)動(dòng)，滿足，試求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（提示：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F）(2)當(dāng)點(diǎn)D在射線或射線的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)間t，使得與全等？若存在，請(qǐng)求出時(shí)間的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．類型七、平行型口訣：圖中有角平分線，構(gòu)造平行線，等腰三角形會(huì)出現(xiàn)。例．如圖，在中，，D是邊的中點(diǎn)，連接AD，平分交于點(diǎn)E．(1)若，求的度數(shù)；(2)過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)F，求證：是等腰三角形．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，平分平分，過(guò)點(diǎn)O作的平行線分別交于點(diǎn)M、N．(1)求證：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，平分，平分，過(guò)O且平行于，已知的周長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，求的周長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練3】．（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．圖中有個(gè)等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個(gè)等腰三角形；與，間的關(guān)系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作交于E，交于F．圖中有個(gè)等腰三角形．與，間的數(shù)量關(guān)系是．1．如圖，在中，為的角平分線，為的高，與相交于點(diǎn)F，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，∠AEC等于（）

A．56° B．66° C．76° D．無(wú)法確定3．如圖，在中，，分別平分，且，分別平分的外角，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，點(diǎn)D在上，將沿折疊，使A點(diǎn)落在邊上的E點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．在三角形紙片中，，現(xiàn)將紙片的一角對(duì)折，使點(diǎn)落在內(nèi)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，則∠E的度數(shù)為．

7．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)有些具有特殊結(jié)構(gòu)，且結(jié)論又具有一般性的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們常將其作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型加以識(shí)記，以積累和豐富自己的問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)．【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁(yè)第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】(1)如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)角∠ACB平分線CE與外角∠ABD的平分線BE的交點(diǎn)，則有∠E=∠A請(qǐng)給出證明過(guò)程．請(qǐng)直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問(wèn)題：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】(2)如圖2，在△ABC中，∠ABC=40°．延長(zhǎng)BA至G，延長(zhǎng)AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于E、F，求∠F的度數(shù)；【變式拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD的內(nèi)角∠BCD與外角∠ABG的平分線形成如圖所示形狀．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度數(shù)；②直接寫(xiě)出∠E+∠F與∠A+∠D的關(guān)系．8．在中，已知，，現(xiàn)把沿進(jìn)行不同的折疊得，對(duì)折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究：(1)如圖（1）把沿折疊在四邊形內(nèi)，則求的和；(2)如圖（2）把沿折疊覆蓋，則求的和；(3)如圖（3）把沿斜向上折疊，探求、、的關(guān)系．9．（1）如圖①，是等邊三角形，分別是的平分線，相交于點(diǎn)F，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是自主學(xué)習(xí)事實(shí)上，在解決幾何線段相等問(wèn)題中，當(dāng)條件中遇到角平分線時(shí)，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路如：在圖②中，若C是的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A在上，此時(shí)，在上截取，連接，根據(jù)三角形全等判定，容易構(gòu)造出全等三角形和，從而得到線段與相等學(xué)以致用參考上述學(xué)到的知識(shí)，解答下列問(wèn)題：（2）如圖③，不是等邊三角形，但，分別的平分線，相交于點(diǎn)F，求證：．

10．（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，如圖1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，則PB_______PC（填“”“”或“=”）；（2）探索：如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，則，請(qǐng)幫小明說(shuō)明原因．（3）應(yīng)用：如圖3，在小區(qū)三條交叉的道路AB，BC，CA上各建一個(gè)菜鳥(niǎo)驛站D，P，E，工作人員每天來(lái)回的路徑為P→D→E→P，①問(wèn)點(diǎn)P應(yīng)選在BC的何處時(shí)，才能使PD+DE+PE最??？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，則PD+DE+PE的最小值是多少？

專題17角平分線模型的七種類型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類型一、雙內(nèi)角平分線模型 3類型二、內(nèi)外角平分線模型 6類型三、雙外角平分線模型 9類型四、翻折折痕為角平分線模型 13類型五、雙垂型 16類型六、全等型 23類型七、平行型 28壓軸能力測(cè)評(píng) 331角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.2角平分線的作法①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

