新高考數學二輪復習講義專題25 二項式定理（原卷版）

專題25二項式定理【考點專題】一二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．(1)這個公式叫做二項式定理．(2)展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，展開式中一共有n＋1項．(3)二項式系數：各項的系數Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項式系數．二二項展開式的通項(a＋b)n展開式的第k＋1項叫做二項展開式的通項，記作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.【方法技巧】1.二項式系數的性質對稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性與最大值增減性：當k<eq\f(n＋1,2)時，二項式系數是逐漸增大的；當k>eq\f(n＋1,2)時，二項式系數是逐漸減小的．最大值：當n為偶數時，中間一項的二項式系數SKIPIF1<0最大；當n為奇數時，中間兩項的二項式系數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相等，且同時取得最大值各二項式系數的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－12：一般地，若SKIPIF1<0.（1）SKIPIF1<0；（2）展開式各項系數和為SKIPIF1<0；（3）奇數項系數之和為SKIPIF1<0；（4）偶數項系數之和為SKIPIF1<0.【核心題型】題型一：利用項的系數求參數1．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0的二項展開式中，第SKIPIF1<0項與第SKIPIF1<0項的二項式系數相等，則所有項的系數之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）一組數據按照從小到大的順序排列為1，2，3，5，6，8，記這組數據的上四分位數為n，則二項式SKIPIF1<0展開式的常數項為（

）A．SKIPIF1<0 B．60 C．120 D．2403．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．9 C．10 D．11題型二：賦值法在二項式定理的應用4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．40 B．8 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0題型三：利用二項式定理證明整除問題7．（2023·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0的展開式中，常數項為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0被8除的余數為（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2022·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0能被13整除，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．11 D．129．（2022·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0除以78的余數是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．87題型四：不等式求系數的最值問題10．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0的展開式中各項系數之和為64，則該展開式中系數最大的項為___________．11．（2022·浙江·高三專題練習）已知SKIPIF1<0的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，且展開式的各項系數之和為1024，則該展開式中系數最大的項為_________．12．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知SKIPIF1<0，若數列SKIPIF1<0是個單調遞增數列，則SKIPIF1<0的最大值為_____題型五：多項式展開式問題13．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知多項式SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．－960 B．960 C．－480 D．48014．（2021·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0的展開式中各項的指數之和再減去各項系數乘以各項指數之和的值為（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2020·全國·高三專題練習）將多項式SKIPIF1<0分解因式得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．16 B．14 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型六：二項式定理的綜合問題16．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）求SKIPIF1<0的值.17．（2020·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）（1）已知SKIPIF1<0的展開式中第二項與第三項的二項式系數之比為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.（2）記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①求SKIPIF1<0；②設SKIPIF1<0，求和：SKIPIF1<0.18．（2020·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求證：SKIPIF1<0.【高考必刷】一、單選題19．（2023·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0的展開式中的常數項為（

）A．－20 B．30 C．－10 D．1020．（2023·全國·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）楊輝是我國古代數學史上一位著述豐富的數學家，著有《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊輝算法》.楊輝三角的發(fā)現要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質，利用這些性質，可以解決很多數學問題，如開方、數列等.我們借助楊輝三角可以得到以下兩個數列的和.SKIPIF1<0；SKIPIF1<0若楊輝三角中第三斜行的數：1，3，6，10，15，…構成數列SKIPIF1<0，則關于數列SKIPIF1<0敘述正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0 D．數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<021．（2023·全國·模擬預測）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．（2023春·四川遂寧·高三?？茧A段練習）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．64 D．16023．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0的二項展開式中，SKIPIF1<0稱為二項展開式的第SKIPIF1<0項，其中r=0，1，2，3，……，n．下列關于SKIPIF1<0的命題中，不正確的一項是（

）A．若SKIPIF1<0，則二項展開式中系數最大的項是SKIPIF1<0．B．已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則二項展開式中第2項不大于第3項的實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．C．若SKIPIF1<0，則二項展開式中的常數項是SKIPIF1<0．D．若SKIPIF1<0，則二項展開式中SKIPIF1<0的冪指數是負數的項一共有12項．25．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）二項式SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為（

）A．120 B．135 C．140 D．10026．（2023·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0展開式中常數項為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．48127．（2023·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0的展開式中的常數項是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．20二、多選題28．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結論正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的展開式中第1012項的系數最大29．（2023·湖南·模擬預測）已知SKIPIF1<0，則下列結論成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0