【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明一、單選題1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，則以為圓心，2為半徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．3．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，D為的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．4．已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．2 B． C． D．15．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為．閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A．0 B． C． D．6．在三棱錐中，，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．如圖所示,該曲線W是由4個(gè)圓:,,,的一部分所構(gòu)成,則下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．曲線W圍成的封閉圖形面積為B．若圓與曲線W有4個(gè)交點(diǎn),則或C．與的公切線方程為D．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為8．已知圓，點(diǎn)在橢圓運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法不正確的有（

）A．若兩條直線與互相平行，則實(shí)數(shù)a的值為B．若直線不經(jīng)過(guò)第三象限，則點(diǎn)在第二象限C．過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為D．已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為或10．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，E為邊AB的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使得面面，連接，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．D到平面的距離為B．四面體的外接球表面積為8πC．BC與所成角的余弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為11．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)，都在上（均不與點(diǎn)重合），且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是（A．B．若存在點(diǎn)，滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C．若，則D．若，則（，分別表示直線，的斜率）第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題12．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．13．已知向量，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為.14．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若和的離心率分別為，則的取值范圍是．四、解答題15．已知直線和直線的交點(diǎn)為.(1)求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程；(2)若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程.16．如圖，平行六面體中，與相交于，設(shè)，，.(1)用表示；(2)若該平行六面體所有棱長(zhǎng)均為1，且，求．17．已知拋物線E：y2＝8x．(1)求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(-1,1)的直線l1與拋物線E只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l1的方程；(3)過(guò)點(diǎn)M(2,3)的直線l2與拋物線E交于點(diǎn)A，B．若弦AB的中點(diǎn)為M，求直線l2的方程．18．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，為三棱錐外一點(diǎn)，且為等邊三角形．證明：；若平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．19．已知等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，，且焦距為，分別是在第二象限和第一象限上的一點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)若直線的斜率為，求直線的斜率；(3)若四邊形的面積為，求直線的方程.參考答案：題號(hào)12345678910答案CCBBAADDBCBCD題號(hào)11答案ACD1．C【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求解.【解析】．故選：C2．C【分析】先求出定點(diǎn)，再根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可.【解析】由直線，得，令，解得，即，所以所求圓的方程為.故選：C.3．B【分析】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，表示與平面的法向量，利用公式即可求出線面角的正弦值.【解析】取中點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，∴，由圖可知，平面的法向量為.設(shè)與平面所成的角為，則，故與平面所成的角的正弦值為.故選：B.4．B【分析】由交點(diǎn)在兩條直線，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得的關(guān)系，再將關(guān)系變形代入點(diǎn)到直線的距離公式消元求最值可得.【解析】因?yàn)閮芍本€交于，則，即，且，則；由原點(diǎn)到直線的距離由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí).即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.故選：B.5．A【分析】根據(jù)材料求得平面的法向量和直線的方向向量，再結(jié)合空間向量的數(shù)量積求直線與平面所成角的正弦值即可.【解析】根據(jù)材料可知平面的法向量可取，平面的法向量可取，平面的法向量可取，因?yàn)橹本€是兩平面與的交線，設(shè)的方向向量，則，取可得的一個(gè)方向向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為，故選：A6．A【分析】根據(jù)與所成角的余弦值列方程，求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【解析】設(shè)外接球的半徑為，則，由于是外接球的直徑，所以，，所以，所以，所以，所以，，設(shè)與所成角為，則，整理得，所以外接球的表面積為.故選：A

【小結(jié)】方法小結(jié)：求解外接球有關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵是找到球心并計(jì)算出半徑；求解異面直線所成的角，可以利用幾何法來(lái)求解，也可以利用向量法來(lái)進(jìn)行求解.7．D【分析】對(duì)于A,將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和四個(gè)半徑為的相同的半圓構(gòu)成計(jì)算即可;對(duì)于B,結(jié)合圖像分情況討論即可;對(duì)于C,設(shè)公切線方程為,根據(jù)直線和圓相切的條件列出方程求解即可得到結(jié)果;對(duì)于D,根據(jù)選項(xiàng)C中的方法,求得,的公切線方程,再利用兩條平行線間的距離公式計(jì)算即可.【解析】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和四個(gè)半徑為的相同的半圓構(gòu)成,所以其面積為,故A正確;當(dāng)時(shí),交點(diǎn)為B,D,F,H;當(dāng)時(shí),交點(diǎn)為A,C,E,G;當(dāng)或時(shí),沒(méi)有交點(diǎn);當(dāng)時(shí),交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè),故B正確;設(shè)與的公切線方程為,由直線和圓相切的條件可得,解得,(舍去)，則其公切線方程為,即,故C正確;同理可得,的公切線方程為,則兩平行線的距離為,故D錯(cuò)誤.故選:D.8．D【分析】設(shè)Px0,y0，依題意可得切點(diǎn)弦方程為，取的中點(diǎn)，連接，則，利用點(diǎn)到直線的距離公式及的范圍計(jì)算可得.【解析】設(shè)Px0,y0設(shè)切線上任意一點(diǎn)為，則，，所以，即，即切線的方程為，同理可得切線的方程為，所以且，因?yàn)辄c(diǎn)、的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程，所以直線的方程為，取的中點(diǎn)，連接，則，，又，即，所以，因?yàn)椋?，則，所以.故選：D.9．BC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，兩條直線平行時(shí)，兩條直線的斜率相等，求值即可；對(duì)于選項(xiàng)B，舉出直線，判斷即可；對(duì)于選項(xiàng)C，舉出直線，判斷即可；對(duì)于選項(xiàng)D，先判斷直線過(guò)定點(diǎn)，再利用斜率公式結(jié)合圖象求實(shí)數(shù)k的范圍即可.【解析】對(duì)于A，若兩條直線與互相平行，其中直線的斜率為，則直線的斜率存在且為，得，解得或，舍去，此時(shí)兩條直線與重合，故實(shí)數(shù)a的值為，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第三象限，此時(shí)點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，不在第二象限，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即直線也滿(mǎn)足題意，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將直線化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，且直線的斜率為，其中，，結(jié)合圖象，若直線與線段相交，可得或，選項(xiàng)D正確．故選：BC.