③畫(huà)射線OC.即射線OC即為所求.3角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

角平分線模型1.雙垂型通過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角平分線的垂線，與角的兩邊相交于兩點(diǎn)，從而在角平線兩側(cè)出現(xiàn)全等三角。雙垂型的幾何模型：?jiǎn)未怪眴未怪钡膸缀文Ｐ蛨D3.全等型根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可知，角兩邊上有以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的兩條相等的線段時(shí)，則連接這兩條線段的另一個(gè)端點(diǎn)與角平分線上的任何一點(diǎn)，可在角平線兩側(cè)出現(xiàn)全等三角形。全等型的幾何模型：4.平行型等腰三角形知識(shí):等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊。平行型的幾何模型：類型一、雙內(nèi)角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°+∠A.例．如圖，、都是的角平分線，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，用已知角表示出所求的角是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，列出算式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)，，∵、都是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴．故選：B．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，點(diǎn)是、角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)是、角平分線的交點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)；設(shè)，，由，推出，推出，推出，可得，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)，，，，，，平分，，，．故選：C．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，和的平分線交于一點(diǎn)O，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線定義，三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．根據(jù)，可求得的值，再根據(jù)角平分線定義，可求得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，和的平分線交于一點(diǎn)O，，，故選：C．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，與的角平分線交于點(diǎn)D，且、，則與的數(shù)量關(guān)系可表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線定義，三角形內(nèi)角和，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵；由角平分線定義及三角形內(nèi)角和得．再由、及三角形內(nèi)角和即可求得與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：分別是與的角平分線，，，．、，；，，，整理得：．故選：D．類型二、內(nèi)外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的角平分線.【結(jié)論】∠A=∠P.例．如圖，在中，是的平分線，是外角的平分線，與相交于點(diǎn)，若，則是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】∠DCM=∠D+∠DBC，∠ACM=∠A+∠ABC，再結(jié)合角平分線，得到∠A=2∠D即可．【詳解】解：∵是的平分線，∴∠ABC=2∠DBC，同理，∠ACM=2∠DCM，∵∠ACM=∠A+∠ABC，∴2∠DCM=∠A+2∠DBC∵∠DCM=∠D+∠DBC，∴∠A=2∠D，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用外角的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得到∠A與∠D的關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】．如圖，是的外角的平分線，若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線得到，即可求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算即可；【詳解】∵是的外角的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的求解，準(zhǔn)確利用角平分線和三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖△ABC，BD平分∠ABC且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點(diǎn)D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度數(shù)為（）A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能確定【答案】C【分析】由角平分線分別求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠D.【詳解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABC=m°∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°又∵CD平分∠ACE∴∠ACD=∠ACE=在△BCD中，∠DBC=m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=，∴∠D=故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的角度計(jì)算，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理是關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，，平分，平分的外角，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由角平分線的定義可得∠EBD和∠ECD的度數(shù)，利用三角形外角性質(zhì)即可求出∠E的度數(shù).【詳解】∵，，平分，平分的外角，∴∠EBD=20°，∠ECD=38°，∵∠ECD=∠EBD+∠E，∴∠E=18°，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；熟練掌握相關(guān)定義和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.類型三、雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCD的角平分線.【結(jié)論】∠P=90°-∠A.例．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP的度數(shù)是（

