初中數(shù)學(xué)同步九年級(jí)上冊(cè)華師版《壓軸題》專題01與二次根式有關(guān)運(yùn)算的六種考法含答案及解析

專題01與二次根式有關(guān)運(yùn)算的六種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式 3類型二、含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式 4類型三、復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡(jiǎn) 5類型四、分母有理化 10類型五、比較二次根式的大小 13類型六、二次根式中的規(guī)律探究問(wèn)題 18壓軸能力測(cè)評(píng)（10小題） 23解題知識(shí)必備知識(shí)點(diǎn)一：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號(hào)．如都是二次根式。2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號(hào)；（2）被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：二次根式有無(wú)意義的條件1.二次根式有意義：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即；2.二次根式無(wú)意義：被開(kāi)方數(shù)為負(fù)數(shù)，即；知識(shí)點(diǎn)三：二次根式的性質(zhì)1.二次根式（）的非負(fù)性（）表示的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即（）．2.二次根式的性質(zhì)：（）3.二次根式的性質(zhì)：知識(shí)點(diǎn)四：二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根的指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣:，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù).3.二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣：知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣：.知識(shí)點(diǎn)六：最簡(jiǎn)二次根式1.最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母，（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)或因式2.分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào).知識(shí)點(diǎn)七：同類二次根式同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識(shí)點(diǎn)八：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變。知識(shí)點(diǎn)九：二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）壓軸題型講練類型一、根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式例1.（23-24八年級(jí)下·遼寧撫順·期中）化簡(jiǎn)：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）若，則的值為．【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級(jí)下·河南許昌·階段練習(xí)）如果實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)代數(shù)式．類型二、含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式例2.（23-24八年級(jí)下·浙江嘉興·期末）二次根式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期中）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·天津·期中）已知，，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）化簡(jiǎn)：．類型三、復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)例3.（23-24九年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）有這樣一類題目，例如：．請(qǐng)仿照上例化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練1】（22-23九年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：，再如：．請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：(2)化簡(jiǎn)：(3)若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）先閱讀材料，然后回答問(wèn)題．(1)小張同學(xué)在研究二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了一個(gè)問(wèn)題：化簡(jiǎn)．經(jīng)過(guò)思考①，②，③，④，在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果為；(2)請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡(jiǎn)：①②【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·期中）先閱讀下列的解答過(guò)程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)，使，使得，那么便有：例如：化簡(jiǎn)解：首先把化為，這里，由于，即，(1)填空：______，______；(2)化簡(jiǎn)求值．類型四、分母有理化例4.（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）閱讀材料并解決問(wèn)題：，像上述解題過(guò)程中，與相乘的積不含二次根式，我們可以將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過(guò)程也稱為分母有理化．請(qǐng)仿照上面的方法，解決下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：，；若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想．(2)計(jì)算：；【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·山東臨沂·期中）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，小明遇到一道題：已知，求的值．小明是這樣解答的：∵，．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過(guò)程，解決下列問(wèn)題：(1)填空：_______，_______；(2)化簡(jiǎn)：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到形如，的式子，對(duì)于這類式子我們可以進(jìn)一步將其化簡(jiǎn)，使其分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這一過(guò)程叫做分母有理化．例如：．(1)用上述方法化簡(jiǎn)；(2)．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·福建莆田·期中）在解決問(wèn)題“已知求的值”，小明是這樣分析與解答的:請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題(1)化簡(jiǎn)：(2)若，求的值．類型五、比較二次根式的大小例5.（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）[材料一]兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：，，我們稱和互為有理化因式，和互為有理化因式．