河北省唐山市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

高二年級(jí)第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線y2＝x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可以先確定開(kāi)口方向，再根據(jù)方程得的值，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【解析】由y2＝x知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向右，,∴，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選:B．【小結(jié)】根據(jù)拋物線的方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程時(shí)，可以總結(jié)如下：的焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程；的焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程.2.已知向量，則（）A.1 B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.【解析】,故選：C.3.記是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.27 B.36 C.45 D.78【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：對(duì)于，,成等差數(shù)列，取,列出方程組求解即得.【解析】因是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則成等差數(shù)列，于是，代入，，解得：，又,代入上述值，解得：.故選：D.4.已知圓與圓，則兩圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先找出兩圓的位置關(guān)系，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求出公切線的數(shù)量.【解析】?jī)蓤A圓心分別為，半徑分別為2和3，而圓心距為5，故兩圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，故選：C5.已知，均為等差數(shù)列，且，，，則（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【解析】由于，均為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列，因此，，所以的公差為1，故，故選：B6.線段長(zhǎng)度為4，其兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則線段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幾何法直接求出軌跡方程，進(jìn)而由圓的面積公式求解.【解析】，設(shè)為線段中點(diǎn)，，設(shè)，則，即．則線段中點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓；故線段中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故選：D7.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取向量為空間向量的一組基底向量，表示出與，再借助空間向量運(yùn)算即可計(jì)算作答.【解析】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，則，而，，于是得，因此，，所以與所成角的大小為.故選：B8.已知M是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B.垂直橢圓的長(zhǎng)軸，垂足為N，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上結(jié)合得到方程組，解出即可得到離心率.【解析】設(shè)，則，，，，因?yàn)?，即，整理得，即，即，由題可知，則，即，則，則，則，故選：B.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題的關(guān)鍵是采用設(shè)點(diǎn)法，根據(jù)題意得到，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上即可得到離心率.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分，全部選對(duì)的得5分.9.已知直線與，則（）A.若，則兩直線垂直 B.若兩直線平行，則C.直線恒過(guò)定點(diǎn) D.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】【分析】由，判斷A；由平行關(guān)系求出，判定B；由直線的點(diǎn)斜式方程判斷C；求出截距判斷D.【解析】當(dāng)時(shí)，，，則，所以兩直線垂直，A正確；若兩直線平行，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，兩直線平行，B錯(cuò)誤；由，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，C正確；由，與兩坐標(biāo)軸的截距分別為，不相等，D錯(cuò)誤.故選：AC10.數(shù)列滿足：，，則（）A. B.C.為單調(diào)遞減數(shù)列 D.為等差數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可證明為等差數(shù)列，且公差為1，即可利用等差數(shù)列的通項(xiàng)求解，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【解析】由可得，因此為等差數(shù)列，且公差為1，故D正確，由于為等差數(shù)列，且公差為1，所以，故，故為單調(diào)遞減數(shù)列，C正確，，故，A正確，，，B錯(cuò)誤，故選：ACD11.已知雙曲線，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于A，B的一點(diǎn)，則（）A.C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為B.直線與的斜率之積為2C.過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)作弦長(zhǎng)為4的直線只有1條D.點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為【答案】AD【解析】【分析】求出雙曲線漸近線方程為，焦點(diǎn)為，設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式可判斷A、D；由雙曲線和直線的對(duì)稱性可設(shè)，，由兩點(diǎn)的斜率公式可計(jì)算，B錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組，由弦長(zhǎng)公式判斷C.【解析】對(duì)A，由已知得漸近線方程為，焦點(diǎn)為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，A正確；對(duì)B，由雙曲線和直線的對(duì)稱性可設(shè)，，，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)的直線，當(dāng)其斜率不存在時(shí)，所以此時(shí)弦長(zhǎng)為2；當(dāng)斜率存在時(shí)，分別與雙曲線上下支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖形可知弦長(zhǎng)可以無(wú)窮大；綜上，過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)的直線與雙曲長(zhǎng)相交時(shí)得到的弦長(zhǎng)范圍為，又由雙曲線的對(duì)稱性可知，過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)作弦長(zhǎng)為4的直線至少有兩條，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積：，D正確.故選：AD.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P，Q分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（）A.四面體的體積是定值B.直線與平面所成角的范圍是C.若P，Q分別是棱，的中點(diǎn)，則D.若P，Q分別是棱，的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)P，Q，C三點(diǎn)作正方體的截面，截面面積為【答案】ABC【解析】【分析】由體積公式計(jì)算判斷A；由線面角公式判斷B；由距離計(jì)算判斷C;由截面做法及計(jì)算判斷D.