）A．30°； B．40°； C．50°； D．60°.【答案】C【詳解】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥BA于點(diǎn)F，PH⊥AC于點(diǎn)H，∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴PE=PH，PE=PF，∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，∴PH=PF，∴點(diǎn)P在∠CAF的角平分線上，∴AP平分∠FAC，∴∠CAP=∠CAF.∵∠PCD=∠BPC+∠PBC，∴∠ACD=2∠BPC+2∠PBC，又∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=2∠PBC，∠BPC=40°，∴∠ABC+∠BAC=∠ABC+80°，∴∠BAC=80°，∴∠CAF=180°-80°=100°，∴∠CAP=100°×=50°.故選C.點(diǎn)睛：過(guò)點(diǎn)P向△ABC三邊所在直線作出垂線段，這樣綜合應(yīng)用“角平分線的性質(zhì)與判定”及“三角形外角的性質(zhì)”即可結(jié)合已知條件求得∠CAP的度數(shù).【變式訓(xùn)練1】．如圖，的外角和外角的平分線交于點(diǎn)，已知，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分別是的外角和外角的平分線，得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)∠，，得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和，得出．【詳解】∵，∴，∵和的平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線和鄰補(bǔ)角的定義求出．【變式訓(xùn)練2】．如圖，，分別是的外角，的角平分線；，分別是，的角平分線；，分別是，的角平分線．當(dāng)（）時(shí)，．A．45° B．50° C．60° D．120°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平角為可得，從而得出，同理可得，然后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，代入整理得出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】，分別是的外角，的角平分線，，分別是，的角平分線，同理，由于、分別是、的角平分線，假設(shè)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得即整理得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，根據(jù)給出的角平分線得出和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，、是ΔABC的外角角平分線，若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和與∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC和∠ACB的外角和，進(jìn)而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.【詳解】∵∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°∵、是ΔABC的外角角平分線∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線以及三角形內(nèi)角和的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.類型四、翻折折痕為角平分線模型例．如圖，將沿、翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理；由折疊的性質(zhì)可得，，可得，由三角形內(nèi)角和定理可得，即可求的度數(shù)．【詳解】解：將沿，翻折，頂點(diǎn)，均落在點(diǎn)處，，，，，，，，，故選：A．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為上的點(diǎn)，把紙片沿折疊，使得點(diǎn)A落在的外部處，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查折疊，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)，結(jié)合角的和差關(guān)系求出，，再利用三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由折疊得，∵，且∠1=100°，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，故選：B．【變式訓(xùn)練2】．如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，圖形的折疊問(wèn)題．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得的度數(shù)，從而得到，再由折疊的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴．故選：C【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，把沿折疊，點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，當(dāng)平行于邊時(shí)，的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，∵，，，由折疊的性質(zhì)可得，；，故選：D．類型五、雙垂型口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。例．如圖所示，，P是的中點(diǎn)，且平分，連接．(1)試說(shuō)明平分；(2)線段與有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理．根據(jù)題意正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．（1）由題意過(guò)點(diǎn)作，垂足為E，先求出，再求出，從而證明平分；（2）根據(jù)題意利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，從而求證兩直線垂直．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為E，如圖所示：∵平分，∴，∵，，∴（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），又∵是中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴平分；（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）．（2）解：，理由如下：∵，∴，，∴（垂直于同一條直線的兩條直線平行），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），又∵，（角平分線定義），∴，∴，∴，即．【變式訓(xùn)練1】．如圖，四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)猜想、與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，可得，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可；（2）利用，證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得，同理可得，然后求出，再根據(jù)垂直的定義即可證明；（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，可得，，然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，又∵，平分，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴平分；（2）證明：在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是AD中點(diǎn)，平分．

(1)若，求證：CE平分．(2)若，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活做輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，再由角平分線判定即可得出結(jié)論；（2）在上截取，連接．先證明可得，再證可得即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，

∵平分，，∴，又∵是AB中點(diǎn)，即，∴，∵，，∴：CE平分．（2）解：如圖：在上截取，連接．

平分，．在和中，，，．是的中點(diǎn)，．又，，，，在和中．，，，∴【變式訓(xùn)練3】．如圖，是的角平分線，于點(diǎn)F，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)3【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)：（1）由三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，由三角形外角的性質(zhì)即可求得的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，由角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：，，，是的角平分線，，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，

是的角平分線，，，的面積為．類型六、全等型口訣：圖中有角平分線，構(gòu)造全等三角形。例．如圖，在中，，，分別是邊，上一點(diǎn)，連接AD，DE，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F．已知，．求證：(1)點(diǎn)在的平分線上；(2)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明直角三角形的全等解答．（1）利用證明，可得，根據(jù)，，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)證明，可得，然后利用線段的和差即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，，，，點(diǎn)在的平分線上；（2）證明：在和中，，，，，，．【變式訓(xùn)練1】．如圖，于E，于F，若，平分；(1)求證：；(2)已知，，，求四邊形的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)128【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再由直角三角形全等的判定和性質(zhì)即可證明；（2）先求出，，再由全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，則，即可得到．【詳解】（1）證明：∵于E，于F，平分，∴，，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，，∵，∴∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴∴，∴．．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是平分線上的一點(diǎn)，若．試說(shuō)明：．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，補(bǔ)角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可得，由補(bǔ)角性質(zhì)可得，進(jìn)而可證明，即可求證，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