（1）的有理化因式是______（寫(xiě)出一個(gè)即可），的有理化因式是_______（寫(xiě)出一個(gè)即可）；[材料二]如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化簡(jiǎn)：．[材料三]與分母有理化類似，將代數(shù)式分子、分母同乘分子的有理化因式，從而消去分子中的根式，這種變形叫做分子有理化．比如：（3）試?yán)梅肿佑欣砘容^和的大?。咀兪接?xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過(guò)程，回答問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：______，______；(2)利用上面的規(guī)律，比較______（填“”或“”或“”）．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·階段練習(xí)）我們知道形如，的數(shù)可以化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)的目的主要是把分母中的無(wú)理數(shù)化為有理數(shù)，如，，這樣的化簡(jiǎn)過(guò)程叫做分母有理化，我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各題．(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；(2)化簡(jiǎn)：；(3)比較，的大小，說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）材料閱讀：二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如的計(jì)算，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”；．類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”；．根據(jù)上述知識(shí)，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)；(2)比較與的大小，并說(shuō)明理由．類型六、二次根式中的規(guī)律探究問(wèn)題例6.觀察下列各式及驗(yàn)證過(guò)程：，驗(yàn)證；，驗(yàn)證，驗(yàn)證(1)按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）嘉嘉根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“特殊到一般”的方法探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是嘉嘉的探究過(guò)程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】將題目中的橫線處補(bǔ)充完整；(2)【歸納猜想】若為正整數(shù)，用含的代數(shù)式表示上述運(yùn)算規(guī)律，并證明此規(guī)律成立；(3)【應(yīng)用規(guī)律】嘉嘉寫(xiě)出一個(gè)等式（均為正整數(shù)），若該等式符合上述規(guī)律，則的值為_(kāi)_____．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·甘肅金昌·期中）【規(guī)律探究題】觀察下列運(yùn)算：①由，得；②由，得；……問(wèn)題：(1)______；______；(2)利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）【閱讀材料】（材料一）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，總結(jié)其中蘊(yùn)含的規(guī)律．，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；（材料二）化簡(jiǎn)：．解：．【問(wèn)題解決】利用你總結(jié)的規(guī)律，解答下面的問(wèn)題：(1)填空：_________，_________；(2)求的值．壓軸能力測(cè)評(píng)（10小題）一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．-22．（22-23八年級(jí)上·上海寶山·期中）下列各式中，與化簡(jiǎn)所得結(jié)果相同的是（

）A． B． C． D．3．（22-23八年級(jí)上·福建泉州·期末）若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（23-24八年級(jí)下·北京門(mén)頭溝·期末）化簡(jiǎn)：；當(dāng)時(shí)，．5．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列各式：①，②，③，…，請(qǐng)寫(xiě)出第6個(gè)式子：，用含n（n≥1）的式子寫(xiě)出你猜想的規(guī)律：．6．（22-23八年級(jí)下·湖北恩施·期末）閱讀材料：如果我們能找到兩個(gè)正整數(shù)，使且，這樣，那么我們就稱為“和諧二次根式”，則上述過(guò)程就稱之為化簡(jiǎn)“和諧二次根式”．例如：，根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：化簡(jiǎn)“和諧二次根式”．三、解答題7．（23-24八年級(jí)下·安徽池州·期末）觀察下列各式①；②；③……請(qǐng)你根據(jù)上述等式提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)_________；(2)根據(jù)你的觀察，猜想，寫(xiě)出第n（n為正整數(shù)）個(gè)等式：_________；(3)用上述規(guī)律計(jì)算：．8．（22-23八年級(jí)上·湖南永州·期末）觀察下列各式及其化簡(jiǎn)過(guò)程：，．(1)按照上述兩個(gè)根式的化簡(jiǎn)過(guò)程的基本思路，將化簡(jiǎn)；(2)化簡(jiǎn)；(3)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出中，m，n與a，b之間的關(guān)系．9．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）觀察下列等式，解答問(wèn)題．；；；…(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出第5個(gè)等式：；(2)利用上述規(guī)律，比較與的大小；(3)直接寫(xiě)出．10．（23-24八年級(jí)下·云南玉溪·階段練習(xí)）特例感知化簡(jiǎn)：．解：．（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上直接寫(xiě)出化簡(jiǎn)的結(jié)果：①__________；②__________．觀察發(fā)現(xiàn)（2）第n（n為正整數(shù)）個(gè)式子是，請(qǐng)求出該式子化簡(jiǎn)的結(jié)果（需要寫(xiě)出推理步驟）．拓展應(yīng)用（3）從上述結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算．①；②．

