【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．2．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P是C第一象限上一點(diǎn)，以P為圓心的圓過點(diǎn)F且與直線相切，若圓P的面積為，則圓P的方程為（

）A． B．C． D．4．正四棱臺(tái)在古代被稱為“方亭”，在中國古代建筑中有著廣泛的應(yīng)用．例如，古代園林中的臺(tái)榭建筑常常采用這種結(jié)構(gòu)，臺(tái)上建有屋宇，稱為“榭”，這種結(jié)構(gòu)不僅美觀，還具有廣瞻四方的功能，常用于觀賞和娛樂．在正四棱臺(tái)中，，，，則（

）A．2 B． C． D．35．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y＝－x＋2與圓x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)C滿足，則r＝()A． B． C． D．6．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，A，B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，并且，則的面積等于（

）A．6 B．7 C．8 D．97．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：與圓M：相交于A，B兩點(diǎn)，若對(duì)于直線AB上的任意一點(diǎn)P，均有成立，則半徑r的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的中垂線經(jīng)過.記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知直線：，則下列說法正確的是（

）A．直線在軸上的截距為1 B．直線與直線：平行C．直線的一個(gè)方向向量為 D．直線與直線：垂直10．在正方體中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）A．存在兩點(diǎn)，使得B．C．與所成的最大角為D．直線與平面所成角為的最大值為11．已知橢圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在4個(gè)點(diǎn)，使得B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值D．的取值范圍為第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則.13．已知四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，.點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面平面時(shí)，異面直線與所成角的正弦值為.

14．已知為雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在雙曲線上，則雙曲線的漸近線的斜率為.四、解答題15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，.(1)求邊AB上的中線所在直線的一般式方程；(2)求邊AB上的高所在直線的斜截式方程.16．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，分別在棱上，平面.(1)若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的余弦值；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.17．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，外接圓的半徑為R．(1)求外接圓的面積；(2)圓經(jīng)過，且與圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓被直線截得弦長為8，求直線的方程．18．如圖所示的幾何體中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，為PA的中點(diǎn)，，四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn).

(1)求證：平面DEF；(2)求二面角的余弦值；(3)在線段EF上是否存在一點(diǎn)，使得BQ與平面BCP所成角的大小為？若存在，求出FQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．已知橢圓，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為．直線恰好經(jīng)過的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．①設(shè)中點(diǎn)分別為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)；②若直線，的斜率均存在時(shí)，求由四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍．參考答案：題號(hào)12345678910答案AACBBBBBBDABD題號(hào)11答案AD1．A【分析】直線方程化為斜截式，得出直線的斜率，利用斜率與傾斜角的關(guān)系求解.【解析】直線化為斜截式，設(shè)其傾斜角為，則直線的斜率為，因?yàn)?，所以，故選：A.2．A【分析】按照空間直角坐標(biāo)系得點(diǎn)坐標(biāo)即可.【解析】解：由空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)可知點(diǎn)為，故選：A．3．C【分析】由拋物線的定義可知，直線為拋物線的準(zhǔn)線，進(jìn)而得出拋物線的方程，由圓的面積求出圓的半徑，進(jìn)而求出圓心坐標(biāo)，即可求圓的方程.【解析】曲線的焦點(diǎn)為F，P是C第一象限上一點(diǎn)，以P為圓心的圓過點(diǎn)F且與直線相切，由拋物線的定義得：直線為拋物線的準(zhǔn)線，則，所以，所以拋物線方程為：，因?yàn)閳AP的面積為，所以圓的半徑為5，設(shè)，因?yàn)閳A與直線相切，所以，解得，則.又，所以，所以圓P的方程為.故選：C.【小結(jié)】本題考查了拋物線的定義、圓的方程等基本知識(shí)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題目.4．B【分析】設(shè)，根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)及結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律求解即可．【解析】在正四棱臺(tái)中，，，，在側(cè)面中，得，由，所以，設(shè)，則，所以，則.故選：B．5．B【解析】已知＝＋，兩邊平方化簡得·＝－r2，所以cos∠AOB＝－，所以cos＝，又圓心O(0,0)到直線的距離為＝，所以＝，解得r＝.選B.6．B【分析】連接，，，，由條件證明四邊形為矩形，利用勾股定理和雙曲線定義式聯(lián)立求出的值，代入三角形面積公式即得.【解析】由雙曲線的對(duì)稱性可知，A，B，O三點(diǎn)共線，連接，，，，由可得,因，故四邊形為矩形，則，，由雙曲線C：可得，，則，于是，則①，又②，由，解得，故．故選：B．7．B【分析】根據(jù)題意可知與直線AB位置關(guān)系，利用圓與圓的位置關(guān)系即可得出r的范圍．【解析】圓O的圓心為，半徑為r，圓M的圓心為半徑為2．∴，∵圓O與圓M相交，∴．∵對(duì)于直線AB上任意一點(diǎn)P，均有成立，又，當(dāng)直線AB過點(diǎn)M時(shí)，．∴．故答案為：．8．B【分析】由題意可得，結(jié)合橢圓和雙曲線的定義得到的關(guān)系式，根據(jù)取值范圍分析函數(shù)單調(diào)性得到結(jié)果.【解析】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實(shí)軸長為，它們的公共焦距為，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限.∵在的中垂線上，∴，由橢圓、雙曲線的定義得：，∴，整理得，∴，即，∴，∴，令，由定義法可證在為增函數(shù)，且，∵，∴.故選：B.9．BD【分析】求出直線的橫截距及方向向量判斷AC；由方程判斷兩直線的位置關(guān)系判斷BD.【解析】對(duì)于A，直線在軸上的截距為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線與直線的斜率均為，它們的橫截距分別為，則，B正確；對(duì)于C，直線的一個(gè)方向向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，D正確.故選：BD10．ABD【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量結(jié)合線線角、線面角的向量求法逐項(xiàng)判斷即得.【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，由在線段上，得，則，，由在線段上，得，則，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即，而，則，A正確；對(duì)于B，，，，則，B正確；對(duì)于C，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)檩S垂直平面，所以可取平面的法向量為n=0,1,0則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角為的最大值為，D正確.故選：ABD.【小結(jié)】方法小結(jié)：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.11．AD【分析】設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，利用橢圓的性質(zhì)可求得，可判斷A；設(shè)Mx,y，計(jì)算可得的值可判斷B；由題意可得，利用基本不等式中1的代換可求得的最小值判斷C；利用數(shù)形結(jié)合可求得的最值，進(jìn)而可求得的取值范圍判斷D.【解析】對(duì)于A中，由橢圓，可得，，，設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，且，可得，所以，故在第一象限有點(diǎn)，使得，根據(jù)對(duì)稱性四個(gè)象限各有一個(gè)點(diǎn)符合題意，故存在4個(gè)點(diǎn)，使得，所以A正確；對(duì)于B中，設(shè)Mx,y，則，且，可得，則為定值，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C中，由橢圓的定義，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，由點(diǎn)在橢圓外，設(shè)直線，與橢圓相交于，，如圖所示，則，因?yàn)椋?，可得，即，所以，所以，所以D正確．故選：AD．【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：對(duì)于C，關(guān)鍵利用橢圓的定義得，進(jìn)而利用基本不等式1的代換求得最小值，對(duì)于D，求圓錐曲線中兩線段和的最值，常常利用數(shù)形結(jié)合求得最值，其中常用到圓錐曲線的定義.12．【分析】根據(jù)圓心在直線上建立關(guān)于a的方程，解之即可求解.【解析】圓的圓心為，因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，所以，解得.故答案為：.13．【分析】首先建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量垂直求點(diǎn)的位置，并利用向量法求異面直線所成角的余弦值，即可求解正弦值.【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以向量為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，設(shè),，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，則平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，所以平面的法向量為，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，解得：所以，，設(shè)異面直線與所成角為，,所以異面直線與所成角的正弦值.