【解析】對(duì)A，因?yàn)樗拿骟w的體積為，h為到底面的距離，且為定值2，為定值，故四面體的體積是定值，A正確；對(duì)B，連接，易得平面，故平面，則到平面的距離即為到平面的距離；又，平面，則平面，則到平面的距離為，易得，則直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的范圍是，故B正確；對(duì)C，若P，Q分別是棱，的中點(diǎn)，易得，故C正確；對(duì)D，取中點(diǎn)M,中點(diǎn)N,連接，易知故四邊形為平行四邊形，則，易知，故，故經(jīng)過(guò)P，Q，C三點(diǎn)作正方體的截面，截面為梯形，如圖：又易得，，作易得為矩形，設(shè)，則，由則，解得，故，故四邊形的面積為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題考查正方體性質(zhì)，線面角及截面問(wèn)題，明確截面形狀是解決D的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等比數(shù)列的公比為q，且，，，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列，得，求出的值即可.【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為q，且，，，所以，即，即，解得或（舍），故答案為：.14.已知，，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)列出比例式，求解即可.【解析】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.15.已知直線l與圓相切，且切點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則直線l的方程為_(kāi)_____.（寫出一個(gè)滿足條件的方程即可）【答案】或或或（任寫一個(gè)都對(duì)）【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系找出圓上所有符合題意的切點(diǎn)，求出切線斜率即可求得切線方程.【解析】易知圓C的圓心為點(diǎn)，半徑為；圓C經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)有4個(gè)，即，，，.①切點(diǎn)為時(shí)，圓心與切點(diǎn)連線的斜率為，則切線斜率為1，所以由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為；②切點(diǎn)為時(shí)，圓心與切點(diǎn)連線的斜率為，則切線斜率為，所以由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為；③切點(diǎn)為時(shí)，圓心與切點(diǎn)連線的斜率為，則切線斜率為，所以由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為；④切點(diǎn)為時(shí)，圓心與切點(diǎn)連線的斜率為，則切線斜率為，所以由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為；故答案為：或或或（任寫其一）16.已知點(diǎn)在拋物線上，則______；過(guò)點(diǎn)M作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)M），則直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】①.2②.【解析】【分析】由拋物線過(guò)點(diǎn)求出；設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立，得，利用韋達(dá)定理，通過(guò)，轉(zhuǎn)化求解出直線方程，推出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得；拋物線，由題意知，直線斜率不存在時(shí)，不符合題意，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立，得，所以，因，所以，，，所以，即，所以，即，驗(yàn)證，所以，直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：2；.【小結(jié)】方法小結(jié)：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn).（1）若P為圓C上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的最大距離；（2）求弦的長(zhǎng)度.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）計(jì)算圓心到直線的距離，加上半徑即為最大距離；（2）由圓中弦長(zhǎng)公式可解.【小問(wèn)1解析】圓，圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以點(diǎn)P到直線l的最大距離為.【小問(wèn)2解析】，即，解得.18.數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入等量關(guān)系即可求解；（2）利用等比數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行分組求和即可.【小問(wèn)1解析】因?yàn)椋?，所以，或，又因?yàn)?，所以，所?【小問(wèn)2解析】，則.19.如圖，在梯形中，，，，為等邊三角形，平面平面，E為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)“由中點(diǎn)找中點(diǎn)”得到，易得平面；（2）根據(jù)題設(shè)建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)以及平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1解析】如圖，取的中點(diǎn)F，連結(jié)，.因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)?，，所以?即四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2解析】如圖，取的中點(diǎn)O，的中點(diǎn)G，連結(jié)，，則，因?yàn)闉榈冗吶切危?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，又平面，?分別以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，，故，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.20.數(shù)列滿足，，.（1）求，；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）令，，結(jié)合遞推關(guān)系即可求解；（2）利用等差數(shù)列的定義證明即可；（3）先用累加法求出，然后用裂項(xiàng)相消法求出.【小問(wèn)1解析】令，得；令，得.小問(wèn)2解析】，所以是以為首項(xiàng)，2為公差等差數(shù)列.【小問(wèn)3解析】由（2）得，所以，所以，所以.21.如圖，三棱柱的側(cè)面和均為正方形，，交于點(diǎn)O，D為中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面夾角的余弦值等于？【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直可得線面垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)求證線線垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【小問(wèn)1解析】因?yàn)?，，，平面，所以平面，又因平面，所?【小問(wèn)2解析】如圖，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，由，得，得，設(shè)平面的法向量為.由得取，取平面的一個(gè)法向量為.設(shè)面與面夾角為，則，即，解得..22.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)的直線l交于M，N兩點(diǎn)（M在x軸上方）.（1）求的方程；（2）記的面積為，的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)確定，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）考慮斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)出直線方程，聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，確定，計(jì)算，設(shè)，解不等式得到答案.【小問(wèn)1解析】已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則，解得，因?yàn)榈碾x心率為，所以，解得，所以，