專題01與二次根式有關(guān)運(yùn)算的六種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式 3類型二、含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式 4類型三、復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡(jiǎn) 5類型四、分母有理化 10類型五、比較二次根式的大小 13類型六、二次根式中的規(guī)律探究問(wèn)題 18壓軸能力測(cè)評(píng)（10小題） 23解題知識(shí)必備知識(shí)點(diǎn)一：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號(hào)．如都是二次根式。2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號(hào)；（2）被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：二次根式有無(wú)意義的條件1.二次根式有意義：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即；2.二次根式無(wú)意義：被開(kāi)方數(shù)為負(fù)數(shù)，即；知識(shí)點(diǎn)三：二次根式的性質(zhì)1.二次根式（）的非負(fù)性（）表示的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即（）．2.二次根式的性質(zhì)：（）3.二次根式的性質(zhì)：知識(shí)點(diǎn)四：二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根的指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣:，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù).3.二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣：知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣：.知識(shí)點(diǎn)六：最簡(jiǎn)二次根式1.最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母，（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)或因式2.分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào).知識(shí)點(diǎn)七：同類二次根式同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識(shí)點(diǎn)八：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變。知識(shí)點(diǎn)九：二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）壓軸題型講練類型一、根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式例1.（23-24八年級(jí)下·遼寧撫順·期中）化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵被開(kāi)方數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，即中，，∴中，，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．【答案】5【分析】本題考查的是二次根式以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，根絕未知數(shù)的值化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)，判斷，的正負(fù)，進(jìn)行化簡(jiǎn)，合并同類項(xiàng)，得出結(jié)果.【詳解】解：∵∴.故答案為：5【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期中）若，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)題意先得到，再由進(jìn)行化解求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級(jí)下·河南許昌·階段練習(xí)）如果實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)代數(shù)式．【答案】/【分析】本題考查了數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)，立方根的定義，掌握二次根式的性質(zhì)，立方根的定義，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)確定的符號(hào)和大小，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)，立方根的定義化簡(jiǎn)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置可得，，，，∴，故答案為：．類型二、含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式例2.（23-24八年級(jí)下·浙江嘉興·期末）二次根式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，先根據(jù)，得出，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【詳解】∵，，∴原式，，故選：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期中）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)公式是解本題的關(guān)鍵．由的積小于0得到與異號(hào)，再根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根得到大于0，進(jìn)而確定出小于0，所求式子利用二次根式的化簡(jiǎn)公式即可得到結(jié)果．【詳解】解：，與異號(hào)，，，，則．故選：C．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·天津·期中）已知，，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，及二次根式性質(zhì)原式化簡(jiǎn)得到答案．【詳解】解：∵，∴，故，∵，∴，∴．故選：D．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】根據(jù)題意有：，，∴，即，∴，故答案為：．類型三、復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)例3.（23-24九年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）有這樣一類題目，例如：．請(qǐng)仿照上例化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）分別根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算，以及二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可求解；（2）分別根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算，以及二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可求解；【詳解】（1）解：，；（2）解：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（22-23九年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：，再如：．請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：(2)化簡(jiǎn)：(3)若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】此題考查化簡(jiǎn)二次根式，活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進(jìn)一步利用公式因式分解化簡(jiǎn)，注意在整數(shù)分解時(shí)參考后面的二次根號(hào)里面的數(shù)值．（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．【詳解】（1）解：；（2）；（3）∵，∴，，∴又∵、n為正整數(shù)，∴，或者，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴a的值為：或．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）先閱讀材料，然后回答問(wèn)題．(1)小張同學(xué)在研究二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了一個(gè)問(wèn)題：化簡(jiǎn)．