故答案為：14．【分析】由題設(shè)探求出與都是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，令，并表示相關(guān)量，再借助勾股定理建立方程組，求出a，b的關(guān)系即可.【解析】因點(diǎn)是以為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，有，如圖，令，則，，，又，在中，，即，在中，，即于是得，解得，即，所以雙曲線的漸近線的斜率為.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）先求出邊AB的中點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程求直線方程即得；（2）利用兩直線的垂直求得邊AB上的高線的斜率寫出直線方程，化成斜截式方程即得.【解析】（1）設(shè)是邊AB的中點(diǎn)，則即得，邊AB上的中線CD的斜率為故其方程為,即得，故邊AB上的中線所在直線的一般式方程為；（2），，，邊AB上的高所在直線的斜率，邊AB上的高所在直線的方程為,其斜截式方程.16．(1).(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（2）分別求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【解析】（1）由題意：底面是正方形；連接交于點(diǎn)，連接；因?yàn)槠矫?，平面平面平面，所以；又是中點(diǎn)，故是中點(diǎn)；以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系；不妨設(shè)，則.由題意，是的中點(diǎn)，則；故；設(shè)平面的法向量為，則；令，得；記與平面所成角為，則，故；故與平面所成角的余弦值為.（2），故，故；又平面，平面，故平面；故平面的法向量；平面的法向量；記平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為.17．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合輔助角公式求解可得，進(jìn)而結(jié)合正弦定理可得，進(jìn)而求解；（2）設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)列出方程組求得，可得圓的方程，進(jìn)而分直線的斜率存在和不存在討論求解即可.【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理，得，因?yàn)椋?，則，即，即，又，則，所以，即，則，即，所以外接圓的面積為.（2）由圓，圓心為，半徑為，設(shè)，由題意得，解得，即，則圓的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，，則，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，到直線距離為，由，得，解得，則直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.18．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由題意結(jié)合線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)半平面的法向量可得二面角的余弦值；（3）假設(shè)點(diǎn)Q存在，利用直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算可得點(diǎn)Q的存在性和位置.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜳DCE為矩形，所以N為PC的中點(diǎn)，連接FN，

在中，F(xiàn)、N分別為PA、PC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍰EF，平面DEF，所以平面DEF；（2）因?yàn)镻D垂直于梯形ABCD所在的平面，又AD、DC在平面ABCD內(nèi)，所以，又，所以，如圖以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面PBC的法向量為m=則，即，解得，令，則，所以平面PBC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ABP的法向量為，，令，則，所以平面ABP的一個(gè)法向量為，，因?yàn)槎娼堑钠矫娼鞘氢g角，所以二面角的平面角余弦值為，（3）設(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件，由，設(shè)，則，因?yàn)锽Q與平面BCP所成角的大小為，所以，解得，又，所以，即Q點(diǎn)E與重合，故在線段EF上存在一點(diǎn)Q，且.19．(1)；(2)①證明見解析；②.【分析】（1）首先根據(jù)與圓相切的兩條直線求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得直線的方程，由此可求得橢圓的方程；（2）①直線斜率均存在，設(shè)出直線、的方程，然后分別聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合中點(diǎn)求得斜率，從而求得定點(diǎn)；②將①中直線的方程代入橢圓方程中，然后將的長度表示出來，再結(jié)合基本不等式即可求出范圍．【解析】（1）過作圓的切線，一條切線為直線，切點(diǎn).設(shè)另一條切線為，即.因?yàn)橹本€與圓相