10．BCD【分析】根據(jù)題設(shè)構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離、線線、線面夾角判定A、C、D；根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)確定外接球球心位置，利用等量關(guān)系列方程求球體半徑，即可求表面積判斷B.【解析】因?yàn)榱庑蜛BCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以，即將△ADE沿DE折起后，，，又面面，面面，面，所以面，則EB，ED，兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，ED，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，，，．對(duì)于A，設(shè)面的法向量為，則，取，，D到面的距離，錯(cuò)誤；對(duì)于B，取CE中點(diǎn)F，連接DF，由，，過(guò)F作直線面，則四面體的外接球球心O在直線l上，設(shè)，外接球半徑為R，由，得，解得，則，四面體的外接球的表面積為，正確；對(duì)于C，BC與所成角的余弦值為，正確；對(duì)于D，設(shè)面的法向量為，則取，，，正確．故選：BCD11．ACD【分析】對(duì)于A：利用雙曲線的定義及對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行計(jì)算；對(duì)于B：根據(jù)是等腰直角三角形得到范圍，進(jìn)而可得離心率的范圍；對(duì)于C：設(shè)，代入坐標(biāo)計(jì)算的值即可；對(duì)于D：先求出的值，設(shè)，去掉的絕對(duì)值，然后利用基本不等式求最值.【解析】對(duì)于A：由對(duì)稱(chēng)性可知，雙曲線的定義得，A正確；對(duì)于B：若，又，所以是等腰直角三角形，則雙曲線的一條漸近線的斜率大于，即，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由已知Aa,0，設(shè)，則，記直線的斜率分別為，則，又，所以，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D：若，則，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，故，D正確.故選：ACD.【小結(jié)】方法小結(jié)：對(duì)于圓錐曲線涉及焦點(diǎn)的可以多結(jié)合定義去解答；對(duì)于定值問(wèn)題可以將點(diǎn)坐標(biāo)化，然后通過(guò)計(jì)算求解.12．【分析】先求出圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，最后利用弦長(zhǎng)公式求出結(jié)果.【解析】由已知得圓的半徑，圓心為，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為．故答案為：.13．【分析】利用空間向量夾角余弦公式求出，故，從而得到以為鄰邊的平行四邊形為矩形，利用向量模長(zhǎng)求出面積.【解析】，故，故以為鄰邊的平行四邊形為矩形，面積為.故答案為：14．【分析】由橢圓和雙曲線的定義列方程組再結(jié)合離心率的定義可得，再設(shè)，得到，然后令，，結(jié)合輔助角公式求解；【解析】設(shè)的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，的實(shí)半軸長(zhǎng)為，焦距為，由題意可知：將②式和③式平方相加得，將①式代入可得，即．設(shè)，，由于，，，，且，，令，，，，，故．故答案為：.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題的關(guān)鍵是利用橢圓和雙曲線的定義得到離心率的關(guān)系，然后設(shè)圓的參數(shù)方程結(jié)合輔助角公式求解.15．(1)(2)或【分析】(1)聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線平行斜率相等即可求解;(2)根據(jù)兩直線垂直斜率之積等于以及點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【解析】（1）由解得,所以，設(shè)所求直線為,因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以解得，所以所求直線方程為.（2）直線與直線垂直,所以可設(shè)為，又因?yàn)榈降木嚯x等于，解得或，所以所求直線方程為或.16．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合空間向量基本定理，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表示所求向量.（2）利用空間向量的數(shù)量積求向量的模.【解析】（1）.（2）由題意：，，，，所以.17．(1)焦點(diǎn)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝-2；(2)y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；(3)4x-3y+1＝0.【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程及其幾何性質(zhì)，求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線；（2）分直線l1的斜率為0和不為0兩種情況，根據(jù)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，由直線與x軸平行或Δ＝0，得解；（3）利用點(diǎn)差法求出直線l2的斜率，即可得直線l2的方程．【解析】（1）由題意，p＝4，則焦點(diǎn)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝-2．（2）當(dāng)直線l1的斜率為0時(shí)，y＝1；當(dāng)直線l1的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l1為x+1＝m(y-1)，聯(lián)立，得y2-8my+8m+8＝0，因?yàn)橹本€l1與拋物線E只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直線l1的方程為x-y+2＝0或2x+y+1＝0，綜上，直線l1為y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0．（3）由題意，直線l2的斜率一定存在，設(shè)其斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則8x1，8x2，兩式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直線l2為y-3(x-2)，即4x-3y+1＝0．18．證明見(jiàn)解析；.【解析】取的中點(diǎn)，連接，，證明平面，可得到結(jié)論；以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出二面角的余弦值，得出結(jié)論.【解析】解：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑冗吶切危?，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，故．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，且，，故以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，連接，，同理可證平面，，，設(shè)，則，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，則．因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以，，所以或．因?yàn)闉槿忮F外一點(diǎn)，所以，所以．【小結(jié)】本題考查線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.19．(1)(2)3(3)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等軸雙曲線的定義列式求，即可得方程；（2）設(shè)直線，Ax1,y1,B（3）