經(jīng)過(guò)思考①，②，③，④，在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果為；(2)請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡(jiǎn)：①②【答案】(1)④，(2)①；②【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，掌握被開(kāi)方數(shù)化成完全平方的形式，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）中的材料化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：①，②，③，④，在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，第④步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，故答案為：④，；（2）解：①原式；②原式．【變式訓(xùn)練3】（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·期中）先閱讀下列的解答過(guò)程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)，使，使得，那么便有：例如：化簡(jiǎn)解：首先把化為，這里，由于，即，(1)填空：______，______；(2)化簡(jiǎn)求值．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，涉及了配方法的運(yùn)用和完全平方式的運(yùn)用以及二次根式性質(zhì)的運(yùn)用．（1）由條件對(duì)進(jìn)行變形利用完全平方公式化簡(jiǎn)，確定a，b值為3和2后，即可得出結(jié)論；由條件對(duì)進(jìn)行變形利用完全平方公式化簡(jiǎn)，確定a，b值為8和9后，即可得出結(jié)論（2）由條件對(duì)進(jìn)行變形利用完全平方公式的形式化簡(jiǎn)，求解．即可．【詳解】（1），，故答案為：，；（2）．類型四、分母有理化例4.（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）閱讀材料并解決問(wèn)題：，像上述解題過(guò)程中，與相乘的積不含二次根式，我們可以將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過(guò)程也稱為分母有理化．請(qǐng)仿照上面的方法，解決下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：，；若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想．(2)計(jì)算：；【答案】(1)；；(2)2023【分析】本題考查了分母有理化的計(jì)算，平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握有理化的依據(jù)和計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方差公式，類比例子解答即可；（2）根據(jù)平方差公式，類比例子解答即可．【詳解】（1）解：；；；（2）解：原式．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·山東臨沂·期中）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，小明遇到一道題：已知，求的值．小明是這樣解答的：∵，．請(qǐng)你根據(jù)小明的解題過(guò)程，解決下列問(wèn)題：(1)填空：_______，_______；(2)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式的加減計(jì)算：（1）先分子和分母都乘進(jìn)行分母有理化即可；分子和分母都乘進(jìn)行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）解：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到形如，的式子，對(duì)于這類式子我們可以進(jìn)一步將其化簡(jiǎn)，使其分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這一過(guò)程叫做分母有理化．例如：．(1)用上述方法化簡(jiǎn)；(2)．【答案】(1)(2)2024【分析】本題考查了分母有理化，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)例題的方法，分母有理化即可求解；（2）將每一項(xiàng)都分母有理化，繼而即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·福建莆田·期中）在解決問(wèn)題“已知求的值”，小明是這樣分析與解答的:請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題(1)化簡(jiǎn)：(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則、分母有理化，乘法公式等知識(shí)點(diǎn)．（1）分子分母都乘，利用平方差公式計(jì)算化簡(jiǎn)即可；（2）將a的值的分子、分母都乘以得，將其配方代入計(jì)算可得答案．【詳解】（1）解：；（2）解：，∴，∴．類型五、比較二次根式的大小例5.（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）[材料一]兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：，，我們稱和互為有理化因式，和互為有理化因式．（1）的有理化因式是______（寫(xiě)出一個(gè)即可），的有理化因式是_______（寫(xiě)出一個(gè)即可）；[材料二]如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿印⒎帜竿朔帜傅挠欣砘蚴?，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化簡(jiǎn)：．[材料三]與分母有理化類似，將代數(shù)式分子、分母同乘分子的有理化因式，從而消去分子中的根式，這種變形叫做分子有理化．比如：（3）試?yán)梅肿佑欣砘容^和的大?。敬鸢浮浚?），；（2）；（3）【分析】本題考查分母有理化，估算無(wú)理數(shù)的大小及規(guī)律探索問(wèn)題，熟練掌握分母有理化的步驟及方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理化因式的定義即可求得答案；（2）根據(jù)所得規(guī)律計(jì)算即可；（3）利用分母有理化得到，，然后比較大小即可．【詳解】（1）解：∵，∴的有理化因式是；∵，∴的有理化因式是；故答案為：，；（2）解：；（3）．理由如下：∵，，∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·山西呂梁·期中）閱讀下列解題過(guò)程，回答問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：______，______；(2)利用上面的規(guī)律，比較______（填“”或“”或“”）．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式比較大?。海?）仿照題意求解即可；（2）根據(jù)分母有理化的方法得到，，根據(jù)，得到，．【詳解】（1）解：；，故答案為：，；（2）解：，，∵，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·階段練習(xí)）我們知道形如，的數(shù)可以化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)的目的主要是把分母中的無(wú)理數(shù)化為有理數(shù)，如，，這樣的化簡(jiǎn)過(guò)程叫做分母有理化，我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各題．(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；(2)化簡(jiǎn)：；(3)比較，的大小，說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了分母有理化，熟練掌握二次根式的性質(zhì)以及平方差公式是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目所給有理化因式的定義進(jìn)行解答即可；（2）分子分母同乘以即可得出答案；（3）將原式按類比分母有理化的步驟進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)分子相同，分母越大，式子越小即可比較大小．【詳解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是；故答案為：，；（2）；（3）；；，．