則，∵是的平分線，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，直線，平分，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)E、D同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中動(dòng)點(diǎn)E以的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D以的速度運(yùn)動(dòng)；已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)當(dāng)點(diǎn)D沿射線方向運(yùn)動(dòng)，滿足，試求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（提示：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F）(2)當(dāng)點(diǎn)D在射線或射線的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)間t，使得與全等？若存在，請(qǐng)求出時(shí)間的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．【答案】(1)的值為或．(2)存在，的值為或．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)定理可知，再利用三角形面積公式，得出，由題意可知，，，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別表示出的長(zhǎng)，求解即可；（2）證明是等腰直角三角形，得出，，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)D在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在線段；②當(dāng)點(diǎn)D在射線的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，根據(jù)全等三角形的判定定理，得出時(shí)滿足全等，分別求出的值即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，，，，，由題意可知，，，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，此時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)，，，綜上可知，當(dāng)?shù)闹禐榛驎r(shí)，滿足；（2）解：存在，理由如下：，平分，，，是等腰直角三角形，，，由題意可知，，，①當(dāng)點(diǎn)D在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則中沒(méi)有的角，不存在全等，點(diǎn)在線段，此時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，；②當(dāng)點(diǎn)D在射線的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，若點(diǎn)在線段上時(shí)，則中沒(méi)有的角，不存在全等，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，此時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，即存在某個(gè)時(shí)間t，使得與全等，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，全等三角形的判定等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．類型七、平行型口訣：圖中有角平分線，構(gòu)造平行線，等腰三角形會(huì)出現(xiàn)。例．如圖，在中，，D是邊的中點(diǎn)，連接AD，平分交于點(diǎn)E．(1)若，求的度數(shù)；(2)過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)F，求證：是等腰三角形．【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，則有；根據(jù)角平分的性質(zhì)得．由平行線的性質(zhì)得．則，有，即可說(shuō)明是等腰三角形．【詳解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∵，D為的中點(diǎn)，∴，∴．∴；（2）證明：∵平分，∴．又∵，∴．∴．∴，∴是等腰三角形．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，平分平分，過(guò)點(diǎn)O作的平行線分別交于點(diǎn)M、N．(1)求證：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)18【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．（1）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，然后求出，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得；（2）同理可得，從而確定出等腰三角形，再求出的周長(zhǎng)，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：平分，，，，，；（2）解：由（1）知，，平分，，，，，，的周長(zhǎng)，，，，，，的周長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，平分，平分，過(guò)O且平行于，已知的周長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，求的周長(zhǎng)．【答案】的周長(zhǎng)是．【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定．由平分，平分，過(guò)點(diǎn)O作，易得與是等腰三角形，又由的周長(zhǎng)為，可得，又由長(zhǎng)為，即可求得的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∵的周長(zhǎng)為，∴，∵長(zhǎng)為，∴（），∴的周長(zhǎng)是．【變式訓(xùn)練3】．（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．圖中有個(gè)等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個(gè)等腰三角形；與，間的關(guān)系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作交于E，交于F．圖中有個(gè)等腰三角形．與，間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】（1）2，，理由見(jiàn)解析．（2）5，（3）2，【分析】（1）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)得到角相等，再進(jìn)行等量代換得到，，再利用等角對(duì)等邊，得到，，即可解題．（2）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)，再進(jìn)行等量代換得到、、、，再利用等角對(duì)等邊，得到對(duì)應(yīng)線段相等，即可解題．（3）本題解法與（1）類似．【詳解】（1）解：，理由如下：，的平分線交于O點(diǎn)，，，

