河北省滄州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列的通項公式，則123是該數(shù)列的（）A.第9項 B.第10項 C.第11項 D.第12項【答案】C【解析】【分析】根據(jù)通項公式可直接求出.【解析】由，解得（舍去），故選：C．．2.已知直線方程為，則其傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【解析】由題知直線斜率為，若直線的傾斜角為，則，∵，∴，故選：D．3.已知，，若與垂直，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩個向量垂直的坐標表示計算即可.【解析】，∴，解得，故選：A．4.已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為()A.1 B.0C.0或2 D.0或1【答案】D【解析】【解析】當AB與CD斜率均不存在時，故得m=0，此時兩直線平行；此時AB∥CD，當kAB=kCD時，，得到m=1，此時AB∥CD.故答案選D．小結(jié)：解答本題易出現(xiàn)選A的錯誤，導(dǎo)致出現(xiàn)這種錯誤的原因是忽略了直線AB與CD的斜率不存在的情況.在已知直線的位置關(guān)系，求參數(shù)時，在用到了直線的斜率時，首先要考慮直線的斜率是否存在，然后再列式子．5.若焦點為F的拋物線上一點P的縱坐標為，則原點O到直線PF的距離（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先求出點P的坐標，然后利用焦半徑公式求出，再根據(jù)等面積法列式求解即可.【解析】由已知可得點P的橫坐標為，由拋物線定義知，因為且，所以，解得.故選：B．6.已知雙曲線C：（，），若四個點，，，（，）中有三個點在C上，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)雙曲線的對稱性，通過數(shù)形結(jié)合來排除一個點，然后將代入，求出的值，進而得到雙曲線的漸近線方程.【解析】∵，關(guān)于原點對稱，線段垂直于y軸且在x軸的同側(cè)，∴不在雙曲線上，將代入雙曲線方程，解得，代入點解得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選：D．7.在等差數(shù)列中，p，，且，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出首項和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出結(jié)果即可．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，兩式相減得，則，故選：C．8.已知平面上兩定點A，B，滿足（，且）的點P的軌跡是一個圓．這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱作阿氏圓．利用上述結(jié)論，解決下面的問題：若直線與x，y軸分別交于A，B兩點，點M，N滿足，，，則直線MN的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得出點M，點N是兩個圓的公共點，所以將兩圓直接作差即可得到公共弦所在直線方程.【解析】由題得，，設(shè)，∵，∴點M在圓：上．∵，∴，整理得，∴點M也在圓：上，同理點N也在這兩個圓上，∴MN是這兩圓的公共弦，兩圓方程作差，得，即直線MN的方程為，故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.有兩個單調(diào)區(qū)間 B.有兩個極值點C.有最小值 D.有最大值e【答案】AC【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負分析原函數(shù)的單調(diào)性，進而得出極值最值情況.【解析】由已知得，由解得，由解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴只有一個極值點，且在處取得極小值也是最小值，無最大值，故選：AC．10.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比為q（），前n項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.（m，） B.C.是等比數(shù)列 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項性質(zhì)判斷A，根據(jù)等比數(shù)列求和化簡判斷B，根據(jù)對數(shù)運算及等差數(shù)列定義判斷C，根據(jù)等比數(shù)列求和判斷D.【解析】，，兩式相除可得，故A正確；因為，由等比數(shù)列求和公式，可得，故B正確；因為（常數(shù)），所以是等差數(shù)列，故C不正確；對于D，，，…，，可看作是以為首項，（）為公比的等比數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD11.在棱長為2的正四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，G是△BCD的重心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在上的投影向量為 D.【答案】AB【解析】【分析】取DC的中點M，根據(jù)CD⊥平面ABM判斷A；取BD的中點H，判斷B；根據(jù)投影向量定義判斷C；根據(jù)空間向量線性運算判斷D.【解析】如圖，取DC的中點M，連接AM，BM，∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面，∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正確；取BD的中點H，連接HE，HF，則，，∴HE⊥FH，即，又，∴，，∴，故B正確；由B知，在上的投影向量為，故C不正確；，故D不正確，故選：AB．12.已知是雙曲線C：（，）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.離心率 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點F到兩條漸近線的距離相等，結(jié)合對稱性幾面積關(guān)系即可判斷A；根據(jù)長度關(guān)系可求得，進而可判斷；根據(jù)漸近線的斜率可算出離心率，進而了判斷C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面積，列出方程即可判定D.