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）材料閱讀：二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)諸如的計(jì)算，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”；．類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”；．根據(jù)上述知識(shí)，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)；(2)比較與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)2(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查的是分母有理化：（1）根據(jù)分母有理化是要求把分子分母同時(shí)乘以，再計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)分子有理化的要求把原式變形為同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，，且，∴．類型六、二次根式中的規(guī)律探究問(wèn)題例6.觀察下列各式及驗(yàn)證過(guò)程：，驗(yàn)證；，驗(yàn)證，驗(yàn)證(1)按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．【答案】(1)，驗(yàn)證見(jiàn)解析(2)，驗(yàn)證見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)．此題是一個(gè)找規(guī)律的題目，觀察時(shí)，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．（1）通過(guò)觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過(guò)程利用了二次根式的性質(zhì)，把根號(hào)內(nèi)的移到根號(hào)外；（2）根據(jù)上述變形過(guò)程的規(guī)律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時(shí)，觀察根號(hào)外的和根號(hào)內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系可得：．【詳解】（1）驗(yàn)證：；（2）．驗(yàn)證：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）嘉嘉根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，想通過(guò)“特殊到一般”的方法探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是嘉嘉的探究過(guò)程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】將題目中的橫線處補(bǔ)充完整；(2)【歸納猜想】若為正整數(shù)，用含的代數(shù)式表示上述運(yùn)算規(guī)律，并證明此規(guī)律成立；(3)【應(yīng)用規(guī)律】嘉嘉寫(xiě)出一個(gè)等式（均為正整數(shù)），若該等式符合上述規(guī)律，則的值為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出存在的規(guī)律．（1）根據(jù)前個(gè)的規(guī)律即可得出答案；（2）根據(jù)特例中數(shù)字的變化規(guī)律分析求解即可，對(duì)等式的坐標(biāo)進(jìn)行整理，即可求證；（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：等式④：；（2）解：若為正整數(shù)，用含的代數(shù)式表示上述運(yùn)算規(guī)律為，證明如下：等式左邊右邊；（3）解：∵（均為正整數(shù)），∴，，∴．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·甘肅金昌·期中）【規(guī)律探究題】觀察下列運(yùn)算：①由，得；②由，得；……問(wèn)題：(1)______；______；(2)利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：．【答案】(1)；（n為正整數(shù)）(2)2024【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化和平方差公式等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（2）根據(jù)（1）中得出的規(guī)律進(jìn)行變形，再根據(jù)二次根式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)平方差公式求出答案即可．【詳解】（1），（n為正整數(shù)）（2）原式【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）【閱讀材料】（材料一）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，總結(jié)其中蘊(yùn)含的規(guī)律．，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；（材料二）化簡(jiǎn)：．解：．【問(wèn)題解決】利用你總結(jié)的規(guī)律，解答下面的問(wèn)題：(1)填空：_________，_________；(2)求的值．【答案】(1)5，(2)【分析】本題考查了數(shù)學(xué)中的閱讀能力，規(guī)律問(wèn)題，還有二次根式的化簡(jiǎn)，分母有理化，關(guān)鍵是理解新定義和有關(guān)二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算．（1）根據(jù)題意找到規(guī)律，，即可得到答案；（2）根據(jù)題意將原式進(jìn)行分母有理化進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；……，以此類推，可知，，；，（負(fù)值舍去）；故答案為：，；（2）解：，．壓軸能力測(cè)評(píng)（10小題）一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．-2【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，根據(jù)數(shù)軸可得，，，再利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)法則，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解∶由數(shù)軸知∶，，∴，∴，故選：A．2．（22-23八年級(jí)上·上海寶山·期中）下列各式中，與化簡(jiǎn)所得結(jié)果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】解：∵有意義，∴∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·福建泉州·期末）若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)后對(duì)平方進(jìn)行比較得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，，∵，即，∵a、b、c都是大于0的實(shí)數(shù)，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、二次根式大小的比較等知識(shí)點(diǎn)，利用完全平方公式計(jì)算出值，是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題4．（23-24八年級(jí)下·北京門(mén)頭溝·期末）化簡(jiǎn)：；當(dāng)時(shí)，．【答案】3/【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，掌握成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)即可解答．【詳解】解：，∵，∴，∴．故答案為：3，．5．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列各式：①，②，③，…，請(qǐng)寫(xiě)出第6個(gè)式子：，用含n（n≥1）的式子寫(xiě)出你猜想的規(guī)律：．【答