，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2．（2）解：，即為等腰三角形，，，的平分線交于O點(diǎn)，，，即為等腰三角形，，，，，，，，即為等腰三角形，，，和為等腰三角形，．綜上所述，共有5個(gè)等腰三角形，故答案為：5，．（3）解：的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，，，，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2，．1．如圖，在中，為的角平分線，為的高，與相交于點(diǎn)F，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的高等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．由三角形的內(nèi)角和可求得，再由角平分線求得，再結(jié)合是高，從而可求的度數(shù)，由對(duì)頂角相等可得，即得解．【詳解】解：，，，平分，，，，，，故選：D2．如圖，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，∠AEC等于（）

A．56° B．66° C．76° D．無(wú)法確定【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=114°；最后在△AEC中利用三角形內(nèi)角和定理可以求得∠AEC的度數(shù)．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B=48°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠DAC+∠ACF=114°∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66°．故選B．

3．如圖，在中，，分別平分，且，分別平分的外角，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，分別平分，分別平分的外角，可求出，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，∵，分別平分，分別平分的外角，∴，，，，∴，同理，，在四邊形中，，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線，四邊形內(nèi)角和定理的綜合，理解并掌握角平分線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，點(diǎn)D在上，將沿折疊，使A點(diǎn)落在邊上的E點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角問(wèn)題，先求出的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵折疊，∴，∴；故選B．5．在三角形紙片中，，現(xiàn)將紙片的一角對(duì)折，使點(diǎn)落在內(nèi)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要是考查了三角形、四邊形內(nèi)角和的運(yùn)用．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是”這一隱含的條件．首先根據(jù)已知求得：，則可求得的度數(shù)，在中利用內(nèi)角和定理，即可求得與的和，又由四邊形的內(nèi)角和為，求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，，，三角形內(nèi)角和定理，在中，則，，，，在四邊形中，，即，，故．故選B．6．如圖，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，則∠E的度數(shù)為．

【答案】25°【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【詳解】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．7．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)有些具有特殊結(jié)構(gòu)，且結(jié)論又具有一般性的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們常將其作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型加以識(shí)記，以積累和豐富自己的問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)．【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁(yè)第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】(1)如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)角∠ACB平分線CE與外角∠ABD的平分線BE的交點(diǎn)，則有∠E=∠A請(qǐng)給出證明過(guò)程．請(qǐng)直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問(wèn)題：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】(2)如圖2，在△ABC中，∠ABC=40°．延長(zhǎng)BA至G，延長(zhǎng)AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于E、F，求∠F的度數(shù)；【變式拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD的內(nèi)角∠BCD與外角∠ABG的平分線形成如圖所示形狀．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度數(shù)；②直接寫(xiě)出∠E+∠F與∠A+∠D的關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)70°(3)①205°

②【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，即可得到答案（2）先推導(dǎo)出,再推導(dǎo)出，進(jìn)而可以求解（3）①延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CE、BF交于點(diǎn)N，可得，進(jìn)而即可求解；②根據(jù)，結(jié)合角平分線的意義及三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論【詳解】（1）解：又因?yàn)樵谥?，同理可得：又因?yàn)锽E和CE分別是和的角平分線即（2）解：∵∠BAC、∠CAG的角平分線與∠BCH的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于E、F，（3）解：①延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CE、BF交于點(diǎn)N，如下圖所示，∵BF、CE平分②又即：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．8．在中，已知，，現(xiàn)把沿進(jìn)行不同的折疊得，對(duì)折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究：(1)如圖（1）把沿折疊在四邊形內(nèi)，則求的和；(2)如圖（2）把沿折疊覆蓋，則求的和；(3)如圖（3）把沿斜向上折疊，探求、、的關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查折疊性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答此題時(shí)要充分利用折疊部分折疊前后形成的圖形為全等形的性質(zhì)，并且解答該題時(shí)要充分利用三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)折疊前后的圖象全等可知，，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；（2）連接，將作為一個(gè)整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求；（3）將看作，看作，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解，即可解題．【詳解】（1）解：由折疊性質(zhì)可知：，，，；（2）解：連接，由折疊性質(zhì)可知：，，；（3）解：，所以：．9．（1）如圖①，是等