【解析】如圖，∵，∴，，∵點F到兩條漸近線的距離相等，∴，故A正確；∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正確；由B知，一條漸近線的斜率，則，故C不正確；由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線被圓截得的弦長為______________．【答案】【解析】【分析】先求出圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，最后利用弦長公式求出結(jié)果.【解析】由已知得圓的半徑，圓心為，圓心到直線距離，所以弦長為．故答案為：.14.已知，則______________．【答案】【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)函數(shù)中，求得相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值.【解析】由已知得，則，解得．故答案為：．15.在棱長為3的正方體中，點到平面的距離為______________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，用向量法求點到平面的距離.【解析】以B為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖：，，，因為，所以，又平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，又，∴點到平面的距離．故答案為：.16.已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且首項為1，，則______________．【答案】210【解析】【分析】對原方程化簡得，然后利用累乘法求解即可.【解析】由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴,故答案為：210.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在△OAB中，O是坐標原點，，．（1）求AB邊上的高所在直線的方程；（2）求△OAB的外接圓方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出邊上高線的斜率，再利用點斜式求出邊上的高所在直線的方程；（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則把的坐標代入求得的值，可得圓的方程．【小問1解析】∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的高所在直線過原點O，∴AB邊上的高所在直線的方程為．【小問2解析】設(shè)的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．18.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)是數(shù)列的前n項和，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量，列方程，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，裂項相消法求和，即可證明不等式.【小問1解析】設(shè)數(shù)列的公差為，∴，∴，，．由已知得，解得或（舍），∴數(shù)列的通項公式為．【小問2解析】由（1）知，，∴，∴．19.已知P為拋物線C：（）上一點，且點P到拋物線的焦點F的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為10．（1）求p值；（2）過點F作直線l交C于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義列出方程即可求解；（2）設(shè)，，，利用點差法化簡計算即可得出結(jié)果.【小問1解析】由拋物線的定義得，故．【小問2解析】由（1）得，，則拋物線C的方程為，焦點，設(shè)，，，∴，，當M，F(xiàn)不重合時，相減整理得，，∴，即，當M，F(xiàn)重合時，滿足上式．∴點M的軌跡方程為．20.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得當時，恒成立，分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案.【小問1解析】當時，，則，∴，，曲線在點處的切線方程為，即．【小問2解析】由題意得當時，恒成立，∴在時恒成立，∵，則，由于二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當時，，∴，即實數(shù)a的取值范圍是．21.如圖，在斜三棱柱中，所有棱長均相等，O，D分別是AB，的中點．（1）證明：平面；（2）若，且，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點E，連接OE，，可得四邊形為平行四邊形，則有，利用線面平行的判定定理可證得平面；（2）可證得平面ABC，以O(shè)為原點，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成二面角的余弦值.【小問1解析】連接交于點E，連接OE，，∵O，E分別是AB，的中點，D為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．【小問2解析】連接OC，∵，∴為正三角形，∴，∵，且，∴平面ABC，∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O(shè)為原點，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，由，可得．則，，，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，∴，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，∴，設(shè)平面與平面所成的角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為．22.已知橢圓C：（），F(xiàn)是其右焦點，點在橢圓上，且PF⊥x軸，O為原點．（1）求橢圓C方程；（2）若M，N是橢圓C上的兩點，且△OMN的面積為，求證：直線OM與ON的斜率之積為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求，即可求解；（2）當直線斜率不存在時，求得點的坐標，再表示的值，當直線的斜率存在時，直線與橢圓方程聯(lián)